RICERCA ITALIANA     

Metodi numerici e software matematico per le applicazioni

Università degli Studi di Firenze

Abstract

Le moderne Scienze Applicate ricorrono sempre piu' di frequente alla modellizzazione matematica dei fenomeni da indagare. Generalmente, la risoluzione delle equazioni del modello e' approssimata mediante l'utilizzo di idonei codici di calcolo. Da questa considerazione, si evince l'importanza di questi ultimi, che costituiscono un consistente contributo della comunita' matematica allo sviluppo tecnologico.

A riguardo, va tuttavia precisato che i codici di calcolo non sono da considerarsi come prodotti statici: infatti, la loro evoluzione procede di pari passo con lo sviluppo tecnologico dei calcolatori e con l'aumento della complessita' scientifica dei problemi applicativi.

E' pertanto vitale che tutta l'attivita' connessa con lo sviluppo di efficienti codici di calcolo sia sempre pronta a rispondere adeguatamente ai bisogni derivanti dalle applicazioni.

Cio' premesso, il presente progetto si inquadra esattamente in questo filone di ricerca, con particolare riguardo al trattamento numerico di equazioni differenziali ordinarie, sistemi di equazioni non lineari, e problemi di programmazione non lineare. A questo fine, e' previsto lo sviluppo organico di tematiche rivolte alla definizione di nuovi e piu' efficienti codici di calcolo, alcuni dei quali saranno sviluppati nell'ambito di questa ricerca.

Le tematiche che si prevede di approfondire riguardano:

1) Lo studio dei metodi numerici di base per equazioni differenziali ordinarie. Questo tema mira sia alla definizione di nuovi metodi, che alla analisi di metodi esistenti, con il fine di definirne adeguate strategie di implementazione. In particolare, si prevede di approfondire questioni legate: alla stabilita' dei metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie; alla risoluzione dei problemi discreti derivanti dalla loro applicazione; alla scelta della mesh su cui il problema discreto e' definito. Tutti questi aspetti, infatti, rappresentano delle pietre miliari nello sviluppo di codici di calcolo efficienti per problemi difficili quali, ad esempio, i problemi multi-scala (problemi stiff).

2) Il trattamento efficiente di problemi con particolari caratteristiche, richiede di approfondire le specifiche problematiche ad essi connessi. Tra i problemi che verranno esaminati si menzionano, in particolare: i problemi Hamiltoniani; i problemi derivanti dalla semi-discretizzazione di PDE; le equazioni differenziali algebriche; i problemi di autovalori.

3) Lo sviluppo di codici di calcolo per equazioni differenziali ordinarie e aggiornamento del "Test Set for IVP Solvers". Questa attivita' e' quella che ha una ricaduta diretta sulla risoluzione dei problemi derivanti dalle applicazioni. Si prevede lo sviluppo e manutenzione di codici di calcolo per: problemi ai valori iniziali; problemi ai valori ai limiti; problemi con vincoli algebrici. E' inoltre previsto l'ampliamento di un data base di codici di calcolo e problemi applicativi (il cosiddetto "Test Set for IVP solvers" [63]), che ha una notevole rilevanza per la comunita' scientifica che lavora in questo settore.

4) Studi ed approfondimenti dei metodi numerici per la risoluzione di sistemi non lineari e di problemi di programmazione non lineare di grandi dimensioni, con sviluppo di corrispondente software per piattaforme di calcolo ad alte prestazioni. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Luigi BRUGNANO Università degli Studi di FIRENZE

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'obiettivo di questa ricerca e' la definizione e lo studio di metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie, sistemi non lineari e problemi di programmazione non lineare, con lo sviluppo di relativo software matematico.

In maggior dettaglio, la ricerca avra' quattro obiettivi principali, identificabili come segue:

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1) DEFINIZIONE DI EFFICIENTI STRATEGIE DI IMPLEMENTAZIONE DEI METODI NUMERICI DI BASE PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, IN VISTA DEL LORO UTILIZZO SOTTO FORMA DI CODICI DI CALCOLO.

Questo obiettivo richiede un sistematico studio ed approfondimento relativamente ai metodi di base per la risoluzione numerica di equazioni di evoluzione. E' prevedibile che questo aspetto possa articolarsi come segue:

1.a) studio delle proprieta' di metodi impliciti, con particolare riferimento ai metodi BVM, le loro varianti a blocchi, ed i metodi impliciti "one step" in generale;

1.b) risoluzione dei problemi discreti generati dalla applicazione dei metodi numerici;

1.c) selezione della mesh di integrazione.

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2) EFFICIENTE TRATTAMENTO DI PROBLEMI DIFFERENZIALI CON PARTICOLARI CARATTERISTICHE.

Questo obiettivo prevede lo sviluppo e analisi di metodi numerici specifici per le classi di problemi individuate. Tra queste si menzionano le seguenti:

2.a) i problemi Hamiltoniani;

2.b) i problemi derivanti dalla semi-discretizzazione di PDE;

2.c) le equazioni differenziali algebriche;

2.d) i problemi di Sturm-Liouville.

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3) SVILUPPO DI CODICI DI CALCOLO PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE E AGGIORNAMENTO DEL "TEST SET FOR IVP SOLVERS".

In questo caso, l'obiettivo e' lo sviluppo di software matematico, con adeguati requisiti di efficienza e robustezza, per:

3.a) problemi ai valori iniziali (ODE-IVP);

3.b) problemi ai valori ai limiti (ODE-BVP).

I problemi cui i predetti software sono rivolti, sono quelli piu' difficili nelle rispettive categorie, quali, ad esempio, i problemi di tipo stiff.

E' inoltre prevista la specifica attivita' di

3.c) sviluppo e manutenzione di un data base di codici di calcolo e problemi (il "Test Set for IVP Solvers" [63]).

Questo ultimo aspetto ha una sua specifica valenza, nell'ambito di questo progetto, in quanto la disponibilita' di tali data base rappresenta un utile strumento per tutta la comunita' scientifica che lavora in questo settore. E' infatti fondamentale avere a disposizione degli strumenti per il benchmarking di nuovi codici, al fine di rendere efficiente ed efficace l'attivita' di ricerca sottostante.

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4) ANALISI, SVILUPPO ED IMPLEMENTAZIONE DI METODI NUMERICI PER LA RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI E DI PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE NON LINEARE DI GRANDI DIMENSIONI.

Relativamente a questo specifico punto, la ricerca si articolera' come segue:

4.a) analisi di metodi tipo Newton per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari e per problemi di programmazione non lineare: problemi di ottimizzazione non lineare e disequazioni variazionali;

4.b) costruzione di un insieme di problemi test per problemi di ottimizzazione non lineare derivanti da problemi di controllo ottimo di tipo parabolico e di tipo ellittico, e da problemi di equilibrio descritti da disequazioni variazionali;

4.c) analisi di metodi numerici del tipo proiezione per la programmazione quadratica e relative applicazioni alla risoluzione di disequazioni variazionali;

4.d) costruzione di un software per problemi di apprendimento automatico risolti con schemi che utilizzano come nucleo computazionale i metodi di tipo proiezione.

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Risultati parziali attesi

Essendo prevista una sola fase per questa ricerca, in quanto saranno sviluppate in parallelo praticamente tutte le tematiche previste, i risultati attesi per questa fase coincidono con quelli dell'intero progetto.

Questi possono essere schematicamente riassunti come segue:

1) Avanzamento delle conoscenze riguardo ai metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie di vario tipo e delle
corrispondenti problematiche implementative.

2) Sviluppo e/o aggiornamento di alcuni codici di calcolo.

3) Aggiornamento del Test Set (Test Set for IVP Solvers).

4) Avanzamento delle conoscenze riguardo ai metodi numerici per sistemi di equazioni non lineari e problemi di programmazione non lineare di grandi dimensioni, con sviluppo di relativo software.

I risultati di cui ai punti 1 e 4, costituiranno l'argomento di pubblicazioni scientifiche su:

1.a) riviste specialistiche del settore,

1.b) proceedings di convegni attinenti alla ricerca,

1.c) rapporti tecnici.

I codici descritti al punto 2 saranno:

2.a) il codice di calcolo BIM per ODE-IVP,

2.b) il codice di calcolo GAM per ODE-IVP;

2.c) il codice di calcolo TOM per ODE-BVP.

Questi codici saranno resi fruibili alla comunita' scientifica.

L'aggiornamento del Test Set, di cui al punto 3, sara' consistente con la descrizione degli obiettivi della ricerca, e sara' disponibile al sito:

http://www.dm.uniba.it/~testset

Infine, riguardo al punto 4, si prevede in particolare di realizzare:

4.a) una libreria di problemi di ottimizzazione non lineare, provenienti da problemi di controllo ottimo sia di tipo parabolico che ellittico con controllo al bordo o distribuito, e di problemi retti da disequazioni variazionali. Questa libreria sara' resa disponibile in rete;

4.b) un software sequenziale/parallelo per la risoluzione dei problemi di apprendimento automatico mediante le tecniche Suport Vector Machines. Anche questo software sara' reso disponibile in rete. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

PREMESSA. Le moderne Scienze Applicate ricorrono sempre piu' di frequente alla formalizzazione matematica dei fenomeni da indagare. Questo per svariati motivi, tra cui vi e' quello di poter fare previsioni di tipo sia qualitativo che quantitativo sul fenomeno oggetto di indagine. In genere, le equazioni coinvolte nella formalizzazione del modello sono formulate nel continuo e sono molto complesse, per cui una loro risoluzione in forma chiusa non e' praticamente mai disponibile. Si ricorre, pertanto, all'utilizzo di opportune metodologie di risoluzione numerica, utilizzabili sotto forma di codici di calcolo.

Lo sviluppo di codici di calcolo robusti, in grado cioe' di fornire risposte affidabili a problemi sempre piu' complessi, e' un consistente contributo che la comunita' matematica fornisce allo sviluppo tecnologico, tenendo conto, anche, che i codici di calcolo non sono da considerarsi come prodotto statico, ma che la loro evoluzione procede di pari passo con lo sviluppo tecnologico dei calcolatori e con l'aumento della complessita' dei problemi applicativi.

Cio' premesso, l'attivita' di ricerca del presente progetto si articolera' nei seguenti filoni, per i quali verranno brevemente descritte le problematiche connesse, le competenze nell'ambito delle unita' operative coinvolte in questo progetto, e lo stato della ricerca nel settore:

1) studi ed approfondimenti relativi ai metodi di base per la risoluzione numerica di equazioni di evoluzione;

2) metodi numerici per problemi differenziali con particolari caratteristiche;

3) sviluppo di codici di calcolo per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie ed aggiornamento del "Test Set for IVP Solver";

4) analisi, sviluppo ed implementazione di metodi numerici per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari e di problemi di programmazione non lineare di grandi dimensioni.

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Relativamente al punto 1, la ricerca vertera' su questioni riguardanti i metodi impliciti, con particolare enfasi riguardo ai metodi denominati Boundary Value Methods (BVM) [16], che sono metodi a blocchi basati sull'utilizzo di formule lineari multistep, le loro varianti a blocchi, ed i metodi "one-step" in generale. La ricerca, in questo ambito, si articolera' in diversi punti:

1.a) studio delle proprieta' dei metodi BVM e loro varianti a blocchi;

1.b) risoluzione dei problemi discreti generati;

1.c) selezione della mesh di integrazione.

Relativamente al punto 1.a, si menziona che i metodi BVM (Boundary Value Methods) [16] sono stati sviluppati da membri afferenti a questo progetto. I metodi in questa classe sono stati inizialmente introdotti per la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali. In seguito la ricerca si e' sviluppata lungo direzioni distinte e le applicazioni hanno via via riguardato diverse classi di problemi evolutivi. Nella loro formulazione a blocchi, questi metodi sono stati implementati nel codice di calcolo GAM [63] (in Fortran 77) per la soluzione di ODE con condizioni iniziali. Di questo codice e' stata anche formulata una versione parallela (PGAM) [45].

I metodi "one-step" impliciti, tra cui i metodi BVM a blocchi, e loro varianti, sono caratterizzati da una coppia di matrici (matrix pencil) che consente di scrivere in forma compatta il corrispondente problema discreto. Le proprieta' di tali matrici sono fondamentali per diversi aspetti, quali le proprieta' di stabilita' dei metodi stessi e la risoluzione dei problemi discreti generati. Per quanto riguarda le proprieta' dei metodi, alcuni risultati di rilievo sono stati ottenuti da ricercatori afferenti a questo progetto [1,3,4].

Le proprieta' di tali matrici hanno una ricaduta anche sulle tematiche del punto 1.b, legate alla risoluzione efficiente dei problemi discreti generati. In particolare, le proprieta' delle matrici che definiscono metodi BVM [6,36] sono state approfondite, in vista del precondizionamento dei corrispondenti problemi discreti [37]. Inoltre, in [12,13,17] e' stata proposta la risoluzione dei problemi discreti mediante il "blending" di opportuni metodi a blocchi. Questo approccio permette di definire in modo relativamente semplice efficienti splitting non lineari per la risoluzione dei corrispondenti problemi discreti. In alcuni casi, lo splitting risulta essere diagonale, configurando una naturale implementazione parallela dei metodi stessi [13,17]. I metodi cosi' ottenuti, denominati "blended implicit methods", sono stati di recente implementati nel codice di calcolo BIM [14].

Altre classi di metodi BVM, idonei per una efficiente implementazione sia sequenziale che parallela, sono i Parallel Implicit Predictor Corrector Methods (PIPCM) e varianti opportune delle Generalized BDF (GBDF) [34,35]. Questi metodi sono a meta' strada tra i parallel block methods e i parallel diagonally-implicit iterated RK methods [32,33,51], e relazionati alle extended BDF [21,22].

Passando al punto 1.c, una problematica importante nella costruzione di un codice riguarda la strategia di variazione del passo [52]. Uno studio attento del metodo di discretizzazione e del condizionamento dei problemi continuo e discreto, ha portato alla definizione di una strategia innovativa basata sui parametri di condizionamento [15]. Tale strategia ha permesso anche l'utilizzo della quasilinearizzazione per la soluzione di problemi non lineari [47], specialmente in connessione con la risoluzione di problemi ai valori ai limiti di tipo stiff. Tale strategia e' stata implementata nel codice Matlab TOM per la risoluzione di BVP (http://www.dm.uniba.it/~mazzia/bvp/readme.html) e risulta essere piu' efficiente, rispetto a quelle utilizzate dai codici piu' noti, quali, ad esempio, TWPBVP, COLNEW, MIRCDC e BVP4c, per la risoluzione di problemi stiff. Per questi problemi, fino ad ora, sono stati sviluppati codici ad hoc, utilizzando prevalentemente la tecnica di continuazione [18].

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Per quanto riguarda il secondo filone di ricerca, vi sono diversi tipi di problemi differenziali con particolare struttura che sono rilevanti per le applicazioni. Quelli che costituiranno argomento di ricerca in questo progetto saranno, in particolare:

2.a) i problemi Hamiltoniani;

2.b) i problemi derivanti dalla semi-discretizzazione di PDE;

2.c) le equazioni differenziali algebriche;

2.d) i problemi di Sturm-Liouville.

Relativamente al punto 2.a, si rammenta l'importanza dei problemi in questa classe in svariate applicazioni (dinamica dei corpi celesti, dinamica molecolare, ecc. ). Tuttavia, i sistemi Hamiltoniani non godono della' proprieta' di genericita' nell'ambito dell'insieme della totalita' dei sistemi dinamici, nel senso che essi non risultano strutturalmente stabili rispetto a perturbazioni arbitrarie. In effetti, l'uso di un metodo numerico equivale all'inserimento nel problema continuo di un termine perturbativo che, in generale, distrugge le proprieta' qualitative delle sue soluzioni, ovvero la simpletticita' del flusso e l'esistenza di integrali primi. Gli approcci numerici piu' utilizzati per questi problemi si basano sull'utilizzo di metodi one-step combinati con tecniche opportune che assicurano la conservazione di tali proprieta' [28,29]. Relativamente alla classe dei metodi multistep, usati con con condizioni iniziali, si sono ottenuti risultati piu' deboli. Al contrario, se si utilizzano condizioni al contorno, e' possibile definire una vasta varieta' di formule appropriate, nella classe dei metodi BVM simmetrici. La loro efficienza e' stata mostrata relativamente ai sistemi lineari autonomi con condizioni iniziali ed al contorno [1,6-8,16].

Per quanto riguarda i problemi al punto 2.b, si menziona che il metodo delle linee (MOL) costituisce un flessibile strumento per la risoluzione delle classi principali di tali problemi. Esso e' particolarmente indicato per il trattamento di PDE paraboliche ed iperboliche. In questo ambito, gli studi fatti per problemi ai valori iniziali e ai valori al contorno sono stati applicati alla vasta classe di problemi alle derivate parziali utilizzando il metodo delle linee, sia longitudinale che trasverso [46].

Per quanto riguarda le equazioni differenziali algebriche (punto 2.c), si menziona che queste equazioni sono ampiamente utilizzate, ad esempio, nella modellizzazione di sistemi meccanici vincolati. Sebbene negli ultimi venti anni vi siano stati rilevanti risultati riguardo al trattamento numerico di queste equazioni (alcuni dei quali da parte di afferenti al presente progetto [9,19]), nondimeno vi sono ancora difficolta', riguardo alla risoluzione efficiente dei problemi piu' difficoltosi, specie se di indice elevato.

Infine, per quanto riguarda il punto 2.d, si menziona che i problemi di Sturm-Liouville trovano applicazione in vari settori della scienza e della tecnica [50]. In generale tali problemi descrivono i modi normali e le frequenze di oscillazione di un sistema fisico fornendo informazioni sul bilancio energetico fra energia cinetica e energia potenziale. Piu' in particolare, nel loro ambito, cadono l'equazione monodimensionale di Schrodinger nella forma originale della Meccanica Quantistica, l'equazione di Ursell relativa ai modi di oscillazione di un fluido in presenza di ostacoli di forma particolare, la descrizione di onde gravitazionali in fluidi stratificati. Anche in questo ambito, i metodi BVM si sono dimostrati particolarmente flessibili non solo per problemi di Sturm-Liouville di tipo regolare, ma anche per problemi che presentano autovalori immersi in uno spettro essenziale, per i quali le metodologie classiche presentano difficolta' di implementazione e sensibili degradi nelle caratteristiche di convergenza. Inoltre una importante classe di BVMs produce approssimazioni numeriche che sono analitiche rispetto a un parametro di discretizzazione, caratteristica, questa, molto utile per la stima degli errori nel calcolo degli autovalori [23-26].

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Per quanto riguarda il terzo filone di ricerca, questo riguardera' lo sviluppo di codici di calcolo per:

3.a) problemi ai valori iniziali (ODE-IVP);

3.b) problemi ai valori ai limiti (ODE-BVP).

E' inoltre prevista una specifica attivita' riguardante:

3.c) lo sviluppo e manutenzione del "Test Set for IVP Solvers".

Per le classi di problemi di cui ai punti 3.a e 3.b, si menziona l'esistenza di buoni codici di calcolo, sia per problemi ai valori iniziali (vedi, ad esempio quanto riportato al sito [63]), che per problemi ai valori ai limiti. Tuttavia, l'attivita' in questo ambito e' sempre da considerarsi in evoluzione, come evidenziato nella premessa.

Riguardo al punto 3.a, come ricordato innanzi, e' stato realizzato il codice di calcolo GAM [63], e la sua variante parallela PGAM [45], basati su metodi BVM a blocchi. E' inoltre stato realizzato il codice di calcolo BIM per problemi ai valori iniziali [14], che implementa un metodo "blended" ad ordine e passo variabili. Questo codice e' disponibile in rete al sito:
http://www.math.unifi.it/~brugnano/BiM/.

Riguardo al punto 3.b, e' stato sviluppato il codice TOM (in Matlab) per la risoluzione di BVP: il codice e' disponibile al sito http://www.dm.uniba.it/~mazzia/bvp/readme.html. Questo codice implementa una tecnica di variazione del passo
innovativa, rispetto a quelle utilizzate nei codici esistenti, che lo rende molto competitivo per la risoluzione di problemi di tipo stiff.

Infine, riguardo al punto 3.c, si menziona che nel corso del 2001 vi e' stato il passaggio della gestione del sito web "Test Set for IVP solvers" dal CWI di Amsterdam all'universita' di Bari.

L'idea del Test Set e' nata durante il workshop dal titolo "ODE-to-NODE" svoltosi in Norvegia (Geiranger) nel 1995, in cui si e' manifestato l'interesse di raccogliere test derivanti da problemi applicativi, da utilizzare per confrontare, da diversi punti di vista, i software esistenti. La prima versione del Test Set e' stata sviluppata al CWI fra il 1995 ed il 1998 [43] con il contributo di molti studiosi e istituti di ricerca (fra cui l'NMI, l'istituto norvegese di meteorologia, e il RIVM, l'istituto olandese nazionale della salute pubblica e protezione dell'ambiente). La versione 2.1 è stata resa disponibile nell'agosto 2003 all'indirizzo:

http://www.dm.uniba.it/~testset

e adesso si presenta come uno dei siti piu' utilizzati per effettuare benchmark su algoritmi numerici per la soluzione di ODE. Come indicatore oggettivo riguardo al suo impatto sulle conoscenze scientifiche si fa riferimento al numero di accessi che, da parte di ricercatori, applicativi, studiosi di tutto il mondo, vi sono a questo sito. Al momento le statistiche indicano un totale di 7740 accessi nel mese di febbraio 2004, con un totale di 50056 accessi nel 2003. Inoltre, accedendo al sito

http://pitagora.dm.uniba.it/~testset/reports/index.htm

è possibile verificare, oltre al numero degli accessi, anche i domini di provenienza dei visitatori. Il Test Set viene anche
referenziato direttamente da molte Università e centri di ricerca internazionali come sito di interesse per la risoluzione
numerica di ODE e per la presenza di problemi test di rilievo.

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Per quanto riguarda il quarto filone di ricerca, questo riguardera'

4.a) l' analisi di metodi tipo Newton per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari e per problemi di programmazione non lineare (NLP): problemi di ottimizzazione non lineare e disequazioni variazionali;

4.b) l'analisi di metodi numerici del tipo proiezione per la programmazione quadratica e relative applicazioni alla risoluzione di disequazioni variazionali;

con sviluppo di relativo software.

Relativamente al punto 4.a, si menziona che la risoluzione di molti problemi applicativi comporta la risoluzione di sistemi di equazioni generalmente non lineari, e/o la minimizzazione o la massimizzazione di una funzione obiettivo non lineare, libera o soggetta a vincoli. Per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari di grandi dimensioni, il metodo di Newton iterativo (p.e. il metodo Newton-SOR) e' l'approccio piu' descritto in letteratura: in [60] e' stato proposto il metodo di Newton iterativo della media aritmetica particolarmente efficiente su architetture di calcolo parallele. Riguardo alla risoluzione di problemi NLP, uno degli approcci piu' significativi per la loro risoluzione e' costituito dai metodi de Newton del punto interno [59]. L'osservazione che il metodo di Newton del punto interno può essere visto come un metodo di Newton inesatto [54] permette di studiare la convergenza di tale metodo in relazione alla scelta, p.e., del parametro di perturbazione, del criterio di arresto, delle regole di riduzione della lunghezza del passo d'iterazione [58]. La risoluzione iterativa ed il precondizionamento dei problemi generati, con particolare attenzione all'utilizzo di piattaforme di calcolo parallele, e' stato invece studiato in [55-57].

Riguardo al punto 4.b, basilari per lo sviluppo dei metodi SQP, ma anche nella risoluzione di disequazioni variazionali mediante schemi di tipo proiezione, sono i metodi per la risoluzione di problemi di programmazione quadratica (QP).
Per problemi di grandi dimensioni che presentano una struttura particolare nella hessiana o nei vincoli, si è dimostrato particolarmente efficiente uno schema iterativo generale, detto metodo a proiezione variabile [61], che include come casi particolari molti dei metodi classici di decomposizione e di proiezione. Una interessante applicazione ad un problema di "machine learning" e' descritta in [62]. <<<