RICERCA ITALIANA     

Metodi numerici avanzati per equazioni alle derivate parziali di interesse applicativo

Università degli Studi di Pavia

Abstract

Il progetto che sottoponiamo è variegato e si propone diversi obiettivi. Essenzialmente, vogliamo migliorare le prestazioni dei metodi numerici per alcune classi di problemi di rilevante interesse applicativo, che provengono dalla Meccanica dei Fluidi, dalla Meccanica Strutturale e dall'Elettromagnetismo. Più precisamente ci occuperemo di

Fluidodinamica

Meccanica strutturale

Elettromagnetismo

Transizioni di fase e problemi di interfaccia

Leggi di bilancio

Semiconduttori

Interazione fluido-struttura

Equazioni cinetiche

Materiali compositi

Gli strumenti matematici che intendiamo utilizzare sono di diverso tipo. Per quanto riguarda la discretizzazione dei vari problemi, useremo principalmente metodi agli elementi finiti ma, all'occorrenza, anche differenze finite, metodi spettrali, volumi finiti ed ondine.

Nel caso di problemi evolutivi, per la discretizzazione in tempo impiegheremo soprattutto metodi di splitting, schemi IMEX e/o opportuni metodi di tipo Runge-Kutta.

Per certi problemi (in particolare le interazioni fluido-struttura e le equazioni di Maxwell time-harmonic), dedicheremo attenzione speciale all'analisi del comportamento dei relativi autovalori.

Come già detto, l'attenzione generale sarà rivolta al miglioramento delle prestazioni dei diversi metodi. Questo miglioramento riguarderà certamente la stabilità e l'accuratezza dei vari metodi, ma anche l'efficienza degli algoritmi numerici che verranno utilizzati. Inoltre, laddove possibile, si cercherà di tener conto delle proprietà di conservazione di quantità fisiche di particolare rilevanza per il problema considerato.

Per maggiori dettagli sulle varie tecniche che impiegheremo per ogni specifico problema si rinvia al successivo punto 2.4: Descrizione del Programma di Ricerca.

Risulta quindi chiaro che il progetto non è focalizzato su una singola tematica; avremmo potuto presentare tanti progetti di dimensione ridotta, ognuno dei quali dedicato ad un singolo e ben preciso problema. Abbiamo preferito optare per una soluzione diversa, principalmente allo scopo di stimolare una maggiore interazione fra gruppi di ricerca nonché per favorire gli scambi trasversali delle tecniche matematiche da un'applicazione all'altra. Personalmente ritengo che questo modo di lavorare possa essere molto proficuo, e che le interazioni e gli scambi di informazioni tra i vari gruppi coinvolti costituiranno uno dei fattori principali per l'avanzamento della ricerca di tutte le Unità. È anche importante, a mio parere, che i ricercatori più giovani di ogni Unità abbiano maggiori possibilità di interagire e di cooperare con i migliori ricercatori più anziani delle altre Unità (tra cui ci sono persone come C. Canuto, P. Colli Franzone, L.D. Marini, P. Pietra, A. Quarteroni, G. Russo, C. Verdi, nonché un certo numero di ricercatori relativamente più giovani ma che hanno già raggiunto uno status internazionale di sicuro prestigio). <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Franco BREZZI Università degli Studi di PAVIA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il nostro principale obiettivo consiste nello studio dell'approssimazione numerica di svariati problemi (o classi di problemi) di importanza nelle applicazioni. Questo comporterà talvolta un lavoro di tipo modellistico, sebbene questo non sia il nostro scopo primario. Un secondo obiettivo, dal nostro punto di vista di notevole importanza, è quello di aumentare le collaborazioni tra le diverse Unità, allo scopo di favorire una sorta di "fertilizzazione trasversale" in cui le esperienze maturate da una singola Unità su uno specifico problema possano essere trasferite e sfruttate all'interno di un altro gruppo, impegnato su un problema anche molto diverso ma con caratteristiche e difficoltà matematiche simili. In un certo senso è proprio questo il nostro scopo principale: unire le forze in un singolo progetto piuttosto che presentarne diversi, molto più focalizzati. Le tematiche che affronteremo, elencate sommariamente in base al tipo di applicazioni a cui si rivolgono, sono:

Fluidodinamica
Meccanica Strutturale
Elettromagnetismo
Transizioni di fase e problemi di interfaccia
Leggi di bilancio
Semiconduttori
Interazione fluido-struttura
Equazioni cinetiche
Materiali compositi

Va in ogni caso segnalato che alcuni strumenti matematici comuni saranno intensivamente utilizzati per la maggior parte delle applicazioni, e questa è la ragione principale per promuovere la cooperazione. Questi strumenti comprendono in particolare:

Stimatori dell'errore a posteriori e adattività
Metodi di Galerkin Discontinui
Tecniche di stabilizzazione
Metodi di decomposizione del dominio
Metodi agli elementi finiti misti e ai volumi finiti

Accanto a questi, ci sono altri strumenti che verranno usati solo occasionalmente, quali metodi spettrali, ondine, metodi Runge-Kutta, tecniche di risoluzione delle sottogriglie, metodi Monte Carlo, schemi rilassati in tempo, ecc. Siamo fermamente convinti che tutte queste tecniche, che si sono dimostrate estremamente efficienti per determinati problemi, possano essere estese ed usate con successo in molti altri contesti, ed in particolare per alcune delle tematiche che intendiamo affrontare. La Sezione 2.4 del presente Modello A contiene la descrizione delle connessioni Unità-Strumento-Problema (da cui si vede che ogni Unità lavorerà su vari problemi, usando tecniche differenti), così come le possibili collaborazioni. Una descrizione più dettagliata si trova nel Modello B di ciascuna Unità, Sezione 2.5. <<<

Risultati parziali attesi

Essendo il progetto articolato su una sola fase, i risultati parziali coincidono con quelli dell'intero progetto, riportati ai punti 2.1 e 2.4 del presente modello e, più dettagliatamente, ai punti 2.5 delle relazioni delle singole Unità <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Come già detto, all'interno del nostro progetto intendiamo occuparci di vari problemi, che si situano in diversi campi di applicazione. Sarebbe per me molto difficile, se non impossibile, presentare correttamente lo stato dell'arte, a livello internazionale, per tutti questi problemi specifici. Credo sia più opportuno rinviare per questo alle presentazioni di ogni Unità (Modello B, Sezione 2.4), dove si possono ottenere descrizioni più dettagliate ed accurate. Mi limiterò qui ad esporre il mio punto di vista sulla scelta dei problemi che intendiamo studiare e delle tecniche che intendiamo utilizzare, come pure sulle varie connessioni tra le diverse tematiche.

È opinione diffusa che la maggior parte dei problemi bidimensionali siano attualmente trattabili in modo soddisfacente con metodi già esistenti, ricorrendo all'uso dei calcolatori più potenti disponibili. Questa considerazione non si applica chiaramente a tutti i problemi bidimensionali, ma possiamo considerarla valida in media. D'altra parte, continua ad avere senso lavorare e fare esperimenti su molti problemi bidimensionali, o addiruttura monodimensionali, se si pensa che questo possa portare ad una migliore e più profonda conoscenza del problema, che sia poi di aiuto nel trattamento dei corrispondenti problemi tridimensionali.

Anche all'interno dei problemi tridimensionali ce ne sono alcuni che possono essere risolti con l'accuratezza voluta tramite l'uso combinato di tecniche e calcolatori attualmente disponibili, ma molti altri contengono difficoltà che non sono ancora state risolte in modo soddisfacente.

L'ostacolo maggiore è tuttora costituito dalla presenza di scale multiple, che possono presentarsi in vari problemi.

- Ad esempio, il materiale (composito) che si deve studiare presenta una struttura estremamente fine; oppure si dispone solo di misure sperimentali della struttura stessa; oppure, per capire e modellizzare correttamente la struttura fine si deve ricorrere ad un modello di micro-scala.

- Oppure, in certe parti del dominio computazionale la fisica del problema comporta la presenza di fenomeni che si sviluppano su scale piccole (strati limite, shocks, propagazione di fronti, ecc., ed anche turbolenza).

- Oppure, ci sono problemi in cui si verifica interazione di fenomeni e/o oggetti diversi, ciascuno con una sua scala intrinseca, e le scale sono molto diverse tra loro. Ci sono molti esempi di situazioni di questo ultimo tipo: basta pensare ai problemi che provengono dall'acustica e dallo "scattering" eletromagnetico.

D'altra parte, anche se la maggior parte dei problemi fisici si svolge nello spazio tridimensionale (fatta eccezione per i problemi di relatività), certe equazioni si collocano naturalmente in un contesto in cui le variabili indipendenti sono più di tre. L'esempio più classico è probabilmente costituito dalle equazioni di Boltzmann, in cui le variabili indipendenti sono sei (più il tempo), ma ce ne sono molti altri. Trascurando gli esempi ovvi che si trovano nel settore dell'Economia, ci sono casi (ad esempio, per materiali periodici) in cui è conveniente considerare come variabili indipendenti spazio e frequenze insieme, il che comporta però un grosso aumento del numero di incognite. I problemi in dimensione superiore a tre sono stati fino ad oggi il regno dei metodi Monte Carlo, sebbene in certi casi si potrebbe pensare ad un uso massiccio delle proprietà di regolarità per ridurre il sovraccarico dovuto all'alto numero di dimensioni.

Tutte le considerazioni precedenti sono alla base della scelta di maggior parte dei problemi che ci proponiamo di affrontare. Il collegamento è evidente in certi casi, come per le equazioni cinetiche e i problemi di omogeneizzazione, ma è abbastanza chiaro anche per altri. Sicuramente si applica a problemi in cui si verificano diversi tipi di fronti (cambiamenti di fase, problemi di frontiera libera, "front tracking", elaborazione di immagini), così come si applica a problemi in cui si generano o si propagano degli shocks (leggi di conservazione, equazioni iperboliche, ma anche equazioni a trasporto dominante o a reazione dominante). Il discorso vale anche per lo studio numerico di procedure auto-adattive, basate su stimatori a-posteriori dell'errore, che sono tipicamente usate per seguire la propagazione di fronti; ed ancora, per lo studio numerico di schemi stabilizzati che evitino il propagarsi di oscillazioni spurie al di fuori del fronte o dello strato limite. In questa prospettiva vanno considerati anche altri problemi, quali: lo studio di schemi migliori per l'avanzamento in tempo in svariati tipi di equazioni, lo studio delle interazioni fluido-struttura, lo studio degli effetti quantistici nei dispositivi a semiconduttore, l'accoppiamento di modelli diversi in diverse parti del dominio computazionale, lo studio di tecniche di decomposizione del dominio per diverse applicazioni, ed anche gli studi più di base relativi alle equazioni di diffusione-trasporto-reazione e alle equazioni di Maxwell time-harmonic, all'uso più conveniente di metodi di Galerkin discontinui, di metodi misti, volumi finiti, ondine e quant'altro.

Le Unità afferenti a questo progetto hanno già portato contributi significativi a gran parte di questi argomenti, e sono ben equipaggiate per affrontare i problemi che sono stati scelti come obiettivi del progetto stesso (al punto 2.2a ho raccolto alcuni dei risultati più rilevanti pubblicati dai partecipanti negli ultimi anni). Verosimilmente non scriveremo la parola "fine" su nessuno di questi problemi, ma speriamo di poter portare ancora altri contributi di rilievo. <<<