RICERCA ITALIANA     

Modelli Matematici per la Dinamica del DNA (M^2XD^2)

Università degli Studi di Lecce

Abstract

Il presente progetto è dedicato allo sviluppo di modelli matematici per lo studio della dinamica del DNA. Lo scopo principale è quello di studiare i fenomeni della denaturazione e della trascrizione del DNA; e questo sia con modelli discreti, dove la molecola viene vista come un insieme di corpi rigidi collegati tra loro da adeguate interazioni, sia usando una teoria continua che generalizza la classica teoria delle travi. I modelli discreti vengono sviluppati usando la teoria Hamiltoniana delle catene nonlineari, mentre la teoria continua viene implementata usando i metodi propri della meccanica razionale delle strutture e dei materiali per mezzo del concetto di "bitrave". Ovvero considerando una trave composta da più centroidi opportunatamente collegati tra loro, questa è una sorta di teoria delle miscele dove i costituenti sono delle travi. Le proprietà matematiche di questi modelli sono investigate tramite gli strumenti della teoria rigorosa dei sistemi dinamici. Le necessarie equazioni costitutive vengono determinate considerando direttamente gli esperimenti fatti su singole molecole di DNA (come per esempio gli esperimenti di Bustamante). Si considera il confronto tra i due approcci sia dal punto di vista teorico che numerico ed il confronto dei dati sperimentali con i modelli già disponibili in letteratura. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Giuseppe SACCOMANDI Università degli Studi di LECCE

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'obiettivo del presente progetto è quello di studiare la dinamica della macromolecola di DNA per sviluppare modelli matematici atti a descrivere i fenomeni della denaturazione e della trascrizione.
I modelli saranno sviluppati lungo due direzioni. Nella prima direzione si considera il DNA come un insieme di sotto-unità rigide, il cui moto e' descritto da una Hamiltoniana e da equazioni di hamilton; a queste é anche possibile aggiungere termini di sorgente (o di dissipazione) che tengano conto dell'interazione con agenti esterni (come per esempio la RNAP che denatura la molecola stessa) e del flusso di energia originato dal ciclo dell'ATP. Nella seconda si considera il DNA come una struttura continua mono-dimensionale (una trave) e si usa la teoria della meccanica dei continui. Poiché la teoria classica delle travi considera il DNA non come una doppia elica ma bensi' come una singola entità questa teoria deve essere generalizzata adeguatamente per potere risultare significativa nello studio del fenomeno della trascrizione. Questa generalizzazione e' possibile con la teoria delle bitravi. Le bitravi sono travi che vengono descritte non solo dagli usuali parametri, ma anche da nuovi gradi di libertà interni per tenere conto delle perturbazioni microscopiche ovvero di ciò che avviene dentro la molecola (per esempio tra i due rami della doppia elica). In un certo senso si possono immaginare le bitravi come due corde avvinghiate descritte dal centroide dello strand complessivo e da nuovi parametri che ci informano di quanto si allontano dal centroide le singole corde. Oppure, se si preferisce, è possibile considerare le bitravi come una miscela di travi (nel senso di continui a più fasi che qui sono la trave uno e la trave due).

Il progetto si propone da un lato di determinare e studiare modelli più avanzati di quelli attualmente studiati in letteratura; e dall'altro di fornire risultati matematici rigorosi per quelli già esistenti e generalmente accettati. E' bene notare che dal punto di vista del processo di trascrizione, i modelli più rilevanti sono quelli "di tipo Yakushevich" ovvero modelli che tengano in conto i gradi di libertà rotazionali delle sottounità della molecola; in questi il moto é sia della base rispetto al corrispondente segmento di backbone (come nel modello di Yakushevich), sia anche dei segmenti del backbone rispetto ai segmenti primi vicini (come nel modello di Zhang e Collins). Le interazioni, in generale nonlineari, in tali modelli saranno sia tra le basi di una coppia (legami idrogeno), che tra elementi corrispondenti primi vicini in ogni singola catena (interazioni di stacking), senza dimenticare le interazioni "elicoidali" (che nel caso di Yakushevich e Peyrard-Bishop portano a degli effetti essenziali per la formazione delle strutture nonlineari, pur non essendo rilevanti nel regime pienamente nonlineare); ma anche con il substrato (legami ionici e idrogeno con filamenti acquosi) e con agenti esterni (RNAP, attraverso legami covalenti e ionici). La meccanica dei continui, che è stata fondamentale nello studio dell folding e supercoiling della molecola DNA non ha potuto dare contributi significativi fino ad oggi, inell'ambito della denaturazione perché vedeva, come già detto il DNA come una singola entità. Questo progetto sviluppandola teoria delle bitravi si prefigge anche l'obbiettivo di superare questa manchevolezza e di collegare i due punti di vista.


In particolare ci proponiamo i seguenti obiettivi:

Studio di versioni "realistiche" del modello di Yakushevich e Modello di Zhang e Collins e sue versioni avanzate.
Con questo intendiamo versioni modificate del modello di Yakushevich con l'introduzione di: (a) potenziali di interazione più realistici; (b) disomogeneità nella catena, per tenere in conto le differenti caratteristiche fisiche e chimico-fisiche delle diverse coppie di basi; (c) l'interazione con il substrato (soluzione acquosa) in cui opera il DNA nelle sue funzioni biologiche, e che porta a degli effetti di interazione ionica che modificano i potenziali effettivi.

Sviluppo per mezzo della teoria razionale della meccanica dei continui della cinematica e della dinamica della teoria delle bitravi.

Influenza della geometria globale della molecola. I modelli esistenti non tengono in generale conto della geometria globale della molecola e della sua conformazione nello spazio (super-avvolgimento, ripiegamento). Un primo passa sin questa direzione sono i modelli rotazionali di tipo Barbi, Cocco e Peyrard (M. Barbi, S. Cocco and M. Peyrard, "Helicoidal model for DNA opening", Phys. Lett. A 253 (1999), 358; M. Barbi, S. Cocco, M. Peyrard and S. Ruffo, "A twist-opening model of DNA", J. Biol. Phys. 24 (1999), 97;). Ma ci si aspetta il punto di svolta in questo direzione dai modelli di tipo continuo. Infatti la teoria delle travi è stata applicata a problemi con geometria complessa con grande successo e per questo motivo si spera di riuscire a fare altrettanto con la teoria delle bitravi nell'ambito dei fenomeni di denaturazione. Qui si è anche interessati ai risultati rigorosi riguardo l'esistenza di eccitazioni nonlineari viaggianti (solitoni) o localizzate (breathers).

Stabilità sotto perturbazioni dei vari modelli discreti e continui proposti. Dal punto di vista fisico e biofisico, é essenziale che i comportamenti dei modelli siano stabili sotto piccole perturbazioni. Ci proponiamo di analizzare questo aspetto sia nei modelli già esistenti che nei nuovi che vengono prodotti nel presente progetto.

Modelli con gradi di libertà longitudinali. Si vuole studiare l'accoppiamento tra gradi di libertà rotazionali e gradi di libertà che descrivono onde longitudinali nella molecola del DNA. Questo aspetto é stato completamente trascurato finora, ed è potenzialmente di grande interesse per la dinamica del DNA, in quanto modelli di questo tipo possono presentare eccitazioni nonlineari completamente localizzate (compattoni), il cui ruolo nel processo di trascrizione potrebbe essere ancor più rilevante di quello delle eccitazioni solitoniche. In questo frangente diventa fondamentale l'applicazione della teoria fenomenologica dei materiali tipo gomma che si vuole fare nell'ambito degli esperimenti single-molecule.

Infine si vogliono considerare anche modelli non puramente meccanici. <<<

Risultati parziali attesi

In questa fase ci si attende che soprattutto i ricercatori più giovani abbiano il tempo di concretizare la loro formazione sugli argomenti del progetto e di prendere contatto per continuare la loro formazione con laboratori guida a livello internazionaleI risultati attesi sono i modelli (quindi prime versioni di articoli da inviare a riviste) che seguono gli obbiettivi del progettoDalla conferenza di mid-term, anche grazie agli esterni, si pensa di poter fare il punto sulla situazione. Un report su questa conferenza sara' prodotto e messo a disposizone sul WEB.In questa fase si vuole vedere il raggiungimento degli obbiettivi del progetto. Quindi la soluzione dei problemi che sono stato elencati negli obbiettivi principali del progetto. In questa fase si deve avere la confezione definitiva delle pubblicazioni e il loro invio alle riviste per la pubblicazione sulla stampa scientifica.Presentazione e Disseminazione dei risultati, tramite i proceedings del workshop ed l'istituzione di un sito con tutti i lavori del progetto. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

L'essere riusciti a decifrare il genoma umano è un importante passo nelle nostra comprensione dei segreti della DNA, ma per completare la nostra conoscenza di questa macromolecola è necessario tradurre le sue sequenze in "azioni" biologiche. L'organismo capace di leggere e anche comprendere le sequenze di questa molecola è l'enzima noto come RNA-polimerasi (RNAP). Questi è capace di trascrivere, duplicare ed interpretare il nostro codice in maniera efficiente ed efficace, e per questo motivo una perfetta comprensione di come risulta possibile a questo enzima di leggere ed interpretare il DNA sarebbe un passo molto importante [1].
L'RNA polimerasi è cpace di aprire temporaneamente, senza alterazioni definitive, la doppia elica e quindi di leggere e costruire la copia di una sequenza dedicata. Queto processo è sicuramente, almeno in parte, un problem ameccanico ed è quindi naturale tentare una sua modellazione quantitativa. In particolare, questo processo di lettura richiede una certa energia, che deve essere focalizzata molto precisamente nel tempo e nello spazio; inoltre una volta terminato il processo di lettura la molecola deve tornare al suo stato iniziale; questo comporta il rilascio di una certa energia, che non deve andare ad aumentare la temperatura pena il danneggiamento del DNA stesso.
Sulla base di queste considerazioni, e basandosi anche sui lavori di Davydov riguardanti eccitazioni solitoniche nelle alfa-eliche [2], Englander et al. [3] hanno proposto che eccitazioni di tipo solitonico potrebbero essere presenti nella catena del DNA, e giocherebbero un ruolo funzionale, provvedendo l'apertura e chiusura della doppia elica. In questo schema, la RNAP giocherebbe un ruolo di catalizzatore nella formazione e mantenimento delle eccitazioni solitoniche, ma non dovrebbe fornire direttamente l'energia necessaria per l'apertura (ne' smaltire quella derivante dalla chiusura) della doppia elica. Naturalmente, l'RNAP dovrebbe comunque procurarsi energia chimica - attraverso il ciclo dell'ATP - per sintetizzare l'RNA messaggero [4,5].
Vari autori hanno dunque ritenuto più conveniente focalizzare la loro attenzione su un processo, in cui la molecola di
DNA può essere considerata per sé, allo scopo di meglio comprendere la dinamica della doppia elica: questo e' il processo di denaturazione, in cui la doppia elica si separa, a causa dei movimenti termici, in due eliche distinte. In questo caso si studia essenzialmente il grado di liberta' corrispondente alla separazione "radiale" tra basi di una coppia
Questi autori sono stati capaci di sviluppare diversi modelli matematici atti a rappresentare il processo di trascrizione.
Questi modelli hanno avuto una loro applicazione , nell'ambito della biologia molecolare, che però ha incontrato dei limiti dovuti all'incertezza con cui i parametri costitutivi. Oggi, nuove ricerche di tipo sperimentale dove con delle tecniche specifiche si riescono a fare misure su singole molecole di DNA hanno aperto nuovi orizzonti sia per i modelli già sviluppati e nuove indicazioni per nuovi approcci quantitativi. Infatti gli esperimenti di carattere fisico hanno messo a nostra disposizione un grandissimo serbatoio di dati, anche molto accurati, che necessitano di una manipolazione matematica significativa
Naturalmente è possibile avvicinarsi quantitativamente allo studio delle deformazioni del DNA da diversi punti di vista (vedi [5] e [6]) ed è oggi cosa pacifica che un approccio matematico alla biologia molecolare deve essere compreso nel bagaglio culturale di un qualsiasi biologico. Prova ne sia che la formula di Calugareanu-Fuller-White che mette in collegamento per una curva chiusa il link, il twist ed il wirthe (una formula topologica che certamente non viene studiare nei corsi classici di istituzioni di matematica) oggi è inclusa in libri di testo di biochimica [7]. Questo è un punto importante: oggi esistono matematici che hanno una sensibilità verso le applicazioni di biologia molecolare molto matura e biologi molecolari che non vedono la matematica come semplice astrazione ma come strumento utile.
In questo schema bisogna notare che il presente progetto risulta un primo tentativo di introdurre nella comunità matematica del nostro paese queste tematiche di ricerca.
Il primo passo nella modellazione quantitative del DNA è scegliere una scala appropriata per comprendere i fenomeni sui quali ci si vuole concentrare nello studio della trascrizione sono fenomeni dinamici ed intrinsecamente nonlineari.
In questo frangente studiare il problema su scala atomistica diventa molto complesso, i metodi di dinamica molecolare possono riuscire a simulare per pochi nanosecondi solo una ventina di basi. Inoltre i risultati di questi calcoli consistono in una quantità di dati con i quali è molto difficile fare sintesi ed avere informazioni globali. Bisogna ricordare che come matematici non siamo interessati a modelli di simulazione, ma a veri propri modelli matematici che riescono a individuare il comportamento qualitativo in modo rigoroso grazie ad un numero limitato di parametri. D'altra parte però e' da notare che non risulta possibile lavare via completamente tutti i dettagli interni della molecola di DNA. In questo senso stiamo affrontando un vero e proprio problema multiscala. Quindi vogliamo descrivere il comportamento di un materiale complesso su diverse scale sia nel tempo che nelle dimensioni spaziali. Dal punto di vista matematico questo significa chiedersi come è possibile sviluppare e studiare tecniche capaci di lavorare in modo efficiente su tutte queste scale diverse e questo in contemporanea. Ovviamente molto lavoro é stato compiuto in questa direzione, in particolare dal gruppo di M. Peyrard presso l'Ecole Normale Superieure di Lyon (Francia), portando a risultati che sono in notevole accordo con i dati sperimentali. Questo lavoro si basa sullo studio di un modello hamiltoniano, dovuto nella sua prima versione a Peyrard e Bishop [8] (in seguito migliorato da Dauxois [9] in parallelo a quanto proposto da Gaeta nell'ambito del modello di Yakushevich, v. in seguito), in cui il DNA e' schematizzato come una doppia catena; sono presenti interazioni sia lungo ogni catena (tra primi vicini) che tra una catena e l'altra (tra coppie di particelle in siti corrispondenti delle due catene; queste corrispondono a coppie di basi). Per lo studio delle relazioni di dispersione e dunque della formazione di strutture nonlineari -- ma non per lo studio del regime pienamente nonlineare -- e' anche essenziale includere termini derivanti dalla geometria elicoidale del DNA, che corrispondono fisicamente ad interazioni mediate da filamenti acquosi, ossia da catene di legami idrogeno. Lo studio di questo gruppo accoppia tecniche di dinamica nonlineare con tecniche di meccanica statistica e simulazione numerica ed i risultati ottenuti sono in notevole accordo con i dati sperimentali [8], e con altre analisi teoriche; v. [10] per una rassegna dei risultati in questo approccio.
D'altro canto l'applicazione della classica teoria dei mezzi continui al DNA è anche avvenuta per mezzo di un uso significativo della teoria delle travi. La stessa teoria che viene usata per descrivere continui mono-dimensionali come colonne e verghe e che trova un'applicazione formidabile anche nel mondo microscopico. In questo caso, modulo i soliti limiti che la matematica possiede nelle sue applicazioni al mondo reale, si deve parlare di un vero e proprio successo. Oggi lo studio del DNA-supercoiling,
DNA-minicircles (ovvero delle curve chiuse di DNA di poche centinaia di base che vengono usate soprattutto in laboratorio) e più genericamente di tutta la "zoologia" delle configurazioni e del folding della macromolecola biologica per antonomasia hanno beneficiato pesantemente dei risultati matematici ottenuti grazie alla teoria delle travi (vedi Maddocks in [3]). Di fatto l'uso di una teoria fenomenologica è risultata più accessibile e potente delle teorie molecolari, soprattutto grazie alla sua forza sintetica. I risultati ottenuti da diversi gruppi, come quello di Bernard Coleman alla Rutgers University e del gruppo di John Maddocks all'EPFL, hanno quindi dimostrato che la meccanica dei continui può dire molto anche nello studio di un oggetto "micro" come il DNA.
Tutti questi studi sono accompagnati da problematiche matematiche molto interessanti che coinvolgono discipline come la geometria differenziale, i sistemi dinamici , la meccanica razionale dei continui e delle strutture e l'analisi numerica. La presente unità basata su persone operanti principalmente nel settore scientifico disciplinare della Fisica-Matematica possiedono potenzialmente sia le conoscenze che la sensibilità giusta per entrare negli argomenti del presente progetto in modo significativo.
I progetti delle singole unità focalizzano in maniera specifica i problemi aperti che nella base di partenza scientifica sono i più urgenti e suscettibili di attenzione. Questi problemi ci permettono di capire sia l'utilità di modelli matematici in biologia molecolare sia l'opportunità dei due approcci discreto e continuo e del loro confronto. <<<