RICERCA ITALIANA     

Metodi di Logica in Algebra, Analisi e Geometria

Università degli Studi di Camerino

Abstract

La Logica Matematica, ed in particolare la Teoria dei Modelli e la Teoria degli Insiemi, hanno recenti e significative applicazioni ad altri rami della Matematica, come Algebra, Analisi e Geometria. I metodi e le idee che esse elaborano possono produrre incisivi risultati in questi settori. Il progetto intende considerare in generale queste applicazioni e sviluppare in particolare alcune di esse, di seguito elencate.
1) O-minimalità (Metodi di Teoria dei Modelli in Geometria Algebrica e Analitica Reale),
2) Metodi di Teoria dei Modelli per Moduli e Teoria della Rappresentazione,
3) Metodi non standard in Algebra, Analisi e Teoria degli Insiemi,
4) Metodi di Teoria Descrittiva degli Insiemi. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Carlo TOFFALORI Università degli Studi di CAMERINO

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il progetto intende approfondire la applicazione di nozioni e tecniche di Logica Matematica, in particolare di Teoria dei Modelli TM e Teoria degli Insiemi TI, ad altri settori della Matematica, come Algebra, Geometria ed Analisi. Questi contributi non sono nuovi e fanno riferimento alle origini stesse di TM e TI. D'altra parte, negli ultimi anni, un largo spettro di fruttuose e sorprendenti applicazioni si è sviluppato: sofisticati strumenti logici producono reali progressi nei settori sopra elencati. In effetti la comunità matematica sta riconoscendo che metodi di TM e TI hanno rilevanza e comunità di intenti con i settori della matematica tradizionale (talora solo nascoste da una diversità di linguaggio). Convegni comuni, organizzati insiemi a non-logici, si vanno succedendo negli ultimi periodi. Il progetto si inserisce in questo contesto, e punta ad approfondire alcuni dei possibili temi che vi sono emersi. I suoi punti fondamentali (insiemi ad altri temi "minori") sono:
1. O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2. Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione
3. Metodi nonstandard in Algebra, Analisi e TI
4. Metodi di Teoria Descrittiva degli Insiemi.
In 1, si intende considerare una profonda congettura di Pillay, che collega i classici gruppi di Lie ed i gruppi definibili nelle strutture o-minimali; si punta poi a decisivi progressi nella soluzione del problema di Tarski sulla decidibilità della esponenziazione reale.
2 intende studiare lo spazio di Ziegler dei moduli indecomponibili puri iniettivi (e, in certi casi, anche le patologie dei moduli superdecomponibili puri iniettivi) su varie classi di anelli.
3 è dedicato ad approcci elementari all'Analisi non standard (e ai relativi problemi fondazionali) e allo studio di modelli e metodi non standard in Algebra e Teoria degli Insiemi.
4 si interessa a vari aspetti del problema della classificazione nella Teoria Descrittiva degli Insiemi ed a nuove, sorprendenti connessioni tra Teoria Descrittiva degli Insiemi, Assiomi di Forcing e combinatorica.
Puntiamo ad ottenere risultati originali di assoluta profondità in ciascuno di questi temi, secondo il programma di ricerca descritto in 2.4. Desideriamo anche coinvolgere il maggior numero possibile di giovani e promuovere e sostenere la loro ricerca attraverso la partecipazione a conferenze internazionali e a seminari interni; intendiamo così sostenere la Scuola Estiva di Teoria dei Modelli e Teoria degli Insiemi Seminaire Transalpin (organizzata da Torino insieme alle Università di Grenoble e Lione); si prevedono anche 7 assegni di ricerca post-dottorato. <<<

Risultati parziali attesi

Ricapitoliamo i risultati parziali attesi, suddivisi secondo i punti già fissati nella descrizione del programma. Si prevedono pubblicazioni su riviste internazionali di alto livello in ciascuno dei temi elencati. Al solito, TM, TI abbreviano rispettivamente Teoria dei Modelli e Teoria degli Insiemi. I punti sono:

1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2) Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione
3) Metodi nonstandard in Analisi, Algebra e TI
4) Metodi di Teoria Descrittiva degli Insiemi (TDI)
(con appendice per i temi "minori" di ricerca).

1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
a) Gruppi definibili in una struttura o-minimale.
- Congettura di Pillay (ogni gruppo definibilmente compatto G di dimensione o-minimale d in una struttura o-minimale sufficientemente saturata ha un quoziente che è un gruppo di Lie classico di dimensione d)
- Sviluppo di un analogo della misura di Haar per i gruppi definibilmente compatti.
- Condizione della catena decrescente (=non esistenza di catene discendenti infinite di sottogruppi tipo-definibili di indice limitato) in ogni gruppo definibile.
b) Campi reali con esponenziazione (Congettur di Tarski).
- Migliore assiomatizzazione della teoria dei reali con esponenziazione
- Confronto tra lo schema di assiomi di effettiva o-minimalita` proposto in [BSe] e lo schema di definibile completezza (ogni insieme definibile e limitato ha un estremo superiore).
- Versioni effettive di risultati noti sulla crescita di funzioni definibili nei reali con esponenziazione, in relazione al problema aperto della effettiva model-completezza dei reali con esponenziazione.
c) Studio dei numeri surreali e delle funzioni definite su di essi, con speciale attenzione alla funzione esponenziale.
- Funzioni esponenziali con definizioni più semplici (eventualmente definite su campi più piccoli).
- Rapporto dei surreali con le serie logaritmo-esponenziali e con i campi di transeries.

2) Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione.
a) Moduli (fortemente, pseudo-fortemente, quasi) minimali su anelli gruppali e Dedekind-like.
b) Moduli debolmente minimali (cioè di U-rango 1) su anelli gruppali e Dedekind-like.
c) Congettura di Vaught per anelli gruppali e Dedekind-like.
d) Studio della topologia di Ziegler negli ambiti sopra descritti, almeno nel caso divisibile.
e) Eventuale esistenza di moduli superdecomponibili puri iniettivi negli ambiti sopra descritti e, in generale, per anelli commutativi Noetheriani; ricerca dei minimi anelli con moduli superdecomponibili puri iniettivi.

3) Metodi non standard in Algebra, Analisi e TI
a) Approcci algebrici ed insiemistici.
- Approcci elementari alla analisi non standard.
- Studio degli ultrafiltri di Hausdorff.
- Nozione di numerosità per insiemi arbitrari (e studio delle corrispondenti classi di ultrafiltri).
b) Teorie non standard degli insiemi.
- "Wholeness Axioms" senza l'assioma di regolarità, e loro posizione nella gerarchia dei vari assiomi dei grandi cardinali.
- Teoria non standard degli insiemi in cui ogni insieme abbia una estensione nonstandard.
- Proprietà consistenti "massimali" di comprensione, in presenza o di estensionalita' forte o di complementazione generale
c) Proprietà del secondo ordine delle strutture nonstandard.
- Ordinamento e topologie naturali della retta reale nonstandard.
- Principi di saturazione forte.
d) Altro
- Algebre di funzioni generalizzate che includano le distribuzioni e siano chiuse per convoluzione, trasformata di Fourier e prodotto per funzioni C^infinito.
- Applicazioni dei metodi non standard a problemi di densità asintotica in teoria additiva dei numeri ed a proprietà topologiche e algebriche del gruppo Sym(N) delle permutazioni di N.

4. Metodi di Teoria Descrittiva degli Insiemi
a) Problemi di classificazione e relazioni di equivalenza.
- Classificazione di famiglie di continui (in particolare della famiglia dei continui razionali).
- Posizione nella gerarchia di Wadge di famiglie di continui con importanti proprietà topologiche.
- Universalità per preordini analitici (e più in generale per relazioni n-arie su spazi standard Borel).
- Connessioni tra le tecniche di Teoria Descrittiva degli Insiemi e problemi di analisi reale in teoria dei continui.
b) Gerarchia di Wadge.
- Equivalenza tra il principio SLO per funzioni Delta^0_2 e la determinatezza dei giochi di Wadge.
- Analisi dei giochi di Wadge con "cancellazioni".
- Cardinalità delle classi di insiemi.
c) Misure sullo spazio di Cantor e della relazione di omeomorfismo su di esse (collegamento con la teoria della misura e lo studio dei sistemi dinamici).
d) Proprietà topologiche della differenza algebrica tra insiemi di Cantor.
e) Studio dei giochi di Banach.
f) Indipendenza delle proprietà topologiche osservate in [CoHV].

Obiettivi "minori"
- Analisi storica della applicazioni di TM e TI a Algebra, Analisi, Geometria e Informatica Teorica (articoli espositivi e libri).
- Ruolo dei grandi cardinali nella soluzione positiva della congettura della base per ordini lineari di Shelah.
- Reverse mathematics di teoremi di linearizzazione degli ordini parziali.
- Studio del problema della decisione per la classe delle A_0 formule.
- Teorie superstabili con forking banale che interpretano teorie con forking non banale.
- P = NP su significative classi di anelli. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La nostra proposta intende studiare le applicazioni della Logica Matematica, in particolare della Teoria dei Modelli TM e della Teoria degli Insiemi TI, ad altre aree della Matematica. Queste interazioni non sono nuove: la genesi stessa di TM e TI ha avuto stretto collegamento con Algebra ed Analisi Reale. Ma negli ultimi anni metodi e concetti di TM e TI vanno acquistando impatto sempre crescente, ad esempio in Geometria Diofantea, Geometria Analitica e teoria di Lie, Analisi Reale, Teoria dei Moduli, Teoria della Rappresentazione, Analisi Funzionale, Topologia e altri settori. Lungi dall'ingabbiare la libertà della ricerca matematica in schemi logici prefissati (secondo i timori di Poincarè), TM e TI stanno invece fornendo nuove idee e prospettive per lo sviluppo di molteplici aree. La comunità matematica sta riconoscendo che i metodi logici (di TM e di TI) hanno rilevanza e intenti comuni con altre aree; questo riconoscimento è testimoniato dalla organizzazione di programmi speciali, come quelli del Fields Institute (1997 in TM, 2002 in TI), del MSRI (1998), o quello previsto al Newton Institute di Cambridge nel periodo Gennaio-Luglio 2005, da inviti a eventi prestigiosi quali ICM, ECM, seminari Bourbaki e da convegni organizzati con matematici di estrazione diversa dalla logica quali, ad esempio, quello di Urbana-Champaign del 2004, o quello che si tiene a Banff su TM e Geometria proprio in questi giorni. TM e TI condividono poi tra loro unità di intenti, interessi e tecniche, come varie conferenze in collaborazione (quella di Urbana sopra citata, l'incontro di S. Pietroburgo nel 2004) testimoniano. Anche nel prossimo Logic Colloquium 2004 a Torino, TM e TI (e applicazioni) sono ampiamente considerate: alcuni dei componenti del nostro progetto (Berarducci, Lipparini, Marcone) figurano tra gli oratori ed altri (Andretta, Lolli) tra i membri dei Comitati Organizzatore e di Programma. A proposito di Lolli, ci piace ricordare come sia stato recentemente eletto della commissione scientifica dell'ASL per la Logica in Europa.
Ma torniamo alle interazioni di TM e TI. Parole chiave che confermano questa collaborazione sono: definibilità, decidibilità, docilità (con i loro ovvi opposti indefinibilità, indecibilità, selvaticità), più in generale classificazione. Si tratta di concetti non sempre definiti in modo esplicito e uniforme (si pensi ad esempio alla dicotomia docile/selvaggio ed alle sue molteplici interpretazioni in Teoria dei Moduli); testimoniano tuttavia il comune cammino di TM e TI verso la assiomatizzazione delle strutture, la caratterizzazione dei loro insiemi definibili, la individuazione di concetti e strumenti di classificazione, sia nei casi "selvaggi" di indecidibilità e incompletezza, sia nel riconoscere schemi ed analogie della matematica "docile". Consideriamo, ad esempio, il problema della classificazione: caratterizzare gli oggetti di una classe a meno di relazioni di equivalenza, ad esempio strutture a meno di isomorfismi. Si tratta di produrre questa classificazione, se possibile, o di misurarne la difficoltà nei casi più complicati. TM e TI collaborano in questo ambito. In TM Shelah ha sviluppato questa tematica, ottenendo una risposta per certi versi ancora dibattuta ed aperta, ma di formidabile complessità, e fornendo in questo modo nozioni e strumenti che, opportunamente sviluppati e approfonditi, producono significative applicazioni a Geometria, Analisi ed Algebra. L'argomento della Classificazione è, però, tema vitale anche in TI, in particolare in Teoria Descrittiva degli Insiemi TDI. Infatti la teoria generale della classificazione delle relazioni di equivalenza definibili su spazi Polacchi permette di stabilire quanto complesso sia il problema della classificazione in vari ambiti algebrici (e non solo).
Gli orizzonti aperti dalle applicazioni di nozioni e metodi di TI e TM ad altri settori matematici sono dunque ampi e molteplici. Anzi, una riflessione storica che ne approfondisca e spieghi le connessioni e le interazioni è punto importante, sviluppato ad esempio in [MT2], [A1], [LLT1, 2], [Lo]. Passiamo comunque ad introdurre gli argomenti specifici di ricerca del nostro programma. Individuiamo 4 soggetti principali su cui intendiamo lavorare (aspetti "minori" del progetto sono illustrati nei programmi delle singole unità):
1. O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2. Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione
3. Metodi non standard in Algebra, Analisi e TI
4. Metodi di TDI
1. Il concetto di o-minimalità, nato negli anni '80 e legato sin da allora alla congettura di Tarski sulla decidibilità della esponenziazione reale, costituisce oggi una attiva area di ricerca. Infatti, anche se le strutture o-minimali A hanno una definizione semplice e accessibile, la loro analisi può essere visto come una generalizzazione della geometria semialgebrica e dello studio degli insiemi semianalitici e subanalitici sviluppato da Gabrielov, Hironaka e Lojasiewicz a partire dagli anni '60. Il nostro programma di ricerca si rivolge ai seguenti aspetti della o-minimalità.
a) In [BO1,2,3] si studiano i gruppi definibili in una struttura o-minimale. E' noto [Pi1] che sul campo reale ogni gruppo definibile è un gruppo di Lie, e del resto [PPS] ottiene per gruppi o-minimali definibilmente semplici teoremi di rappresentazione matriciale che sottolineano il collegamento coi gruppi di Lie. Tuttavia molte questioni fondamentali sui gruppi definibili, suggerite da questa analogia, sono ancora aperte, in quanto certi strumenti usati nello studio dei gruppi di Lie classici non sono disponibili nel contesto o-minimale, soprattutto perché una struttura o-minimale può non essere localmente compatta. In [BO1,2,3] si tenta di ovviare a queste difficoltà mostrando come alcuni risultati di teoria dell'intersezione [BO1] e dell'omologia e dell'omotopia [BO2,3] possano essere sviluppati nel contesto o-minimale, con applicazioni ai gruppi definibili. Ad esempio si dimostra in [BO2] che, se la realizzazione di un complesso simpliciale, in una espansione o-minimale di un campo, è una varietà definibile di dimensione diversa da 4, allora la sua realizzazione nei reali è una varietà topologica classica. Si ottiene quindi un teorema di punto fisso da cui si deduce che un gruppo definibile definibilmente compatto (non necessariamente compatto nel senso classico) ha caratteristica di Eulero o-minimale zero, e quindi (per un risultato di Strzebonski) ha elementi di ogni ordine finito (risultato ottenuto per altra via da Edmundo).
b) Abbiamo già ricordato la congettura di Tarski sulla decidibilità della teoria della struttura R(exp) che espande il campo reale con la funzione esponenziale. [BSe] studia proprio la struttura o-minimale dei numeri reali con la funzione esponenziale ed altre funzioni lisce, mirando al problema di Tarski. In questo ambito, la o-minimalità si traduce nella condizione che ogni sottoinsieme definibile di R^n ha un numero finito di componenti connesse. In [BSe] si dimostra una versione effettiva del Teorema del Complemento [W]: data una espansione o-minimale del campo R con una famiglia finita di funzioni C-infinito, se esistono limiti superiori uniformi e calcolabili al numero delle componenti connesse degli insiemi definibili senza quantificatori, allora vi sono limiti superiori uniformi e calcolabili al numero delle componenti connesse di tutti i definibili. In tal caso la teoria della struttura risulta effettivamente o-minimale nel senso che esiste una sottoteoria ricorsivamente assiomatizzata tale che ogni suo modello è o-minimale. Da risultati di Khovanskii segue allora l'effettiva o-minimalità di ogni espansione di R con funzioni Pfaffiane. I risultati ottenuti si applicano al problema di Tarski, fornendo un candidato per un'assiomatizzazione ricorsiva della teoria di R(exp), che risulta completa se vale una congettura di van den Dries; quindi, in tale ipotesi, la teoria è decidibile.
2. Sin dai primi contributi di W. Szmielew per i gruppi abeliani, e quelli successivi di Eklof, Fisher ed altri per moduli su domini di Dedekind, tecniche e idee di TM hanno determinato rilevanti sviluppi algebrici per i moduli. In particolare, l'articolo di Ziegler [Z], la sua analisi dei moduli indecomponibili puri iniettivi (pi) su un dato anello R e l'introduzione del loro spazio topologico Zg(R) (lo "spettro di Ziegler" di R) hanno ruolo chiave per una possibile classificazione dei moduli pi a meno di isomorfismi e di tutti gli R-moduli a meno di elementare equivalenza. [Pr] e [JL] descrivono in dettaglio le applicazioni della TM ai moduli e varie intriganti connessioni con la teoria delle rappresentazione di algebre di dimensione finita; si vedano anche [Pu], [PrP]. Ci interessa in particolare il caso dei moduli su anelli gruppali R = DG, dove D è un dominio di Dedekind e G è un gruppo finito. Si tratta di un ambito vario e non completamente omogeneo: la natura algebrica di R può dipendere significativamente dal gruppo G (e dal dominio D). Ad esempio, a seconda del tipo di isomorfismo di G, o anche semplicemente del suo ordine, risultati di classificazione per la classe di tutti gli R-moduli, o per certe importanti sottoclassi, possono essere ottenuti, oppure esclusi. L'analisi degli anelli gruppali si estende poi in modo naturale a classi di anelli direttamente collegati a DG per certe scelte di G, e va così ad interessare pullback di domini di Dedekind e anelli Dedekind-like. Vari risultati sono stati ottenuti in questi contesti: citiamo [MPT1,2], [MT1], [To1,2]. In particolare, [MPT2] sviluppa un esame sistematico della topologia di Ziegler per moduli indecomponibili pi senza torsione su anelli gruppali. Inoltre [PuPT] sottolinea come tutti gli anelli gruppali ZG quando Z è l'anello degli interi e G è gruppo non banale ammettano moduli pi superdecomponibili (cioè privi di addendi diretti indecomponibili non nulli). Una analisi completa dello spettro di Ziegler per i nostri anelli (almeno nei casi "docili") richiede ovviamente l'esame di altri casi importanti, ad esempio della classe dei moduli indecomponibili pi divisibili. Risultati parziali di classificazione (sia su anelli gruppali che su anelli Dedekind-like) sono ottenuti in questo ambito per moduli che soddisfano certe ipotesi di minimalità (forte, pseudo-forte, quasi minimalità) in [LPT1, 2]: si veda anche [HP]. Un altro spunto importante di ricerca verso la comprensione della struttura dei moduli contabili su un fissato anello (contabile) è costituito dalla Congettura di Vaught, studiata nel nostro ambito in [PuT].
3. Tecniche e modelli non standard (ns) sono, sin dai tempi di Skolem, uno delle maggiori sorgenti di applicazione della Logica Matematica in altri settori Matematici. Dagli ultimi anni 40, poi, le intuizioni di A. Robinson hanno applicato i metodi ns all'analisi, per costruire una teoria che concili il rigore dei fondamenti e un'esposizione facilmente accessibile: compito non facile, che ha prodotto vari classici contributi (di Robinson, Luxemburg, Keisler, Ward Henson, Stroyan). Recentemente Forti e Di Nasso hanno sviluppato con Benci altri approcci "elementari" all'analisi, tendenti a mostrare che i modelli ns emergono in modo naturale da vari contesti matematici e possono essere caratterizzati in termini squisitamente matematici (che evitano un troppo pesante riferimento alla Logica). Così l'approccio algebrico di [BD3] caratterizza completamente i numeri reali ns, mentre l'approccio topologico di [BDF,DF1] include in un quadro unificante completamenti, compattificazioni di Stone-Cech ed estensioni ns. Un nuovo modo di contare l'infinito, che soddisfa il principio "il tutto è più grande delle parti", è proposto in [BD1] e produce, sotto ipotesi opportune, un semianello di "numeri" che risulta un modello molto speciale dei naturali ns. L'Alfa Teoria di [BD2] postula 5 proprietà elementari di un numero ideale (infinito) "alfa", sufficienti per definire un'estensione non standard di tutti gli oggetti matematici. Un fenomeno interessante che si manifesta in parecchi di questi approcci è la necessaria esistenza di ultrafiltri con particolari proprietà, che risultano indipendenti dalla teoria degli insiemi d Zermelo-Fraenkel. Ad esempio il "Principio di Cauchy" che tutti i numeri infinitesimi sono valori all'infinito di successioni tendenti a 0 è equivalente, nell'Alfa Teoria, all'esistenza di un P-punto; l'esistenza di una funzione numerosità è equivalente a quella di un ultrafiltro selettivo; l'esistenza di estensioni topologiche di Hausdorff è equivalente a quella di una speciale classe di ultrafiltri, detti di Hausdorff per questa ragione. L'independenza dell'esistenza di ultrafiltri di Hausdorff è stata provata solo ultimamente da Bartoszynski e Shelah in [BS].
Ulteriori aspetti relativi a questo parte del progetto riguardano le proprietà strutturali della retta reale ns *R, già studiate sin dagli albori dell'analisi ns. In [DF2], si indagano allora le relazioni fra i tipi d'ordine fondamentali di *R e sono determinati gli invarianti cardinali della topologia gruppale di *R. Citiamo ancora le applicazioni dei metodi ns alla teoria additiva dei numeri [J], oppure a proprietà di compattezza. In particolare [DiZ] fornisce una semplice caratterizzazione della compattezza nel gruppo delle permutazioni di N.
4. La TDI studia i sottoinsiemi definibili degli spazi Polacchi, quelli che ricadono nella gerarchia Boreliana o in quella proiettiva. Allo studio delle proprietà di queste gerarchie, sin dai primi decenni del secolo scorso si accompagna il problema della classificazione di insiemi che vengono studiati in altre parti della matematica e vengono spesso perciò detti "naturali". Una panoramica su alcuni risultati di questo tipo è [Bk1]. Lo strumento principale utilizzato nella classificazione degli insiemi è la nozione di riduzione di Wadge: la gerarchia di Wadge raffina e generalizza sia la gerarchia Boreliana che quella proiettiva. Negli ultimi anni grande importanza hanno assunto le ricerche sulle relazioni d'equivalenza definibili e lo studio della relazione di riducibilità tra di esse. In questo campo Kechris, Hjorth ed altri hanno ottenuto risultati di grande rilievo, specialmente per le relazioni d'equivalenza indotte da azioni di gruppi Polacchi. Questi risultati hanno permesso di misurare la difficoltà di un problema di classificazione, spiegando in modo matematicamente preciso fenomeni empirici che pervadono quasi tutti i settori della matematica. [BK] e [Kc] illustrano in generale queste tematiche. Si determina così la complessità di problemi dell'algebra [Th], della topologia (GK] e dell'analisi [H]. In questo contesto esistono contributi dei componenti delle unità di Torino ed Udine su: equazioni differenziali [AM1,4], spazi funzionali [AM2,3], teoria dei gruppi [CK], [ACH], algebre di Boole [CG] e teoria dei continui [CDM], [DM]. Osserviamo poi che [LR1,2] attirano l'attenzione su relazioni d'equivalenza indotte non da azioni di gruppi Polacchi, ma da relazioni di quasi ordine che è naturale considerare in ambito topologico, geometrico e combinatoriale: si veda qui [MR].
Va aggiunto che recenti collegamenti tra TDI ed altre aree di TI che sembravano un tempo indipendenti (quali combinatorica ed assiomi di forcing) sono sorgente di nuove generali applicazioni ad altri rami della Matematica. La gerarchia di Wadge è ancora concetto essenziale in questo ambito. Su questo argomento [A2] mostra che certe conseguenze dell'Assioma di Determinatezza bastano ad assicurare un teorema di struttura per la gerarchia di Wadge e [AMt] estende alcuni risultati al caso delle riduzioni di Borel. Gli assiomi di forcing sono di crescente importanza nella pura TI (cioè nello studio degli ideali) e nelle applicazioni alla topologia [KV]. Su questi aspetti si vedano anche [CoHV], [Co], [Li]. <<<