RICERCA ITALIANA     

Calcolo delle Variazioni

Scuola Normale Superiore di Pisa

Abstract

Il principale oggetto di ricerca del gruppo e' l'analisi,
nell'ambito del calcolo delle cariazioni e delle equazioni
alle derivate parziali, di ampie classi di problemi caratterizzate
da singolarita' e da concentrazioni di energia su insiemi di
dimensione bassa. In questa classe rientrano i problemi con
discontinuita' libere, caratterizzati da concentrazione di
energia su ipersuperfici (e legati a problemi di meccanica
delle fratture e di segmentazione delle immagini), le strutture
sottili in problemi di ottimizzazione di forma, lo studio asintotico
delle soluzioni di sistemi del tipo di Ginzburg-Landau, le
equazioni di trasporto e le misure di entropia.

L'analisi di questi problemi richiede diverse competenze ed
esperienze (equazioni alle derivate parziali e regolarita'
delle soluzioni, teoria geometrica della misura, calcolo delle variazioni,
Gamma-convergenza, teoria del trasporto ottimale),
ben rappresentate all'interno del gruppo. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Luigi AMBROSIO Scuola Normale Superiore di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il problema centrale del Calcolo delle Variazioni consiste nel
determinare se un problema di minimo abbia soluzioni, e nello
sviluppare tecniche che consentono di caratterizzare o calcolare
le soluzioni stesse. Spesso questo problematica si intreccia
profondamente con lo studio della regolarita' delle soluzioni
minimizzanti o delle funzioni ammissibili, e sovente la scelta
dello spazio funzionale piu' appropriato, sulla base di
considerazioni fisiche o modellistiche, risulta fondamentale.

A partire dai classici lavori di Tonelli e De Giorgi sugli integrali multipli regolari,
il Calcolo delle Variazioni per funzionali integrali e' sempre stato particolarmente avanzato in Italia.
Molto importante e' anche stato lo studio di problemi geometrici del tipo delle superfici
minime, che hanno portato allo sviluppo di fondamentali capitoli
della teoria geometrica della misura. In entrambi questi settori
e' ormai acquisito il fatto che le soluzioni possono avere in alcuni
casi delle singolarita', e in certi problemi aventi un'interpretazione
geometrica o fisica rilevante sono proprio tali singolarita' il
principale oggetto di indagine.

Per queste ragioni molti attuali filoni di ricerca sono riconducibili
allo studio delle singolarita' e delle concentrazioni di energia su
insiemi di dimensione bassa (ad esempio ipersuperfici). L'obiettivo
principale del gruppo e' lo studio di tali problemi, al fine di
ottenere nuovi risultati originali e di formare dei nuovi ricercatori.

In particolare si studieranno i problemi con discontinuita' libere,
caratterizzati dalla minimizzazione della somma di un'energia di
volume e un'energia di superficie. Tali funzionali compaiono ad
esempio nell'approccio variazionale al problema della segmentazione
di immagini proposto da Mumford-Shah e Blake-Zisserman e nella
teoria della frattura fragile di Griffith. In questo contesto,
particolare attenzione verra' dedicata ai problemi vettoriali,
al problema dell'evoluzione quasi-statica e alla relazione tra
modelli discreti e continui, lineari e non-lineari, 3-dimensionali
e 2-dimensionali. Queste relazioni verranno analizzate rigorosamente
con una tecnica di convergenza variazionale, la Gamma-convergenza.
Problemi vettoriali con vincoli geometrici presentano anche
fenomeni di concentrazione e di singolarita' che saranno oggetto
di ricerche da parte del gruppo.

Anche lo studio dei teoremi di rinormalizzazione per le soluzioni
delle equazioni di continuita' e di trasporto e l'analisi fine
delle misure di entropia per soluzioni di leggi di conservazione
possono essere fatti rientrare in questo quadro unificante.

Nello studio di questi e altri problemi hanno particolare rilevanza
tecniche di teoria geometrica della misura: il gruppo intende anche
perseguire alcune ricerche volte all'estensione della teoria ad ambienti metrici e,
a priori, privi di una struttura differenziale.

Il gruppo dedichera', in linea con le sue tradizioni, molta attenzione
alla formazione scientifica dei giovani ricercatori (questo e'
anche testimoniato dall'alto numero di dottorandi e
borsisti/assegnisti coinvolto nel progetto),
con particolare riferimento all'avviamento alla ricerca.

Va infine sottolineato che la collaborazione scientifica tra le diverse unita' locali e' sempre
stata molto stretta, come evidenziato
dai numerosi lavori in collaborazione. Inoltre molti membri del
gruppo sono stati nel recente passato autori di monografie pubblicate
da editori internazionali, si veda [26], [28], [29], [30], [40], [44].

Passiamo ora a una descrizione sintetica dei compiti e delle specializzazioni
delle varie unita' di ricerca, rinviando ai
rispettivi modelli B per una descrizione piu' dettagliata.

Unita' 1 (Parma, Acerbi)

- Regolarita' per funzionali con crescite non standard
- Fluidi elettroreologici
- Problemi ellittici degeneri

Unita' 2 (Pisa SNS, Ambrosio)

- Teoria del trasporto ottimale e applicazioni
- Equazioni di trasporto e di continuita' per campi vettoriali
poco regolari
- Analisi in spazi di Carnot-Caratheodory

Unita' 3 (Roma II, Braides)

- Limiti variazionali di sistemi discreti in meccanica dei continui
- Bounds ottimali per mezzi non omogenei
- Modelli variazionali nella teoria della segmentazione
- Modelli variazionali per la formazione di dislocazioni

Unita' 4 (Pisa Universita', Buttazzo)

- Problemi di ottimizzazione nella teoria del trasporto ottimo di massa, con
applicazioni a modelli di pianificazione urbana
- Ottimizzazione di forma per domini di equazioni alle derivate parziali
- Comportamento asintotico delle soluzioni di problemi di Ginzburg-Landau

Unita' 5 (SISSA, Dal Maso)

- Evoluzione quasi statica di fratture, nel caso perfettamente elastico e nel
caso plastico
- Metodi di riduzione della dimensione in elasticita', via Gamma-convergenza
- Equazione ellittiche con dati poco regolari o dati misura

Unita' 6 (Napoli, Fusco)

- Tecniche di simmetrizzazione e teoria geometrica della misura
- Spazi di Carnot-Caratheodory
- Regolarita' delle soluzioni di equazioni alle derivate parziali e
dei minimi

Unita' 7 (Lecce, Leaci)

- Funzionali del II ordine con discontinuita' libere nel gradiente
- Evoluzione di partizioni mediante discretizzazione implicita di Eulero
- Funzioni BV e SBV in spazi metrici di misura

Unita' 8 (Firenze, Marcellini)

- Equazioni e sistemi differenziali in forma implicita
- Regolarita' per minimi di funzionali di tipo integrale
- Correnti cartesiane e teoria geometrica della misura

Unita' 9 (Trento, Serapioni)

- Geometria subriemanniana e teoria geometrica della misura.
- Approssimazione variazionale, minimizzazione e studio asintotico di
funzionali energia del tipo Ginzburg-Landau.
- G-convergenza ed approssimazione di funzionali.

Unita' 10 (Milano, Tomarelli)

- Problemi variazionali con discontinuita' libere nel gradiente
- Problemi con discontinuita' libere in meccanica dei continui
- Regolarita' delle mappe di trasporto ottimale <<<

Risultati parziali attesi

-- Scambio di informazioni e competenze scientifiche tra le
diverse unita' di ricerca;

-- Sviluppo delle tecniche finalizzate alla soluzione dei problemi
proposti nell'obiettivo della ricerca;

-- Dimostrazione di alcuni risultat <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

A causa del limitato spazio disponibile i riferimenti bibliografici
sono solo indicativi, e certamente incompleti. Altri riferimenti
sono disponibili nei modelli B delle singole unita' di ricerca.


(a) Problemi con discontinuita' libere.

I problemi variazionali con discontinuita` libere sono problemi di
minimo per funzionali contenenti una somma di energie di volume ed
energie di superficie, le seconde concentrate su insiemi non noti a priori e che
spesso costituiscono l'incognita piu' rivevante del problema.

Tali problemi trovano la loro motivazione e le loro piu'
importanti applicazioni in questioni di elaborazione d'immagini
(approccio variazionale di Mumford e Shah al problema della
segmentazione [26], [42], [48], [49], [51]) ed in problemi di meccanica
della frattura (si veda ad esempio [33], [50], [54]).
Negli ultimi 15 anni e` stato sviluppato un
quadro matematico unificante per lo studio di questi problemi,
basato sullo spazio SBV delle funzioni speciali a variazione
limitata introdotte da De Giorgi e Ambrosio. Tale approccio
ha permesso di ottenere teoremi di esistenza e di regolarita` dei
minimi per un'ampia classe di problemi con discontinuita` libere
(vedi la monografia [26]). Tra i matematici stranieri che si sono
occupati di
questa problematica, oltre a Mumford e Shah, ricordiamo Bonnet,
Bouchitte', David, Fonseca, Francfort, Morel, Semmes. Nello
stesso periodo sono stati sviluppati diversi metodi di
approssimazione per i problemi con discontinuita` libere in vista
di una risoluzione numerica dei problemi e dello studio della
relazione tra modelli discreti e modelli continui. Tali metodi
sono basati principalmente su tecniche di Gamma-convergenza e su
risultati di rappresentazione integrale per funzionali locali.
Alcuni risultati in questa direzione sono contenuti nel lavoro
[32] e nella monografia [40].

(b) Gamma-convergenza.

La teoria della Gamma-convergenza, introdotta da E. De Giorgi e T. Franzoni negli anni '70, ha dato una forma organica a varie idee
gia` presenti in letteratura, consentendo
di ottenere molti nuovi risultati in diversi settori della
matematica pura ed applicata (problemi di omogeneizzazione, di rinforzo, transizioni di fase, discretizzazione di modelli
continui, derivazione dell'elasticita'
lineare da quella non lineare, giusto per fare alcuni esempi).
Il gruppo riunisce la quasi totalita' degli specialisti italiani in questo campo.
Per una dettagliata bibliografia su questo argomento rinviamo alle monografie [29], [40].

(c) Teoria geometrica della misura.

Questa teoria, motivata dallo studio del problema di Plateau in
dimensione e codimensione arbitraria, ha avuto un impetuoso
sviluppo negli anni 40-70 grazie soprattutto ai lavori di De
Giorgi, Federer, Fleming, Almgren. E' oggi unanimemente
riconosciuto che il linguaggio e i metodi di questa teoria vanno
ben al di la' dei problemi di area minima che ne sono stati la
motivazione iniziale; tecniche di questo tipo sono state usate in
molteplici problemi, ad esempio nello studio dell'evoluzione per
curvatura media, del comportamento
asintotico delle soluzioni di equazioni di Ginzburg-Landau, delle
mappe armoniche, dei problemi vettoriali in elasticita' non lineare,
delle equazioni di trasporto e di continuita' con dati poco regolari,
del riarrangiamento di funzioni.
(si veda ad esempio [8], [15], [22], [24], [25], [30], [43], [55]).
Diversi membri del gruppo hanno una notevole esperienza in questo campo
e possono utilizzare queste competenze nello studio dei problemi
variazionali descritti nel punto 2.1. Una linea indipendente di
ricerca e' anche lo sviluppo della teoria geometrica della misura
in spazi sub-Riemanniani e, piu' in generale, in ambienti
metrici (si veda ad esempio [10], [11], [12], [13], [14]).

(d) Teoria del trasporto ottimale e applicazioni.

Il problema del trasporto ottimo di massa, posto nel 1781 da Monge,
ha conosciuto un vigoroso sviluppo a partire dal 1940, con il lavoro
di Kantorovich. La teoria ha oggi un numero impressionante di applicazioni,
che coprono la Probabilita', l'Economia, la Meccanica Statistica, le
Equazioni alle Derivate Parziali, il Calcolo delle Variazioni. Negli ultimi
anni vari lavori sono stati dedicati al problema dell'esistenza di mappe
di trasporto ottimale (ad esempio [1], [2], [3], [4]).
La conoscenza di tali mappe e' importante per varie ragioni, e in
particolare
per lo studio delle geodetiche nello spazio delle misure, qualora lo spazio
stesso sia munito della metrica di Wasserstein. Molte applicazioni (ad
esempio
vedi ad esempio [5], [6], [27], [52], [57]) alle equazioni alle Derivate Parziali e al
Calcolo delle Variazioni
si basano sullo studio delle proprieta' geometriche dello spazio di
Wasserstein.

(e) Regolarita' delle soluzioni.

Negli ultimi anni sono stati studiati problemi di regolarita' per
minimi di funzionali con crescite non standard [23], cioe' aventi un
esponente di crescita diverso da quello di coercitivita'. In
quest'ambito rientra anche un modello
proposto da Zhikov in cui l'esponente di crescita dipende
puntualmente da x. Per tale modello risultati di regolarita' sono
stati ottenuti in [18]. Partendo dalla formulazione debole
dei problemi con discontinuita' libera proposta da De Giorgi e
dalle stime di densita' per i minimi del funzionale di Mumford-Shah
ottenute da diversi autori (Morel-Solimini-Dal Maso, David-Semmes),
Ambrosio, Fusco e Pallara hanno ottenuto risultati
di regolarita' parziale per l'insieme di salto di tali minimi.
Questi risultati estendono in dimensione qualunque risultati
analoghi ottenuti da David in dimensione 2. In
quest'ambito risultati di esistenza di soluzioni classiche e di
regolarita' sono stati ottenuti da Carriero, Leaci e Tomarelli
per il funzionale del II ordine di Blake e Zisserman. <<<