RICERCA ITALIANA     

Sviluppo di metodi numerici e algoritmi per applicazioni a problemi di fluidodinamica ambientale

Università degli Studi di Trento

Abstract

Il progetto riguarderà lo studio di modelli matematici per problemi fisico-chimici in fluidodinamica ambientale e geomeccanica costituiti da sistemi di equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali su complicati domini multidimensionali e lo sviluppo di nuovi metodi numerici per la loro risoluzione. Ci occuperemo pertanto di due temi strettamente collegati: modelli matematici e metodi numerici.

MODELLI MATEMATICI. Ci interessa lo studio di problemi superficiali e sotterranei di fluidodinamica ambientale legati allo studio di falde idriche, trasporto di soluto, deformazioni elastiche in mezzi porosi, iniezione/estrazione di fluidi (petrolio,gas,acqua) in formazioni geologiche sotterranee e flusso di miscele (roccia, terreno, acqua, fango, neve) a superficie libera e non.

Molti di questi fenomeni sono descritti da modelli matematici ben noti ma lo studio di problemi di natura multifase presenta ancora importanti problemi aperti che verranno affrontati utilizzando la nostra considerevole e comprovata esperienza.

In particolare, verranno proposti modelli matematici per problemi di natura multifase con due fondamentali proprietà: (i) in assenza di fenomeni dissipativi i sistemi sono iperbolici (quindi il p.v.i. è ben posto), (ii) i sistemi hanno una forma conservativa nota (quindi possono essere definite soluzioni deboli). La costruzione di metodi numerici moderni per la risoluzione di problemi multifase è uno dei nostri obiettivi.

METODI NUMERICI La reale potenzialità di modelli matematici, è valutabile soltanto attraverso l'analisi numerica dei sistemi di equazioni alle derivate parziali a cui si perviene, lo sviluppo di metodi numerici adatti alla loro risoluzione e la realizzazione di algoritmi specifici.

Costruiremo metodi numerici per risolvere sistemi di equazioni alle derivate parziali non lineari di tipo trasporto-diffusione-reazione usando approcci diversi che includono metodi basati su elementi finiti, volumi finiti, metodi di Galerkin discontinui, e sottoinsiemi di questi quali metodi semi-impliciti, metodi semi-Lagrangiani, metodi ad alta risoluzione e metodi di Godunov di ordine molto elevato di tipo ADER.

Gli schemi numerici proposti dovranno avere una ampia regione di stabilità e godere di opportune proprietà di accuratezza e conservazione. Dovranno inoltre soddisfare requisiti di efficienza (i metodi devono essere realizzabili su moderni elaboratori) e robustezza (i metodi devono saper dare risultati significativi per ampie classi di parametri del problema).

Queste caratteristiche saranno garantite usando tecniche di discretizzazione implicita e semi-implicita e sviluppando schemi accurati ed efficienti per la risoluzione dei sistemi di equazioni non lineari (non differenziali) che nascono dai diversi schemi discreti.

Inoltre, seguendo l'approccio ADER recentemente proposto, saranno sviluppati metodi numerici il cui ordine, rispetto al tempo e allo spazio, può essere arbitrariamente elevato. I risultati disponibili dimostrano che questo obiettivo può essere raggiunto e, a questo scopo, è di fondamentale importanza la definizione di un metodo per la risoluzione del problema di Riemann generalizzato con dati polinomiali a tratti, per ogni sistema di tipo iperbolico.

Il completo processo di sviluppo dei metodi numerici includerà l'analisi delle proprietà teoriche, l'implementazione dei metodi su sistemi di calcolo con varie architetture, la valutazione sistematica delle prestazioni dei metodi, la comunicazione dei risultati ottenuti ad incontri di aggiornamento, workshop e conferenze internazionali, la pubblicazione di lavori su riviste internazionali.

Questo progetto prevede l'invio di almeno 20 lavori a riviste internazionali, la formazione di giovani ricercatori in un settore di ricerca altamente interdisciplinare e di grande rilevanza per le scienze, l'ingegneria e l'ambiente. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Eleuterio TORO Università degli Studi di TRENTO

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il progetto riguarderà lo studio di modelli matematici per la fluidodinamica ambientale e la geomeccanica. Tali modelli saranno descritti da sistemi di equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali (PDE) tri-dimensionali su complicati domini. Per la risoluzione di questi problemi saranno sviluppati nuovi metodi numerici.

In breve, il nostro scopo è quello di: (1) formulare e analizzare modelli matematici per problemi di fluidodinamica multi-fase nel contesto di problemi ambientali; (2) sviluppare nuovi metodi numerici per i risultanti sistemi PDE e per i sistemi non lineari (non differenziali) di grande dimensione che nascono dalla loro discretizzazione; (3) definire algoritmi applicabili alla risoluzione di problemi di reale interesse; (4) analizzare, implementare e dimostrare in modo sistematico la validità dei procedimenti numerici proposti; (5) divulgare i risultati ottenuti; (6) formare giovani ricercatori.

In particolare:

- intendiamo costruire modelli matematici di flusso multi-fase che abbiano significato fisico e tali che, in assenza di effetti dissipativi, i sistemi di PDE associati siano iperbolici e abbiano una forma conservativa nota.

- intendiamo migliorare i metodi numerici esistenti e formularne di nuovi per la risoluzione di PDE del tipo diffusione-trasporto-reazione. Gli schemi che vogliamo ottenere devono avere le attese proprietà di base di ogni metodo numerico per la risoluzione di PDE del tipo a cui siamo interessati ovvero: ampia regione di stabilità, buona accuratezza formale e conservazione. Gli schemi devono anche essere applicabili per la risoluzioni di problemi veri e devono risultare efficienti. Per questo dovranno essere studiati nuovi metodi per la risoluzione dei sistemi non lineari (non differenziali) associati.

- intendiamo svolgere l'analisi teorica dei metodi numerici ogni qualvolta sia possibile compatibilmente con la durata del progetto. I metodi saranno implementati su moderne architetture di calcolo al fine di risolvere problemi reali su domini reali. Le effettive prestazioni dei procedimenti proposti saranno valutate in modo attento e sistematico con particolare attenzione alla affidabilità, robustezza ed efficienza computazionale.

- intendiamo divulgare i nostri risultati nella comunità scientifica nazionale e internazionale mediante incontri di aggiornamento, workshops, conferenze internazionali e articoli su riviste internazionali.

Infine, lo sviluppo del progetto consentirà la formazione scientifica di giovani ricercatori in particolare studenti di dottorato e ricercatori post-dottorato. <<<

Risultati parziali attesi

Risultati attesi: fase 1:

Costruzione di stati intercella di tipo MUSTA che siano validi per ogni systema iperbolico. Determinazione sistematica dei possibili stati candidati per le equazioni di Eulero per gas comprimibili che seguono una equazione di stato generica. Comunicazione dei risultati;

Metodo ADER per la soluzione delle equazioni delle acque basse in un dominio bidimensionale omogeneo (in assenza di termini di sorgente geometrica) su griglie regolari in geometrie Cartesiane. Estensione al caso di sorgenti geometriche dovute a variazioni di elevazione del fondale. Generalizzazione dei metodi a griglie non strutturate. Implementazione di schemi con ordine di accuratezza molto elevato (probabilmente di ordine 7 o maggiore) sia nello spazio che nel tempo. Valutazione sistematica dei metodi. Comunicazione dei risultati;

Analisi della struttura agli autovalori di modelli matematici esistenti per flussi multifase con fluidi comprimibili, come i modelli Drift Flux (DF), Saurel-Abgrall (SA), Baer e Nunziato (MN) e Romenski (RO). Sviluppo di metodi numerici di basso ordine per i modelli non conservativi studiati, come ad esempio il modello BM. Presentazione dei risultati;

Un metodo per l'accurata risoluzione di fronti bagnato/asciutto, partendo da un caso monodimensionale e successiva estensione al caso bidimensionale. Valutazione sistematica dei metodi sviluppati e confronto con gli approcci attuali allo stato dell'arte. Presentazione dei risultati;

Studio e sviluppo di metodi di discretizzazione con particolare attenzione alle problematiche che possono scaturire dalla presenza di eterogeneita' nei mezzi porosi per i fenomeni di interesse (trasporto di contaminanti, flusso bifase acqua CO2, problemi di poroelasticita'). Scelta dei metodi piu' appropriati per le diverse applicazioni. Implementazione ed ottimizzazione dell'efficienza computazionale degli schemi che potranno produrre ulteriori e piu' avanzate applicazioni;

Studio di metodi numerici per sistemi vincolati e sviluppo del sofware numerico basato su di essi. Le caratteristiche e le potenzialita' del codice ottenuto saranno testate per mezzo di numerosi esperimenti numerici su alcuni problemi reali rappresentativi inclusi problemi di complementarieta' formulati come sistemi di equazioni non lineari con vincoli lisci;

Studio di metodi iterativi di ordine elevato per la soluzione di problemi malposti che coinvolgono solo la derivata prima e convenienti metodi di regolarizzazione. Studio delle proprieta' di convergenza di tali metodi a verifica dell'efficienza su problemi di interesse pratico.

Costo della fase I: 130.000 Euro

Prodotti della ricerca Fase I: sottomissione di almeno 10 articoli su reviste internazionali.Risultati attesi: fase 2

Implementazione dello stato tipo MUSTA piu' accurato nella soluzione del problema di Riemann generalizzato con termini di sorgente. Applicazione della tecnica alle equazioni di Eulero per gas comprimibili con equazioni di stato generiche ed a un modello di flusso multifase ridotto. Valutazione sistematica dei metodi di soluzione. Comunicazione dei risultati;

Estensione della soluzione del problema di Riemann generalizzato al caso di elevazioni arbitrarie del fondale, includendo anche pareti verticali. Come punto di partenza useremo il recente lavoro di Bernetti e Toro (non pubblicato) che studia un problema di Riemann convenzionale (dati costanti a tratti) per le equazioni delle acque basse con un fondale a gradino. Implementazione della soluzione del problema di Riemann generalizzato in una metodologia di tipo ADER per le equazioni di acque basse sviluppate nella fase I. Valutazione sistematica dei metodi, confronto con i metodi attuali. Comunicazione dei risultati.

Sviluppo di metodi numerici ad alto ordine di accuratezza che comprendono la soluzione del problema di Riemann generalizzato
nell'approccio di tipo ADER nel framework dei metodi ai volumi finiti e elementi finiti discontinui. Applicazione dell strategie migliori alle equazioni del flusso multifase per fluidi comprimibili sia per modelli conservativi (DF, RO) che per modelli non conservativi (SA, BN). Valutazione sistematica dei metodi, confronto con i metodi attuali. Comunicazione dei risultati.

Estensione del modello idrodinamico tridimensionale per flussi a superficie libera a griglie non strutturate con inclusione di un'equazione di convezione-diffusione per la simulazione di problemi di trasporto di contaminante e di qualita' dell'acqua. Quest'equazione sara' studiata numericamente utilizzando il meotdo dei volumi finit su griglie non strutturate con l'obiettivo di produrre una soluzione numerica che, oltra ad essere conservativa, soddisfa un principio di massimo discreto. Tale soluzione permettera' l'accurata simulazione di fenomeni realistici di flussi a grande scala. Comunicazione dei risultati.

Messa a punto e simulazione di casi test (benchmark) per la validazione dei codici sviluppati. Esperimenti numerici per la simulazione dei processi a scala reale e con dati reali.

Si studieranno metodi alla Newton-Krylov per risolvere sistemi nonlineari vincolati di grandi dimensioni. Si implementeranno algoritmi numerici per risolvere sistemi nonlineari che derivano dalla discretizzazione di PDEs. Verranno anche considerati sistemi nonlineari che scaturiscono da problemi inversi di identificazione dei parametri in sistemi dinamici.

Nella soluzione del problema inverso metodi recentemente sviluppati permettono di evitare la eliminazione a priori dell'equazione di stato. Durante la seconda fase, si studiera' la regolarizzazione di questi problemi che risultano malposti utilizzando tecniche iterative di ottimizzazione con il ruolo di regolarizzatori. Inizialmente ci si focalizzera' specialmente su PDE di tipo ellittico e successivamente ci si occupera' di problemi di identificazione dei parametri in sistemi di equazioni transitorie o miste.

Costo Fase II: 90000


Prodotti della ricerca Fase I: sottomissione di almeno 10 articoli e rivista internazionale. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Questo progetto nazionale ha due obbiettivi strettamente connessi: modelli matematici e metodi numerici, entrambi rivolti ad applicazioni alla fluidodinamica ambientale, fenomeni sotterranei inclusi.

MODELLI MATEMATICI. I processi di interesse in questo programma di ricerche sono quelli dell'idrodinamica ambientale con superficie libera e fenomeni sotterranei quali i flussi in mezzi porosi, trasporto di soluti, deformazioni elastiche in mezzi porosi, iniezione/estrazione in formazioni geologiche profonde (petrolio, gas, acqua) e flussi di misture (roccia, terra, acqua, fango, neve) con o senza superficie libera. Per la maggior parte dei fenomeni di nostro interesse i modelli matematici sono gia' stati sviluppati, l'esempio piu' semplice, il sistema non lineare delle equazioni evolutive di acque basse bidimensionali con termini sorgenti geometrici. Il nostro interesse si estende anche a processi complessi per i quali la formulazione e l'analisi di modelli matematici non e' ancora completa ed e' tutt'ora argomento di ricerca nazionale ed internazionale. Questo e' sicuramente il caso per processi inerenti fenomeni di natura multi fase.

I modelli matematici per flussi multi fase vengono formulati e usati da ormai molti anni in applicazioni ingegneristiche e tecnologiche, ma solo negli ultimi due decenni i matematici applicati [Stewart and Wendroff, 1984] si sono resi conto che questi modelli hanno due principali difetti. Innanzitutto e' stato dimostrato che in assenza di processi dissipativi questi modelli sono di tipo misto ellittico - iperbolico. Di conseguenza il corrispondente problema a valori iniziali e' mal posto [Lax, 1957]. Inoltre, la maggior parte dei modelli di uso corrente non hanno una formulazione conservativa nota e quindi una definizione di soluzione debole (discontinua) non e' possibile. Questi due argomenti sono tutt'ora oggetto di ricerca nello scenario mondiale. Alcuni gruppi che conducono attivamente ricerche su questi temi si trovano in Francia, Germania, Norvegia e Italia.

L'interesse dell'Unita' di Padova nella modellazione di flussi multi fase e' connesso a processi riguardanti i flussi sotterranei e il relativo trasporto di soluti [Forsyth, 1991], [Rudnicki and Wawersick, 1999], [Comerlati et al. 2002], [Pruess and Garcia, 2002]. I modelli matematici riguardano due fasi, assumono la comprimibilita' del mezzo ed un vettore velocita' per ogni fase. E' da notare che questa formulazione e' diversa e piu' difficile di quella di flussi a piu' componenti per la quale si assume un singolo vettore velocita' che ne determina il trasporto.

I principali campi di applicazione di flussi multi fase per l'Unita' di Trento sono: la tecnologia delle propulsioni (in passato sponsorizzata dal governo Britannico per circa 20 anni) e la sicurezza dei reattori nucleari (gia' sponsorizzata da un progetto triennale nell'ambito del V programma quadro su metodi computazionali per flussi bifase tridimensionali per lo studio della sicurezza di reattori nucleari). L'attivita' in corso presso l'Unita' di Trento [Romenski and Toro, 2003] riguarda la formulazione di un modello matematico avente due proprieta' fondamentali: (i) in assenza di processi dissipativi il sistema e' iperbolico e (ii) il sistema ha una forma conservativa nota. Ci aspettiamo che questo modello iperbolico e conservativo sia in parte una base di partenza per ulteriori ricerche sugli aspetti matematici di modelli per flussi multi fase. Lo sviluppo di moderne tecniche numeriche per flussi multi fase e' un altro dei nostri obiettivi che sara' trattato piu' avanti.

METODI NUMERICI.

I modelli matematici per fenomeni fisici realistici e di uso pratico in applicazioni scientifiche e tecnologiche consistono di grandi sistemi di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari da risolvere in domini tridimensionali complessi. Il potenziale di tali modelli si realizza solo attraverso l'analisi numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali, lo sviluppo di opportuni metodi numerici e dei corrispondenti algoritmi.

In questo progetto vengono coperti diversi approcci per la costruzione di metodi numerici. Questi includono i metodi agli elementi finiti, elementi di interfaccia, volumi finiti, metodi di Galerkin discontinui. Sottoinsiemi di questi sono i metodi semi-impliciti i metodi semi-Lagrangiani, metodi ad alta risoluzione e metodi di Godunov di ordine molto elevato secondo l'approccio ADER. Alcuni dei temi di cui sopra richiedono contributi da altre aree dell'analisi numerica quali i metodi numerici per la risoluzione di sistemi non lineari di grandi dimensioni con vincoli.

Entrambe le Unita' di ricerca di Padova e di Trento sono impegnate da molti anni in studi di metodi numerici per generiche equazioni differenziali a derivate parziali di tipo avvezione-diffusione -reazione. La maggior parte dei metodi numerici di nostro interesse sono volti allo sviluppo di algoritmi pratici e relativo software per la risoluzione di problemi concreti di interesse scientifico e ingegneristico. Siamo anche interessati a ricerche piu' prettamente teoriche su metodi numerici di ordine arbitrariamente elevato. Questa attivita' ha come obiettivo lo sviluppo di una metodologia numerica che potra' rivelarsi utile per la risoluzione di problemi attuali fondamentali quali in turbolenza comprimibile e con possibili applicazioni a problemi tecnologici in acustica. Alcuni degli approcci di discretizzazione sopra menzionati conducono a sistemi di grandi dimensioni (non differenziali) di equazioni non lineari; questo e' esattamente il campo di ricerche dell'Unita' di Firenze.

La prima considerazione da fare è la complessità delle geometrie coinvolte, che per qualcuna della applicazioni previste, si unisce alla eterogeneità del medio. Per gestire queste situazioni si usano griglie non strutturate. I metodi previsti per le applicazioni pratiche devono riuscire a bilanciare i tre requisiti principali: robustezza (i codici devono lavorare per un ampio intervallo di parametri del problema), efficienza , accuratezza e conservazione. Sono state studiate condizione che relazionano le caratteristiche della griglia e la proprietà di essere conservativo e avere un principio del massimo locale [Arbogast et al. 2000], [Hoteit et al. 2002], [Wheeler et al. 2002], [Sukumar, 2003], [Putti e Cordes, 1998], [Cordes e Putti, 2001], [Mazzia e Putti, 2004]. Un altro problema è la risoluzione efficiente e accurata the grandi sistemi non-lineari di equazioni (non-differenziali) risultanti dalla discretizzazione di sistemi di equazioni alle derivate parziali [Gambolati et al., 2001; 2002; 2003], [Bellavia et al., 2003], [Morini e Macconi, 1999]. Le tre unità di ricerca hanno una esperienza significativa in quest'area.

Per quanto riguarda metodi per calcoli realistici a grande scala di flussi con superficie libera, la classe dei metodi semi-impliciti studiati dal gruppo di Trento si è dimostrata molto efficiente [Casulli and Cheng, 1992], [Casulli, 1997], [Casulli and Stelling, 1998], [Casulli and Zanolli, 1998], [Casulli and Walters, 2000], [Casulli and Zanolli, 2002]. Il modello tridimensionale di circolazione della marea sviluppato a Trento è stato ampiamente studiato e applicato. Questo modello si basa nell'equazioni "Reynolds averaged Navier-Stokes" con superficie libera, che si discretizzano con un approccio euleriano-lagrangiano semi-implicito e trattando separatamente le componenti barotropiche e barocliniche del gradiente di pressione. Esiste sia la versioni idrostatica che la versione non idrostatica del modello; entrambe formulate in modo che l'algoritmo risultante sia robusto, altamente efficiente e applicabile in modo naturale alla simulazione del fronte di marea. Di recente il modello è stato generalizzato a griglie non-strutturate [Casulli and Walters, 2000]. Questo permette di migliorare l'accuratezza e una maggiore efficienza nella simulazione di flussi in estuari e porti. Nella discretizzazione delle equazioni di Saint Venant si ha la conservazione della massa usando schemi efficienti semi-impliciti che sono stati usati per la simulazione del flusso in canali aperti e che sono stati incorporati nel modello di previsione del flusso idrologico del fiume Adige.

Siamo anche interessati allo studio di metodi di tipo Godunov espliciti di alta risoluzione ed alta accuratezza nell'ambito del metodo dei volumi finiti (Padova e Trento) e di elementi finiti "discontinuous Galerkin" (Trento). Il lavoro classico di Godunov [Godunov, 1959] segnala due punti chiave (i) gli schemi lineari non possono essere simultaneamente monotoni (senza oscillazioni spurie, non fisiche) e di ordine di accuratezza maggiore di uno. (ii) Si possono costruire metodi numerici per sistemi iperbolici non lineari basandosi nella soluzione, approssimata o esatta, del problema di Riemann, inteso come il problema a valori iniziali con dato costante a tratti. Una utile introduzione a questo argomento si trova, ad esempio, nei libri di testo [Toro, 1999; Toro, 2001a].

La ricerca in corso nell'unità di Trento include lo sviluppo di schemi per sistemi generici non-lineari di avvezione-reazione-diffusione seguendo l'approccio ADER [Toro, 1998], [Toro et al., 1998; 2001], con l'idea di ottenere un ordine arbitrario di accurateza in spazio e in tempo. Nell'approccio ADER prima si assume una ricostruzione spaziale di ordine alto di valori puntuali usando la media integrale per elemento. Tenendo conto del teorema di Godunov [Godunov, 1959] si deve, prima di tutto, costruire uno schema non-lineare anche se applicato a problemi lineari. Troviamo che le tecniche di interpolazione ENO proposte da Harten e i suoi collaboratori [Harten et al., 1987] e la sua variante WENO [Shu and Osher, 1988] sono utili per aggirare i problemi segnalati dal teorema di Godunov. Attualmente si studiano altre tecniche possibili di interpolazione. Supponendo che sia disponibile una distribuzione di dati spaziale di ordine alto, si pone e risolve un problema di Riemann generalizzato nei punti di Gauss per ottenere il flusso numerico tra volumi. Il metodo ADER risultante è uno schema ad un passo di ordine di accurateza uniforme K+1 sia in spazio che in tempo, dove K è l'ordine del dato polinomiale nel problema di Riemann generalizzato. Questo problema di Riemann generalizzato è una estensione di quello proposto, per esempio, da [Ben-Artzi and Falcovitz, 1984], che studiano e risolvono il caso di condizioni iniziali lineari a tratti. L'approcio ADER estende questa idea in due direzioni: primo, il dato iniziale è polinomiale a tratti con polinomi di ordine arbitrario K, e secondo l'equazione include termini di reazione e diffusione.

Per quanto riguarda l'applicazione della soluzione del problema di Riemann generalizzato per la costruzione di metodi numerici di tipo ADER [Toro, 1998], [Toro et al., 1998; 2001], la situazione attuale è la seguente: le tecniche sono state sviluppate per (1) equazioni lineari omogenee in dimensione uno e due [Toro et al. 2001], [Schwartzkopff et al. 2002], includendo risultati preliminari per applicazioni a problemi acustici; alcune implementazioni includono schemi fino al 16° ordine di accurateza in spazio e tempo così come l'analisi dello schema [Schwartzkopff et al. 2004]. (2) sistemi non-lineari unidimensionali [Toro and Titarev, 2002], [Titarev and Toro, 2002]. (3) equazioni scalari unidimensionali con termini sorgenti e termini di diffusione [Toro, 2003], [Takakura and Toro, 2002]. (4) Equazioni scalari non-lineari in dimensione due e tre in spazio con termini sorgente [Toro and Titarev, 2003]. (5) Sono disponibili anche risultati preliminari per sistemi non-lineari in due dimesioni spaziali. Tutti i suddetti risultati utilizzano il metodo dei volumi finiti. Risultati preliminari mostrano che l'approccio ADER si può applicare anche nel contesto dei metodi degli elementi finiti "discontinuous Galerkin". Questo argomento fa parte del presente progetto di ricerca.

La schematizzazione matematica dei problemi considerati nel progetto nazionale porta alla formulazione di modelli retti da equazioni differenziali la cui risoluzione implica il passaggio da un problema continuo ad uno discreto che mantiene le caratteristiche fondamentali del problema originale. Metodi numerici largamente utilizzati quali le differenze finite o gli elementi finiti costituiscono esempi tipici dell'approccio ora descritto e, se il problema dato è non lineare, questi metodi richiedono spesso la risoluzione numerica di equazioni non lineari che possono essere di grande dimensione ovvero costituiti da un elevato numero di equazioni. Per risolvere questi problemi, sono largamente utilizzati metodi Newton-Krylov nei quali ogni iterazione è realizzata risolvendo il sistema lineare algebrico con un procedimento di Krylov [Kelly, 1995].

Questa classe di metodi è rilevante dal punto di vista applicativo in quanto i metodi Newton-Krylov mantengono le proprietà di convergenza locale del metodo di Newton e sono metodi matrix-free ovvero non richiedono il calcolo della matrice jacobiana del sistema non lineare. Lo studio teorico delle proprietà di convergenza dei metodi Newton Inesatti ha permesso di ottenere risultati utili nel contesto della risoluzione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie e ha portato alla realizzazione di software numerico robusto ed efficiente [Gasparo and Morini, 2000], [Morini, 1999], [Morini and Macconi, 1999] .

I metodi tipo-Newton hanno proprietà di convergenza locale ovvero presuppongono che il punto di innesco sia una approssimazione sufficientemente accurata della soluzione cercata. Se tale approssimazione non è disponibile, nasce la necessità di definire procedimenti globalmente convergenti [Denis and Schnabel, 1983]. In questo contesto sono stati proposti procedimenti basati su opportune tecniche utilizzate per allargare il dominio di convergenza del metodo di Newton.

Nell'ambito della risoluzione numerica di sistemi di equazioni non lineari è di attuale, notevole interesse lo studio di procedimenti iterativi per problemi vincolati. La necessità di risolvere sistemi non lineari vincolati si presenta tutte le volte che la soluzione di un problema reale è ricondotta a quella di un sistema di equazioni non lineari ma soltanto alcune delle soluzioni del modello matematico sono significative per il problema reale. Situazioni di questo tipo sono frequenti nello studio di reazioni chimiche, di inquinamento atmosferico, ecc.. [Kanzow, 2001a; 2001b]. Molto recentemente è stato proposto un algoritmo particolarmente robusto ed efficiente nella risoluzione di problemi che nascono nell'ambito dell'ingegneria chimica [Bellavia et al. 2002; 2003].

Inoltre, i vincoli imposti dalle caratteristiche fisiche del problema possono condurre alla formulazione di diversi tipi di problemi di complementarità non lineare [Ferris and Pang, 1997], [Freund and Mizuno, 1996].
Tra i metodi numerici per la risoluzione di problemi di complementarità, rivestono particolare importanza i metodi Interior-Point [Nocedal and Wright, 1999], [Ye, 1997], [Potra and Wright, 2000], [Watcher and Biegler, 2000]. Una classe di metodi Interior-Point particolarmente utile nella risoluzione numerica di ampie classi di problemi di complementarità anche di grandi dimensioni è stata recentemente proposta [Bellavia, 1998]. Inoltre, sono stati studiati nuovi metodi Interior-Point le cui proprietà di convergenza sono tali da superare ben note situazioni di fallimento.

I problemi di complementarità non lineare possono essere formulati come sistemi di equazioni non lineari semi-smooth. In questo contesto sono stati studiati nuovi metodi globalmente convergenti [Pieraccini et al., 2003], [Gasparo et al., 2001]. <<<