RICERCA ITALIANA     

GEOMETRIA SULLE VARIETA ALGEBRICHE

Università degli Studi Roma Tre

Abstract

Il programma di ricerca si inserisce in un tema centrale nell'evoluzione della conoscenza matematica, vale a dire lo studio delle varieta' definite da un sistema di equazioni algebriche. Con il nome di Geometria algebrica questo tema ha percorso tutta la storia matematica del Novecento sviluppandosi per onde successive: la scuola italiana di Castelnuovo, Enriques e Severi, le congetture di Weil, gli EGA di Grothendieck e Dieudonne', la fioritura di scuole e risultati degli anni settanta e ottanta. In tutta la vicenda il contributo italiano e' sempre stato notevole e spesso di assoluto rilievo. Oggi la ricerca italiana nel campo della Geometria algebrica rappresenta, per il nostro paese e per la comunita' scientifica internazionale, una risorsa di valore ed importanza speciali. Il programma intende fondarsi su questa risorsa ed estenderne ancora le ben conosciute capacita' di produrre risultati molto elevati per qualita' e livello.
Il progetto di ricerca affrontera' una serie di problemi classici riguardanti le varieta' algebriche. Tali problemi appartengono all'eredita' lasciata dalle grandi scuole del Novecento ed in questo senso sono qui considerati come classici. Essi saranno affrontati utilizzando uno spettro assai ampio di tecniche e metodi, secondo un modo di procedere che e' tipico degli studi sulle varieta' algebriche e che ha lo scopo di stabilire molti e differenziati punti di osservazione su uno stesso argomento. In proposito possiamo ricordare: i metodi della geometria birazionale, le tecniche della geometria proiettiva e proiettivo-differenziale, lo studio dei cicli algebrici e della teoria dell'intersezione, lo studio degli spazi di moduli, il punto di vista aritmetico, quello trascendente, la teoria dei motivi e cosi' via.
Il filo che unifichera' tutto il lavoro sara' la nozione di varieta' algebrica completa, definita (prevalentemente) su un campo algebricamente chiuso. In natura le varieta' algebriche si suddividono in famiglie, caratterizzate da invarianti sia discreti che continui, alle quali corrispondono altrettanti temi della ricerca in programma. Questi ultimi affronteranno problemi di grande importanza e rilievo nei seguenti settori:
-geometria birazionale e classificazione delle varieta' algebriche
-geometria proiettiva e classificazione delle immersioni in P^n
-curve e loro famiglie
-curve, jacobiane e varieta' abeliane
-superfici algebriche
-spazi dei moduli di mappe stabili e questioni collegate
-cicli algebrici
-proprieta' aritmetiche delle varieta' algebriche
Il lavoro si articolera' su dieci unita' di ricerca. I ricercatori coinvolti hanno gia' sperimentato in varie altre circostanze questo tipo di lavoro in collaborazione, che ha sempre portato risultati significativi ed un successo notevole. Partecipera' al programma una parte consistente della scuola italiana di geometria algebrica, con molti dei suoi maggiori studiosi.
Il progetto prevede inoltre attivita' formative e di coinvolgimento nelle ricerche per giovani studiosi, post-doc e dottorandi.
Piu' concretamente il progetto spendera' circa 185000 euro in assegni e borse destinati a giovani studiosi di valore da inserire nelle attivita' di ricerca in programma. Si tratta di un impegno importante pari a circa il 23,5 per cento del costo totale dell'intero progetto. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Alessandro VERRA Università degli Studi ROMA TRE

Obiettivo del Programma di Ricerca

Questo progetto si propone di ottenere una serie di nuovi e rilevanti risultati in un campo di ricerca di fondamentale importanza per la matematica contemporanea e cioe' la Geometria Algebrica. L'obiettivo principale sul quale verranno a convergere e ad amalgamarsi gli interessi e le competenze specifiche dei partecipanti al progetto sara' dunque lo studio generale delle varieta' algebriche, effettuato da tutti i principali punti di vista e mediante l'uso di strumenti diversi e complementari. Sono inoltre prevedibili applicazioni ed interazioni con il campo della fisica teorica, piu' precisamente con la teoria delle stringhe, e, su un altro versante, con l'aritmetica e la teoria dei numeri.
Una caratteristica del programma sara' la focalizzazione sugli esempi e sugli oggetti geometrici concreti. In particolare il programma rivolgera' un' attenzione speciale allo studio diretto di quelle varieta', o di quelle classi di varieta', che sono di cruciale interesse per lo sviluppo delle conoscenze in geometria algebrica. Tali varieta' costituiscono il filo conduttore ed il quadro generale di riferimento per le varie sezioni in cui e' articolato il programma. Su di esse convergera' il lavoro comune, sviluppato da tutti i punti di vista: geometria birazionale e metodi di classificazione in dimensione qualsiasi, tecniche della geometria algebrica proiettiva e proiettivo-differenziale, studio sia algebrico che trascendente dei cicli su una varieta' algebrica, questioni aritmetiche, aspetti enumerativi e di teoria dell'intersezione, studio degli spazi di moduli delle varieta' algebriche, e cosi' via.
Il progetto si fonda sul patrimonio scientifico attuale, e sulla grande tradizione, della Scuola italiana di Geometria Algebrica. Esso punta ad utilizzare e ad organizzare al meglio le notevoli risorse umane presenti in questo settore della ricerca nazionale.
'E importante sottolineare come il progetto rappresenti la continuazione ed il naturale sviluppo di un precedente programma, che ha visto la partecipazione dello stesso gruppo di ricercatori e che e' stato organizzato in modo analogo. Tale programma, oltre a svolgersi senza difficolta' ed in modo pienamente soddisfacente, ha saputo produrre, nel corso dell'ultimo biennio, un gran numero di nuovi ed importanti risultati sulle varieta' algebriche.
La partecipazione al presente progetto di esperti nei principali settori della geometria algebrica, e la loro abitudine a collaborare insieme, permettera' di mettere in campo tutte le competenze necessarie per raggiungere risultati di ampio respiro e, nello stesso tempo, di elevata qualita' e livello.
La speciale attenzione del progetto verso gli studiosi giovani e meritevoli, che saranno coinvolti nel lavoro di ricerca in programma con assegni e contratti di collaborazione scientifica per un importo complessivo di circa 185000 euro, costituira' un investimento particolarmente importante per il futuro della ricerca italiana in Geometra Algebrica. <<<

Risultati parziali attesi

La prima parte del programma sara' dedicata al lavoro di ricerca in collaborazione tra i vari gruppi di ricercatori che fanno parte del progetto. Saranno inoltre assegnate le previste borse di collaborazione per giovani studiosi, che inizieranno cosi' a collaborare al programma di ricerca. I risultati parziali attesi dovrebbero essere costituiti da un consistente numero di nuove conoscenze e di nuovi teoremi sulle varieta' algebriche. Ci si attende, entro il termine del biennio, che la maggior parte di questi nuovi risultati sia esposta su preprints consultabili in rete o su articoli in stampa sulle piu' importanti riviste internazionali del settore.Ci si attende il completamento di una gran parte delle ricerche previste e la loro diffusione sulle piu' importanti riviste internazionali. In generale la conclusione del programma dovrebbe determinare un significativo incremento delle conoscenze sulle varieta' algebriche ed anche un ulteriore e conseguente aumento della importanza scientifica e del credito internazionale della Geometria algebrica italiana. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Per valutare la base di partenza scientifica, nazionale ed internazionale, del programma puo' essere utile considerare i seguenti aspetti:
(1)***Stato di avanzamento delle ricerche sulle varieta' algebriche a livello internazionale e situazione italiana.
Questo aspetto e' ben noto ed e' stato sottolineato in altri punti di questa presentazione: la ricerca in Geometria Algebrica e' di fondamentale importanza per tutta la matematica ed e' al centro dell'interesse. La situazione italiana e' particolarmente positiva: la scuola italiana di Geometria Algebrica, le cui forze sono in gran parte coinvolte nel presente programma, e' uno dei punti di forza di tutta la ricerca internazionale di settore.
(2)***Competenza ed esperienza dei partecipanti rispetto al tipo di ricerche che costituiranno il loro specifico compito.
Sono molto ampi e di primissimo piano i risultati, vecchi e nuovi, gia' ottenuti dai partecipanti al progetto su tutti i temi di ricerca espressi dal programma. Per rendere conto di cio' e' stato preparata una bibliografia di pubblicazioni recenti dei partecipanti. La bibliografia e' allegata qui di seguito e prosegue poi nel successivo punto 2.2a (riferimenti bibliografici). La lettura della bibliografia e' forse il modo piu' conveniente per valutare la qualita' e le possibilita' del progetto.
(3)***Capacita' complessiva del progetto per quanto riguarda il coordinamento e la organizzazione delle competenze specifiche dei partecipanti e delle attivita' di collaborazione.
Le capacita' organizzative e di funzionamento del progetto sono state piu' volte sperimentate nel corso di altri progetti nazionali dello stesso tipo od anche attraverso la sperimentazione di analoghi progetti di ricerca europei riguardanti la Geometria algebrica. Piu' in generale i diversi gruppi di partecipanti al progetto hanno sviluppato vivaci e fruttuose tradizioni di collaborazione scientifica, che si sono ben radicate nel corso degli anni.
In particolare si concludera' nel presente anno un progetto del tutto simile, sia per quanto riguarda il nome che per quanto riguarda i partecipanti. Tale progetto ha prodotto risultati di ricerca incisivi e di grande qualita'. Inoltre esso ha dimostrato, e sta continuando a dimostrare, una capacita' ottimale di funzionamento per quanto riguarda la organizzazione scientifica del lavoro dei partecipanti. Per ulteriori informazioni in merito: http://matrm3.mat.uniroma3.it/GVA.
(4)***Credito scientifico del pool di forze disponibili al progetto e capacita' di coinvolgere altre realta' di ricerca nazionali ed internazionali.
Il progetto, per il tramite dei suoi partecipanti. si trovera' inserito in una fitta rete di consolidati collegamenti scientifici con i piu' importanti centri internazionali di ricerca in Geometria Algebrica. Il peso scientifico internazionale del gruppo dei partecipanti al progetto trova conferma, in particolare, nei seguenti dati di fatto:
-i numerosi lavori in collaborazione dei partecipanti con ricercatori stranieri di grande prestigio,
-il coinvolgimento di un rilevante numero di partecipanti nelle iniziative piu' importanti in Geometria Algebrica, (organizzatori e plenary speakers nei convegni internazionali, editors e referees di importanti riviste, responsabili di reti di ricerca internazionali, etc.). In questo contesto e' utile elencare, a titolo di esempio, quei programmi europei di sostegno alla ricerca, che vedono largamente coinvolti, per la parte italiana, gruppi o sedi partecipanti al presente progetto. Si tratta di programmi ora in corso, alcuni in fase iniziale e altri in fase conclusiva, o di nuovi progetti:
-EU-network EAGER, European Algebraic Geometry Research Training Network (HPRN-CT-2000-00099), 2000-2004. La domanda di rinnovo e' attualmente sotto valutazione.
-EU-network AAG, Arithmetic Algebraic Geometry Research Training Network (MRTN-CT-2003-504917) 2004-2008.
-EU-network GTEM "Galois Theory and explicit methods in Arithmetic" (RTN Network 1-1999-00097) 2000-2004.
-EU-network "Algebraic K-Theory,Linear Algebraic Groups and related structures" (HPRN-CT-2002-00287) 2002-2006.
-EU-network ENIGMA "European Network in Geometry, Mathematical Physics and Applications". Nuovo progetto.
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B I B L I O G R A P H Y
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The following text is a partial bibliographical account of recent publications due to authors enrolled in the program. The quoted papers are representative of the research themes to be considered by the project as well as of the actual interest and experience in the field of the people involved. Each section of the bibliography corresponds to a research section of the project, (bearing the same letter and approximately the same title). The research sections of the project are described more in detail in 2.4.
Reading the text could be the more appropriate and helpful method for detecting the background of the project as well as its objectives and the possible evolution.
REMARKS The bibliography mainly refers to the last four years. For each section the number of references has been limited to about 12. The name of a coauthor which is not taking part to the project is followed by *.

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[A] BIRATIONAL GEOMETRY AND HIGHER DIMENSIONAL
CLASSIFICATION:
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[1]M. ANDREATTA*, M. MELLA, 'Morphisms of projective varieties from the viewpoint of Minimal Model Theory', Dissertationes Math., 413 (2003), 72 pp.
[2]M.BELTRAMETTI, K.CHANDLER*, A.J.SOMMESE*, 'Reducible hyperplane sections II', Kodai Math. J., 25 (2002), no. 2, 139-150.
[3]M.BELTRAMETTI, S.DI TERMINI, 'Higher dimensional polarized varieties with non-integral nefvalue', Adv. Geom., 3 (2003), 287--299.
[4]M.BELTRAMETTI, A.J.SOMMESE*, 'The adjunction theory of complex projective varieties', W. de Gruyter, Berlin, 398 pp. (1995).
[5]G.M. BESANA*, S. DI ROCCO*, A. LANTERI,'Peculiar loci of ample and spanned line bundles', Manuscripta Math., 112 (2003), 197-219.
[6]A.CORTI*, M.MELLA, `Birational geometry of terminal quartic 3-folds I`, in stampa su American J. of Math., (2003)
[7]T.de FERNEX, L.EIN*, 'Resolution of in determinacy of pairs', Algebraic Geometry, 165-177, de Gruyter, Berlin, 2002.
[8]T.de FERNEX, L.EIN*, M.MUSTATA*, 'Bounds for log canonical thresholds with applications to birational rigidity', Math. Res. Lett., 10 (2003), no. 2-3, 219-236.
[9]A.LANTERI, H.MAEDA*, 'Special varieties in adjunction theory and ample vector bundles', Math. Proc. Cambr. Phil. Soc., 130 (2001), 61-75.
[10]A. LANTERI, M. PALLESCHI, A.J. SOMMESE*, 'The adjunction mapping of very ample vector bundles of corank one', Trans. Amer. Math. Soc., 356 (2004), 2307-2324.
[11]A.LANTERI, A.J. SOMMESE*, 'Ample vector bundles with zero loci having a hyperelliptic curve section', Forum Math., 15 (2003), 525-542.
[12]M.MELLA '#-Minimal models of uniruled 3-folds', Math. Z., 242 (2002), 687-707.

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[B-1] PROJECTIVE GEOMETRY AND CLASSIFICATION OF PROJECTIVE EMBEDDINGS
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[1]A. ALZATI, E. BALLICO*, G. OTTAVIANI*, 'The Theorem of Mather on generic projections for singular varieties', Geom. Dedicata, 85 (2001), 113-117.
[2]A.ALZATI, F.RUSSO*, 'Special subhomaloidal systems of quadrics and varieties with one apparent double point', Math. Proc. Cambridge Phil.Soc.,134 (2003),65-82.
[3]A.BRUNO ‘On homaloidal polynomials' preprint AG/0403328 (2004)
[4]L.CHIANTINI, C.CILIBERTO, 'The Grassmannians of secant varieties of curves are not defective', Indag. Math., 13 (2002), 23-28.
[5]L.CHIANTINI, C.CILIBERTO, 'Weakly defective Varieties', Trans. Amer. Math. Soc., 354 (2002), no.1, 151-178.
[6]L.CHIANTINI, C.CILIBERTO, 'On the classification of defective threefolds', preprint math.AG/0312518 (2003).
[7]L.CHIANTINI, C.CILIBERTO: 'Threefolds with degenerate secant variety: on a theorem of G. Scorza', M.Dekker Lect.Notes 217 (2001), 111-124.
[8]L.CHIANTINI, A.LOPEZ, Z.RAN*, 'Subvarieties of generic hypersurfaces in any variety', Mat. Proc. Cambridge Phil. Society 130 (2001), 259-268.
[9]C.CILIBERTO, M.MELLA, F.RUSSO*, 'Varieties with one apparent double point, to appear in J. Algebraic Geom.,(2004).
[10]P.ELLIA, D.FRANCO, 'On codimension two subvarieties of P^ 4, P^5', J. Algebraic Geom., 11 (2002), no. 3, 513-533.
[11]E. MEZZETTI, O. TOMASI, 'Some remarks on projective varieties with degenerate Gauss image', to appear in Pacific Journal of Mathematics (2004).
[12]A.F.LOPEZ, Z.RAN*, 'On the irreducibility of secant cones and an application to linear normality', Duke Math. J., 117 (2003), no. 3, 389-401.

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[B-2] GEOMETRY OF SPECIAL PROJECTIVE VARIETIES
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[1]G.CASNATI, F.CATANESE*, 'Quadratic sheaves and self-linkage', Asian Math. J., 6 (2002), n. 4, 731-742.
[2]G. CASNATI, 'Covers of algebraic varieties V. Examples of covers of degree 8 and 9 as catalecticant loci'. J. Pure Appl. Algebra, 182 (2003), n. 1, 17-32.
[3]G.CASNATI, A.DEL CENTINA, 'The rationality of the Weierstrass space of type (4,g)'. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 136 (2004), n. 1, 53-66.
[4]M.V.CATALISANO, A.V.GERAMITA, A.GIMIGLIANO,'On the secant varieties to the tangential varieties of a Veronese', Proc. Amer. Math. Soc., 130 (2001), n.4, 975-985.
[5]M.V.CATALISANO, A.V.GERAMITA, A.GIMIGLIANO, 'Ranks of tensors, secant varieties of Segre varieties and fat points', Linear Algebra Appl., 355 (2002), 263-285.
[6]L.CHIANTINI, M.COPPENS*, 'Grassmannians of Secant Varieties', Forum Mathematicum, 13 (2001), 615-628.
[7]C. CILIBERTO, A.F. LOPEZ, R. MIRANDA,'Projective degenerations of K3 surfaces, Gaussian maps and Fano threefolds', Inv. Math., 114 (1993), 641-667.
[8]A.CONTE, M.MARCHISIO, J.MURRE*, 'On unirationality of double covers of fixed degree and large dimension: a method of Ciliberto', in Algebraic Geometry, A volume in Memory of Paolo Francia, W. de Gruyter, 2002, 127-140.
[9]M.L.FANIA, E.MEZZETTI, 'On the Hilbert Scheme of Palatini Threefolds', Adv. Geom., 2 (2002), 371-389.
[10]A.IARROBINO*, V.KANEV ‘Power Sums, Gorenstein Algebras and Determinantal Loci', Springer Lectures Notes in Mathematics 1721, Springer (1999), 344 pages.
[11]F.ORECCHIA, 'The ideal generation conjecture for general rational projective curves', J. Pure Appl. Algebra, 155 (2001), 77-89.
[12] M.ROGGERO,P.VALABREGA, ‘The Speciality Lemma, Rank 2 Bundles and Gherardelli-type Theorems for Surfaces in P^4', Compositio Math. 139 (2003) 101-111.

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[C] CURVES AND THEIR FAMILIES
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[1]L.CAPORASO C.CASAGRANDE, ‘Combinatorial properties of stable spin curves' Comm. in Algebra 31 (2003) 3653-3672
[2]L.CAPORASO, J.HARRIS*, 'Counting plane curves of any genus', Inventiones Math., 131 (1998), 345-392.
[3]L.CAPORASO, E.SERNESI, 'Recovering plane curves from their bitangents', J. Algebraic Geom., 12 (2003), 225-244.
[4]L.CAPORASO, E.SERNESI, 'Characterizing curves by their odd theta characteristics', J. Reine Angew. Math., 562 (2003), 101-135.
[5]C.CILIBERTO*, A. LOPEZ, 'On the number of moduli of extendable canonical curves', Nagoya Math. J., 167 (2002), 101-115.
[6] C.CILIBERTO, A. LOPEZ, R.MIRANDA*, 'Classification of varieties with canonical curve section via Gaussian maps on canonical curves', American Journal of Math., 120 (1998), 1-21.
[7]P.ELLIA, D.FRANCO, 'Gonality, Clifford index and multisecants', J. Pure Appl. Algebra v.158 25-39 (2001)
[8]F.FLAMINI, 'Moduli of nodal curves on smooth surfaces of general type', J. Algebraic Geom., 11 (2002), 725-760.
[9]F.FLAMINI,'Families of nodal curves on projective threefolds and their regularity via postulation of nodes', Trans. Am. Math. Soc., 355 (2003), 4901-4932.
[10]E.ESTEVES*, L.GATTO, `A geometric interpretation and a new proof of a relation by Cornalba and Harris`, Comm. in Algebra 31 (2003) 3753-3770
[11]S.MANFREDINI, R.PIGNATELLI*, 'Chisini's conjecture for curves with singularities of type x^n=y^m', Michigan Math. J., 50 (2002), n. 2, 287-312.
[12]A.VERRA, 'The unirationality of the moduli space of curves of genus lower or equal to 14'. preprint mathAG 0402032 (2004).

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[D] CURVES, JACOBIANS AND ABELIAN VARIETIES
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[1]S.BRIVIO*, A.VERRA, 'On the theta divisor of SU(r,1)', Nagoya Math. J., 165 (2002), 179-193.
[2]L.CAPORASO, 'Modular properties of odd theta-characteristics', in Advances in Algebraic Geometry motivated by Physics, Contemp. M ath., 276 (2001), 101-114.
[3]H.LANGE*, E.SERNESI, 'Severi varieties and branch curves of abelian surfaces of type (1,3)', International J. of Math., 13 (2002), no. 3, 227-244.
[4]H.LANGE*, E.SERNESI, 'Curves of genus g on abelian varieties of dimension g', Indag. Math., 13 (2002), 523-535.
[5]G. LOMBARDO, 'Abelian varieties of Weil type and Kuga-Satake varieties', Tohoku Math. J. 53, 2001, 453-466.
[6]G.PARESCHI, M.POPA*,'Regularity on abelian varieties I', J. Amer. Math. Soc., 16 (2003), 285-302.
[7]G.PARESCHI, M.POPA*,'Regularity on abelian varieties II: basic results on linear series and defining equations', J. Algebraic Geom., 13 (2004), 167-193.
[8]G.PARESCHI, M.POPA* `Regularity on Abelian Varieties III` preprint AG/0306103 (2003)
[9]G.PARESCHI, ‘Generic vanishing, Gaussian maps and Fourier-Mukai transform, preprint AG/0310026 (2003)
[10]B.VAN GEEMEN, E.IZADI*, 'The tangent space to the moduli space of vector bundles on a curve and the singular locus of the theta divisor of the jacobian', J. Alg. Geom., 10 (2001), 133-177.
[11]A.VERRA, 'The degree of the Gauss map for a general Prym Theta Divisor', J. Algebraic Geom., 10 (2001), 219-246.

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[E] ALGEBRAIC SURFACES
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[1]M.BELTRAMETTI, A.J. SOMMESE*, 'On the bicanonical map of a surface section of a threefold', Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 71 (2001), 269-277.
[2] A.CALABRI, C.CILIBERTO, F.FLAMINI, R.MIRANDA*, 'On degeneration of surfaces', pp. 1-88, preprint math.AG/0310009 (2003).
[3]C.CILIBERTO, R.PARDINI, F.TOVENA, Regular canonical covers , Math. Nachrichten 251 (2003), 19-27.
[4]V.DI GENNARO 'A bound on the plurigenera of projective surfaces', J. of Pure and Applied Algebra, 163 (2001), 9-79.
[5]I.DOLGACHEV*, M.MENDES LOPES*, R.PARDINI, 'Rational surfaces with many nodes', Comp. Math., 132 (2002), 349-363.
[6]C.D.HACON*, R.PARDINI On the birational geometry of
varieties of maximal Albanese dimension, J. Reine Angew. Math. 546 (2002), 177-199.
[7]C.D.HACON*, R.PARDINI, 'Surfaces with p_g=q=3', Trans. Amer. Math.Soc., 354 (2002), 2631-2638.
[8]A.LOPEZ, L.GIRALDO*, R.MUNOZ* 'On the projective normality of Enriques surfaces', Math. Ann., 324 (2002), 135-158.
[9]M.MENDES LOPES*, R.PARDINI, 'A connected component of the moduli space of surfaces with p_ g=0', Topology, 40 (2001), 977-991.
[10] M.MENDES LOPES*, R.PARDINI, Enriques surfaces with eight nodes, Math. Zeit., 241 (2002), 673-683.
[11] M.MENDES LOPES*, R.PARDINI: A new family of surfaces with p_g=0 and K^2=3, to appear in Annales Ecole Normale Sup. Paris (2004)
[12]R. PARDINI, 'The classification of double planes of general type with p_g=0 and K2=8', J. Algebra, 259 (2003), 95-118.
[13]B.VAN GEEMEN, 'A linear system on Naruki's moduli space of marked cubic surfaces', International J. of Math., 13 (2002), 183-208.


THE BIBLIOGRAPHY CONTINUES IN 2.2aE <<<