RICERCA ITALIANA     

Metodi variazionali ed equazioni differenziali nonlineari

Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di Trieste

Abstract

I principali temi di ricerca che intendiamo affrontare sono:

1. Equazioni ellittiche nonlineari: teoremi di esistenza, unicità, molteplicità, e proprietà qualitative delle soluzioni, soluzioni concentrate per problemi di perturbazione singolare, onde stazionarie e stati semiclassici per equazioni di Schroedinger nonlineari;

2. Sistemi Hamiltoniani: soluzioni periodiche, omocline, eterocline, dinamiche complesse e diffusione di Arnold; problemi di Meccanica Celeste; sistemi Hamiltoniani infinito dimensionali.

Tali problemi saranno affrontati utilizzando i metodi variazionali ed in particolare la teoria dei punti critici. Questo approccio metodologico unitario permette di avere una prospettiva piú generale che spesso riesce di notevole utilità.

Al progetto afferiscono 6 Unità.
I ricercatori coinvolti hanno una lunga e collaudata esperienza di collaborazione, che si è avvalsa delle competenze complementari delle unità. Numerosi Workshop e visite brevi e (specie dei ricercatori più giovani) lunghe hanno cementato questa attività comune, il cui successo è anche testimoniato dai numerosi lavori, fatti in collaborazione da membri di diverse Unità, che sono stati prodotti negli anni passati. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Antonio AMBROSETTI Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di TRIESTE

Obiettivo del Programma di Ricerca

La ricerca che intendiamo sviluppare si inseriesce nel campo dell'Analisi Nonlineare ed è il proseguimento dell'attività svolta nel 2000-2002 e 2002-2004.

Precisamente, il principale obiettivo del programma di ricerca è lo studio dei metodi variazionali e delle loro applicazioni ad alcune classi di equazioni differenziali non lineari, le quali, come spesso accade in Analisi Nonlineare, forniscono le motivazioni alle ricerche "astratte'". I principali temi che intendiamo affrontare sono:

1. Equazioni ellittiche nonlineari: teoremi di esistenza, unicità, molteplicità, e proprietà qualitative delle soluzioni, soluzioni concentrate per problemi di perturbazione singolare, equazioni di Schroedinger nonlineari, con speciale riferimento agli stati semiclassici;

2. Sistemi Hamiltoniani: Problema degli N-corpi; diffusione di Arnold e teoria di Aubry-Mather; soluzioni omocline, eterocline e dinamiche caotiche.
Sistemi Hamiltoniani con infiniti gradi di libertà: soluzioni periodiche e quasi-periodiche dell'equazione delle onde nonlineare; onde stazionarie nel problema delle onde d'acqua.

Sulle molte delle tematiche suddette gli afferenti al gruppo hanno collaborato nei progetti di ricerca presentati e cofinanziati nel 2000 e 2002. Questa collaborazione si è giovata di una forte complementarietà di competenze scientifiche fra le unità locali e di numerosi legami scientifici a livello internazionale.
Questo ha permesso il raggiungimento di vari risultati, come documentato anche dai numerosi lavori in collaborazione (si veda il sito web del gruppo http://www.mat.uniroma3.it/analisi.nonlineare.html).
Il risultato positivo dell'esperienza precedente suggerisce di proseguire nella strada intrapresa, ampliando i temi di ricerca e proponendo il progetto attuale. <<<

Risultati parziali attesi

Ricordiamo che il nostro progetto prevede una sola fase.
Comunque, indichiamo qui di seguito alcuni dei risultati che sembrano raggiungibili già al termine del primo anno.

1.1. esistenza di "ground states", e loro concentrazione, per NLS con potenziali che tendono a zero all'infinito;
esistenza di stati semiclassici per NLS con nonlinearità di tipo non locale e per sistemi di NLS.

1.2. soluzioni di problemi di Neumann per problemi di perturbazione singolare per aperti di R^3 che si concentrano su curve contenute nel bordo;

1.3. ulteriori risultati di esistenza di soluzioni per problemi di Dirichlet con termine nonlineare dipendente dal gradiente;
proprietà geometriche delle soluzioni che cambiano segno per equazioni ellittiche superlineari, e delle autofunzioni dei problemi linearizzati corrispondenti.
esistenza di soluzioni radiali per equazioni ellittiche quasilineari con pesi singolari;
soluzioni con dead cores e bursts per equazioni quasi lineari su aperti di R^n e su varietà riemanniane.

1.4. esistenza di vortici nella teoria MCS, e nella teoria elettrodebole. Studio delle equazioni di Liouville collegate.

1.5. unicità degli stati segregati per un'equazione di reazione-diffusione nel caso di 3 popolazioni sul piano ed esistenza per sistemi di reazione-diffusione non cooperativi.

1.6. (i) risultati tipo Brezis-Nirenberg per equazioni di tipo misto con esponente "critico";
(ii) esistenza di soluzioni positive per l'eq. di Henon con nonlinearità sopracritiche;
(iii) proprietà geometriche delle soluzioni del problema di Ginzburg-Landau-Allan-Cahn;
(iv) estensione dei risultati contenuti in [LT] a classi più ampie di dati iniziali;
(v) esistenza (o non esistenza) di soluzioni grandi per il problema di Dirichlet sul disco.

2.1. esistenza di soluzioni quasi-periodiche per il problema degli N-corpi;
esistenza di soluzioni periodiche del problema dei 3 e dei 4 corpi trovati come minimi locali del funzionale d'azione del problema.

2.2. costruzione di algoritmi e metodi adatti a dimostrare l'esistenza di tori invarianti per modelli classici della meccanica celeste.

2.3. continuare lo studio della diffusione di Arnold e della teoria di Aubry-Mather mediante lo studio delle soluzioni di viscosità delle associate equazioni di Hamilton-Jacobi.

2.4. dimostrare l'esistenza di soluzioni multi-bump omocline a orbite periodiche.

2.5. dimostrazione analitica dell'efficacia del meccanismo di biforcazione secondaria.

2.6. soluzioni periodiche per equazioni delle onde nonlineari libere e forzate con termini nonlineari non monotoni. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La base di partenza scientifica è costituita dai principali risultati recentemente ottenuti sia dagli afferenti al gruppo che dalla comunità scientifica internazionale. Per chiarezza espositiva distingueremo nel seguito i metodi astratti che forniscono al base teorica comune generale e le applicazioni alle equazioni ellittiche e ai sistemi Hamiltoniani. Gli strumenti teorici a cui facciamo riferimento sono classici: la Teoria dei punti critici per funzionali illimitati [Str96]; il metodo di concentrazione-compattezza sviluppato da PL Lions [Lio84]; il Principio del massimo e metodo del moving-planes (si vedano i classici lavori di Serrin [Ser71] e Gidas-Ni-Nirenberg [GNN79]); l'Analisi di blow-up ([Li95,Li96]); la Teoria KAM (vedi Moser [Mos73]) e i teoremi tipo Nash-Moser; i metodi perturbativi di tipo variazionale ([AB1-AB2]).

1. Equazioni Ellittiche

1.1. Equazioni di Schroedinger nonlineari (NLS).

Come base di partenza prenderemo innanzi tutto i lavori [AMS], [AMN1] e [BW]. In tali lavori lo studio dell'esistenza e della concentrazione delle soluzioni delle NLS, quando la costante di Planck tende a zero (stati semiclassici), è fatta nell'ipotesi che il potenziale V verifichi:
(i) liminf_{|x| to + infty} V(x) > 0,
(ii) V > 0 o si annulla in qualche punto, cfr. [BW].
La concentrazione può avvenire in punti oppure su varietà, cfr. [AMN1].

È stato considerato anche il caso in cui la nonlinearità è di tipo non locale come nell'Eq. di Schroedinger-Poisson. cfr [BMP] o nell'eq. di Schroedinger-Maxwell, cfr. [BDa]. I risultati ottenuti in questi casi sono ancora parziali.

Ulteriori lavori che forniranno una base di partenza saranno: [ChYa], [Ya] per sistemi di eq. NLS; [BaPa] per equazioni di campo medio nel piano con nonlinearità esponenziali.

1.2 Fenomeni di concentrazione per problemi ellittici.

Una caratteristica dei problemi di perturbazione singolare con condizioni di Dirichlet o di Neumann è la concentrazione delle soluzioni. Sull'argomento c'è una vasta bibliografia, cfr. ad es. [Ni88]. Recentemente, è stata studiata -per la prima volta- la concentrazione su varietà di dimensione maggiore di zero, cfr. [MM1-MM22] e [AMN2], che saranno le basi di partenza delle ricerche che intendiamo sviluppare.

Un altro punto di partenza è il lavoro [GlGr] dove sono state ottenute stime asintotiche per le soluzioni del problema di Gelfand.

1.3 Risultati di esistenza e unicità e proprietà qualitative per soluzioni di equazioni ellittiche semilineari e quasilineari.

Per studiare l'esistenza di equazioni ellittiche con termine nonlineare dipendente dal gradiente avremo come base di partenza il lavoro [DGM]. Per problemi semilineari con crescita critica, la base di partenza sarà, altre al fondamentale lavoro [BN], i recenti lavori [AMS02] e [EM03].

Per studiare le proprietà nodali delle soluzioni di eq. semilineari e delle autofunzioni dei relativi problemi linearizzati, partiremo dai lavori [Da], e [Me], relativi allo studio delle autofunzioni dell'operatore di Laplace. Utilizzeremo anche i risultati di [DGP], dove le proprietà geometriche delle autofunzioni del problema linearizzato permettono di stabilire teoremi di unicità in domini simmetrici del piano.

Per studiare l'insieme dei punti critici delle soluzioni di problemi quasilineari ellittici degeneri, partiremo dai risultati di Trudinger [Tr] e Murthy-Stampacchia [MuSt], e dai recenti lavori [DaSc] e [AfPa] relativi a risultati di regolarità per equazioni con l'operatore p-laplaciano.

Vogliamo anche studiare le proprietà delle soluzioni di equazioni del tipo div (A(|Du|)Du) = f(u). Qui i principali lavori di riferimento sono [PSZ], [PS6] e [PS8].

1.4. Vortici e stringhe nella teoria dei campi di gauge con struttura autoduale.

L'approccio seguito per questo tipo di indagine è stato introdotto da Taubes [Ta], cfr. anche [JT], [Y], per lo studio di vortici planari nella teoria di Maxwell-Higgs. In tale lavoro l'equazione viene ridotta, mediante la scelta di un opportuno gauge, a un'equazione ellittica non lineare di tipo Liouville nel piano.

La principale base di partenza per le ricerche da sviluppare sarà fornita da vari lavori recenti:
(i) vortici topologici, risp. non-topologici, nella teoria abeliana di Chern-Simons: [T1], risp. [N];
(ii) teoria di Chern-Simons non abeliana: [NT];
(iii) teoria di Maxwell-Chern-Simons-Higgs: [RT];
(iv) teoria Elettrodebole: [BCLT], [BT2].

1.5. Sistemi ellittici con forte interazione e partizioni ottimali: esistenza, proprietà qualitative e problemi di frontiera libera associati.

Le ricerche che vogliamo portare avanti sui problemi di reazione-diffusione hanno come principale base di partenza i risultati di [CTV1-CTV2] relativi a problemi di partizione ottima del dominio nel caso di due densità in competizione, e [CTV3] per sistemi di k densità.

1.6. Altri problemi

(i) Problemi al contorno per equazioni nonlineari di tipo misto ellittico-iperbolico e degenere: il riferimanto principale è il lavoro [LP5] dove si è dimostrata una identità di tipo Pohozaev, deducendone un fenomeno di esponente critico di tipo potenza per una grande classe di equazioni di tipo misto e degenere sotto varie condizioni al bordo di tipo classico e aperto.
(ii) Il problema di Dirichlet omogeneo su una palla per l'equazione di Henon, che è stato proposto come modello di distribuzione di massa nel contesto di cluster stellari a simmetria sferica. Per questo il riferimento è il lavoro [S].
(iii) Il modello di Ginzburg-Landau-Allen-Cahn, legato anche ad una interessante congettura di Degiorgi: qui il punto di partenza è il lavoro [V], cfr. anche [AJM02].
(iv) Equazioni di evoluzione e fenomeni di blow-up: base di partenza sono [LT] e [STV].
(v) Problema delle H-superfici: tra i risultati più noti ricordiamo [BC] e [BR]. Per il caso in cui la curvatura media H non sia costante i lavori principali di riferimento sono [CMu] e [ChM].

2. Sistemi Hamiltoniani.

2.1. Orbite periodiche e quasiperiodiche per il problema degli n-corpi

In [A63] è dimostrata l'esistenza di tori invarianti massimali per il problema dei 3 corpi planare; in [LR95] il risultato di Arnold viene esteso al caso non planare. Risultati recenti, ancora sul problema dei 3 corpi, riguardano invece l'esistenza di tori a dimensione più bassa ([F02] per il caso planare e [BCV03] per il caso non planare) e l'esistenza di orbite periodiche che si accumulano su di essi ([BBV04]).

Il lavoro [CM] ha dato un nuovo impulso all'uso dei metodi variazionali per la ricerca di soluzioni periodiche per il problema degli n-corpi. Tale lavoro è stato generalizzato in [FT], lavoro che fornisce un metodo generale per costruire soluzioni periodiche di non collisione e con opportune simmetrie.

2.2. Costruzione esplicita di tori invarianti e stabilità per modelli di meccanica celeste

In questo modelli le degenerazioni e i valori dei parametri fisici rendono impossibile l'applicazione delle tecniche classiche. Per un approccio a tale problema si veda il lavoro [CC97].

2.3. Problemi e metodi locali e variazionali legati alla diffusione di Arnold

Per questi problemi e i legami con la teoria di Aubry-Mather e quella delle soluzioni viscose di Hamilton-Jacobi rimandiamo ai recenti lavori [BBB03], [Be03].

2.4. Esistenza di soluzioni omocline ed eterocline a orbite periodiche

Si veda il lavoro [BR98] nel caso in cui la soluzione periodica minimizza l'azione e [CZM04] nel caso in cui l'orbita periodica non è minimizzante.

2.5. Orbite periodiche per catene di Fermi-Pasta-Ulam.

Nel lavoro [AKT] si è dimostrata l'esistenza di orbite periodiche per il modello di Fermi, Pasta ed Ulam mediante tecniche di teoria delle biforcazioni (tra cui le orbite di Lyapunov).

2.6. Sistemi Hamiltoniani infinito dimensionali.

(i) Per il problema delle piccole oscillazioni dell'eq. delle onde nonlineare un primo riferimento è il classico lavoro di Rabinowitz [R] per oscillazioni forzate, e [Bam] nel caso libero. Una ipotesi standard è che la nonlinearità sia non-decrescente. In un lavoro recente, cfr. [BB03], questa ipotesi è stata rilassata adattando le tecniche sviluppate in [AB1-AB2]. Questi lavori sono la base di partenza scientifica per lo studio, in generale, di teoremi del tipo "Centro di Lyapunov" per equazioni alle derivate parziali hamiltoniane.
(ii) Riguardo l'esistenza di onde solitarie per il problema delle Onde d'acqua, faremo riferimento ai lavori [FH], [Cr], [Bu] e [IPT].
Oltre a teoremi tipo Nash-Moser, anche qui faremo riferimento ai metodi perturbativi di [AB1-AB2]. <<<