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Modello del pneumatico
La descrizione delle forze che agiscono sul pneumatico è un momento cruciale nell’implementazione di un controllore della dinamica del veicolo. In figura 1 (vedi Galleria multimediale) sono illustrate le forze esercitate dai pneumatici. L’importanza nella descrizione delle forze agenti a terra è facilmente comprensibile analizzando il ruolo che il pneumatico svolge: esso rappresenta l’interfaccia tra veicolo e superficie stradale (1,2). Infatti, al pneumatico vengono demandati svariati compiti tra cui il filtraggio delle asperità stradali (road roughness filtering), la trasmissione di coppie motrici e resistenti (breaking/driving performances) e infine l’azione delle forze necessarie a controllare la traiettoria del veicolo (cornering performances).
Il comportamento del pneumatico è influenzato da innumerevoli fattori tra i quali i principali risultano: le proprietà meccaniche del pneumatico (rigidezze e smorzamenti), le proprietà della superficie stradale (coefficiente di aderenza µ tra pneumatico e strada, struttura del manto stradale) e infine le condizioni di moto tra pneumatico e strada (modulo e direzione della deformazione/slittamento) (2).
Più avanti verranno dapprima definite le grandezze caratteristiche del moto della ruota con pneumatico rispetto alla strada, e successivamente sarà introdotta una formula empirica, la formula di Pacejka (la formula di Pacejka o "magic formula", è il modello empirico più usato, ed è stato sviluppato a partire dalla metà degli anni Ottanta dal Prof. H.B. Pacejka - 4) che, pur non avendo nessun legame con la realtà fisica e quindi con il comportamento effettivo del pneumatico stesso, cerca di approssimare in modo semplice ma accurato gli andamenti rilevati sperimentalmente di forze e momenti.
Generalmente, le formule empiriche vengono principalmente impiegate nella formulazione di modelli matematici per lo studio della dinamica dell’intero veicolo. Se si volesse un modello semifisico del pneumatico, si dovrebbe fare riferimento al brush model (Il brush model o modello a spazzola è un modello fisico semplice che permette di ottenere delle previsioni corrette del comportamento dello pneumatico solamente in particolari condizioni di moto).
In figura 1 (vedi Galleria multimediale) sono rappresentati gli orientamenti delle forze longitudinale (FL) e laterale (FS) sul pneumatico: la formula di Pacejka riesce a descrivere l’andamento di tali forze che si generano nel contatto ruota-strada. Le FL e le FS dipendono fondamentalmente dalle seguenti variabili: • coefficiente di attrito stradale µ; • carico verticale Fz; • angolo di deriva α (slip angle); • scorrimento longitudinale sL (slip angle). Lo scorrimento longitudinale (5-9) (slip ratio) è definito come:
Il comportamento del pneumatico è influenzato da innumerevoli fattori tra i quali i principali risultano: le proprietà meccaniche del pneumatico (rigidezze e smorzamenti), le proprietà della superficie stradale (coefficiente di aderenza µ tra pneumatico e strada, struttura del manto stradale) e infine le condizioni di moto tra pneumatico e strada (modulo e direzione della deformazione/slittamento) (2).
Più avanti verranno dapprima definite le grandezze caratteristiche del moto della ruota con pneumatico rispetto alla strada, e successivamente sarà introdotta una formula empirica, la formula di Pacejka (la formula di Pacejka o "magic formula", è il modello empirico più usato, ed è stato sviluppato a partire dalla metà degli anni Ottanta dal Prof. H.B. Pacejka - 4) che, pur non avendo nessun legame con la realtà fisica e quindi con il comportamento effettivo del pneumatico stesso, cerca di approssimare in modo semplice ma accurato gli andamenti rilevati sperimentalmente di forze e momenti.
Generalmente, le formule empiriche vengono principalmente impiegate nella formulazione di modelli matematici per lo studio della dinamica dell’intero veicolo. Se si volesse un modello semifisico del pneumatico, si dovrebbe fare riferimento al brush model (Il brush model o modello a spazzola è un modello fisico semplice che permette di ottenere delle previsioni corrette del comportamento dello pneumatico solamente in particolari condizioni di moto).
In figura 1 (vedi Galleria multimediale) sono rappresentati gli orientamenti delle forze longitudinale (FL) e laterale (FS) sul pneumatico: la formula di Pacejka riesce a descrivere l’andamento di tali forze che si generano nel contatto ruota-strada. Le FL e le FS dipendono fondamentalmente dalle seguenti variabili: • coefficiente di attrito stradale µ; • carico verticale Fz; • angolo di deriva α (slip angle); • scorrimento longitudinale sL (slip angle). Lo scorrimento longitudinale (5-9) (slip ratio) è definito come:
Formula
1. ω[rad][s]−1: indica la velocità angolare della ruota; 2. r [m]: indica il raggio della ruota; 3. v [m][s]−1: indica velocità del veicolo. Lo slip ratio misura la differenza tra la velocità del veicolo v e la velocità periferica della ruota rω [10]. La forza longitudinale FLij e la forza laterale FSij di contatto per ogni pneumatico, sono date rispettivamente, dalle seguenti relazioni
In figura 2 si riportano andamenti tipici delle forze longitudinali in funzione dello slip ratio sL al variare dello slip angle e delle forze laterali in funzione dello slip angle al variare le forze normali Fz, assumendo costante il valore del coefficiente d’attrito µ = 0.9 La forza longitudinale FL è nulla se non c’è slittamento (sL = 0), mentre cresce linearmente fino a valori di circa 0.1 − 0.16 al crescere di sL. Esiste un punto di massimo (che si sposta con angolo deriva), oltre il quale la pendenza cambia segno. Aumentando l’angolo di deriva α dunque, si perde in forza longitudinale. Per angoli di deriva nulli (α = 0), la forza laterale è nulla. Tale forza aumenta al crescere dell’angolo di deriva ed è massima per sL = 0.
A ruote bloccate (sL = 1) invece, la forza laterale è nulla, il che corrisponde ad una situazione di totale perdita di direzionalità. Dalla figura 2 si osserva come, a parità di α, variando sL si trasferisce forza dalla componente longitudinale a quella laterale e viceversa.
Per descrivere il comportamento del pneumatico si possono utilizzare formule empiriche con le quali si cerca di approssimare in modo semplice ma accurato gli andamenti rilevati sperimentalmente di forze e momenti. Queste formulazioni vengono principalmente utilizzate nei modelli matematici per lo studio della dinamica dell’intero veicolo.
In questo ambito interessa solo fornire una descrizione accurata del comportamento del pneumatico (al di là della interpretazione fisica), inoltre l’impiego di un vero modello di pneumatico richiederebbe un livello di dettaglio così elevato da renderlo ingestibile.
Sebbene da un punto di vista generale si tratti di un semplice problema di approssimazione numerica, tuttavia nel caso del pneumatico si hanno numerosi vincoli da rispettare. In primo luogo, ha notevole importanza approssimare in maniera accurata anche la derivata prima delle funzioni, evitando di avere fluttuazioni della pendenza non presenti nella realtà; di fatto ciò equivale ad avere dei vincoli anche sulla derivata seconda. Questi aspetti rendono il problema di approssimazione molto più delicato.
Un altro aspetto da considerare è la facilità e versatilità di impiego, caratterizzato dal numero di parametri da fissare e dal loro eventuale significato fisico.
Ad oggi, le formulazioni più utilizzate fanno riferimento alla cosiddetta magic formula [4] che utilizza, come base di interpolazione, la seguente funzione trascendente: dove alla variabile libera x si può assegnare il significato di angolo di deriva a (alfa) se con y si indica la forza laterale Fl, oppure di scorrimento longitudinale Sx se si vuole rappresentare l’andamento della forza longitudinale Fx. I quattro parametri B ,C, D, E vanno fissati in modo da ottenere l’andamento voluto. La determinazione dei valori opportuni dei quattro parametri per meglio approssimare dei dati sperimentali richiede la soluzione di un problema di approssimazione non lineare quindi non è banale. Di solito si assume 1 < C << 2 con -(1 + C2/2) << E << 1 in modo tale da avere una curva che parta con concavità verso il basso e con un solo massimo relativo ymax = D. Ecco spiegato perché i parametri C ed E sono detti, rispettivamente, shape e curvature factor, mentre il parametro D è il peak value. Il restante parametro B è utilizzato per fissare la pendenza nell’origine ed è quindi chiamato stiffness factor. Spesso i quattro parametri vengono resi dipendenti dal carico verticale Fz.
