RICERCA ITALIANA     

Metodi numerici per equazioni differenziali funzionali

Università degli Studi di Trieste

Abstract

La ricerca riguarderà i seguenti temi.
1) Studio di efficienti tecniche per la risoluzione numerica di problemi differenziali funzionali evolutivi derivanti da modelli del mondo reale. Saranno considerati in particolare problemi con termini ritardati (equazioni con ritardo), nonchè problemi retti da equazioni differenziali funzionali più generali.
2) Studio dei problemi discreti derivanti dalla applicazione dei metodi utilizzati nei vari casi, e delle corrispondenti tecniche di risoluzione.
3) Sviluppo di corrispondenti codici di calcolo con relativa validazione, nonchè aggiornamento del software già esistente precedentemente sviluppato da componenti delle Unità di Ricerca afferenti al progetto. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Marino ZENNARO Università degli Studi di TRIESTE

Obiettivo del Programma di Ricerca

Obiettivo della ricerca è la derivazione di metodi numerici efficienti per il trattamento di equazioni differenziali funzionali e lo sviluppo di relativi codici di calcolo.
Per quanto riguarda i problemi differenziali che saranno oggetto di indagine, un loro elenco di massima è il seguente:
a) problemi con termini ritardati discreti (equazioni con ritardo);
b) problemi retti da equazioni funzionali più generali.
Il trattamento di tali problemi richiede lo sviluppo dei seguenti punti:
1) approfondimento (ove necessario) delle conoscenze sul problema continuo;
2) approfondimento dell'analisi dei metodi esistenti e/o derivazione e sviluppo di metodi innovativi;
3) analisi, sotto vari punti di vista, dei problemi discreti derivanti dalla applicazione dei metodi;
4) analisi di idonee tecniche implementative dei metodi stessi, in vista del loro utilizzo per la costruzione di codici di calcolo.
Riguardo allo sviluppo software, l'attività sarà suddivisa sostanzialmente in tre sezioni principali:
I) aggiornamento di codici di calcolo esistenti;
II) sviluppo di nuovi codici di calcolo;
III) sperimentazione dei nuovi codici prodotti e loro confronti con altri codici già esistenti. <<<

Risultati parziali attesi

I risultati attesi dalla ricerca consistono nell'avanzamento della conoscenza riguardo ai metodi numerici per equazioni differenziali funzionali, con particolare attenzione alle equazioni differenziali con ritardo ed alle corrispondenti problematiche implementative. Ci si aspetta altresì di aggiornare, produrre e sperimentare alcuni codici di calcolo. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Le moderne scienze applicate ricorrono sempre più di frequente alla modellizzazione matematica dei fenomeni oggetto di indagine. Molteplici sono i motivi per cui questo avviene tra cui, ad esempio, la necessità di dover simulare quantitativamente l'evoluzione del fenomeno stesso. A tale proposito, va sottolineato come la simulazione matematica del fenomeno sia spesso molto meno dispendiosa dell'allestimento di corrispondenti prove sperimentali che non sono, talora, neanche possibili. Quando si è interessati all'evoluzione spazio-temporale di un fenomeno, le equazioni coinvolte nel corrispondente modello matematico sono delle equazioni di evoluzione. Poichè tali equazioni sono spesso complesse, una loro soluzione in forma chiusa non è praticamente mai disponibile. Si ricorre quindi all'utilizzo di opportuni metodi numerici di approssimazione. Queste metodologie sono disponibili agli scienziati sotto forma di corrispondenti codici di calcolo e/o pacchetti software integrati. A riguardo, va anche detto che un codice di calcolo non è da considerarsi come un prodotto statico: infatti, i problemi da risolvere, e/o la loro scala, variano nel tempo e questo fa sì che codici di calcolo che erano adeguati alle esigenze passate possano non esserlo più al presente o nel prossimo futuro. E' pertanto essenziale che la "tecnologia matematico-informatica", che è alla base dei moderni codici di calcolo, si evolva in continuazione, in modo da rimanere al passo con le applicazioni. Questa evoluzione consiste sia nel miglioramento dei codici esistenti, adeguandoli alle nuove esigenze, sia nella produzione di nuovi codici con caratteristiche di robustezza e flessibilità sempre migliori.
L'attività del presente progetto si inserisce nel filone di ricerca che riguarda il trattamento numerico di problemi di evoluzione, in particolare quelli retti da equazioni differenziali funzionali. Verranno studiate con particolare attenzione le equazioni differenziali con ritardo, per il cui stato dell'arte facciamo riferimento alla recentissima monografia di Bellen e Zennaro [2] .
E' da sottolineare che la ricerca nel campo della risoluzione numerica di equazioni funzionali (e la conseguente costruzione e/o adeguamento di corrispondenti codici di calcolo) richiede competenze molto differenziate che riguardano, oltre che l'Analisi Numerica, molti altri settori della Matematica in generale. Essa è portata avanti da numerosi gruppi di ricerca, sia a livello nazionale che internazionale. Gli stessi membri delle Unità di Ricerca che partecipano al presente progetto hanno già dato un ragguardevole contributo, testimoniato da parecchie decine di pubblicazioni scientifiche (solo alcune di esse sono menzionate nella bibliografia al punto 2.2a).
Le principali tematiche che saranno sviluppate nel presente progetto possono essere divise in due sezioni principali:
A) ASPETTI TEORICI
B) SVILUPPO DI CODICI NUMERICI
Di seguito descriviamo lo stato della ricerca relativo a tali tematiche, evidenziando i contributi dei ricercatori coinvolti nel progetto stesso.
A.1) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI ALLE DERIVATE PARZIALI
In vari campi delle scienze applicate (ecologia, biologia, teoria del controllo, metereologia, meccanica dei sistemi continui) si studiano modelli complessi retti da equazioni differenziali funzionali alle derivate parziali. La teoria di tali equazioni è stata sviluppata in modo completo negli ultimi trent'anni e una presentazione esauriente dei risultati raggiunti si può trovare nella monografia di Wu [20], che fornisce un'introduzione alla teoria qualitativa ed alle applicazioni dal punto di vista dei sistemi dinamici. L'analisi numerica di queste equazioni è invece ad uno stadio molto preliminare. Tra i pochi lavori sull'argomento citiamo Kauthen [21], che analizza il metodo delle linee per semi-discretizzare un'equazione integro-differenziale di Volterra alle derivate parziali di tipo parabolico. L'approccio "naturale" basato sulla semi-discretizzazione spaziale e sul successivo impiego di metodi standard per le equazioni funzionali risultanti presenta le stesse difficoltà che si riscontrano nel caso delle equazioni ordinarie, e cioè quelle connesse all'uso di metodi impliciti, aumentate ulteriormente dal carattere funzionale del problema. Un approccio alternativo basato sul trattamento separato della parte stiff da quella non-stiff dovrebbe pertanto mitigare tali difficoltà.
A.2) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI RITARDATE
L'analisi numerica delle equazioni differenziali funzionali con ritardo è stata finora prevalentemente sviluppata separatamente per il caso delle equazioni con ritardi discreti (equazioni differenziali con ritardo) e per il caso delle equazioni con ritardi distribuiti (equazioni integrali). Facciamo nuovamente riferimento al libro di Bellen e Zennaro [2] per le prime ed a quello di Brunner e van der Houwen [1] per le seconde. D'altro canto sono interessanti metodi numerici che siano applicabili ad entrambi i tipi di equazione o, più in generale, ad equazioni funzionali del tipo
y'(t)=f(t,y_t), t>=0, y_0=g,
dove y_t(s)=y(t+s), -r≤s≤0. Tale formulazione generale viene proposta e studiata nei più recenti libri di sistemi dinamici con ritardo (si veda [7, 10]). C'è stata invece poca attenzione verso lo sviluppo e l'analisi di metodi numerici per tali equazioni: gli unici lavori su questo argomento sono [6, 12, 16-18].
A.3) STUDIO DELLA STABILITA' DI METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON RITARDO MEDIANTE L'APPROCCIO DEL RAGGIO SPETTRALE
E' noto che nell'analisi della stabilità dei metodi numerici a passi per equazioni differenziali con ritardo il problema si riduce spesso allo studio della stabilità asintotica di equazioni lineari alle differenze con coefficienti variabili dipendenti dall'ampiezza del passo e dal ritardo. Si vede immediatamente che una tale equazione alle differenze individua una famiglia F di matrici dipendenti da alcuni parametri e che le proprietà asintotiche delle soluzioni sono determinate dalle proprietà di convergenza asintotica dei prodotti delle varie matrici di F. Le tecniche finora usate consistono prevalentemente nell'individuare un'opportuna norma e nel trovare condizioni sui parametri che assicurino la contrattività delle matrici di F in tale norma. Le condizioni così trovate sono, in generale, troppo restrittive. Un approccio alternativo più efficiente è basato sul concetto di "raggio spettrale" della famiglia F, indicato con r(F), nelle sue varie definizioni. E' noto che tutti i prodotti di matrici di F sono asintoticamente nulli se e solo se r(F)<1. Si tratta, quindi, di trovare condizioni sui parametri che siano il meno restrittive possibile per le quali la precedente disuguaglianza sia verificata. Recentemente alcuni membri dell'Unità di Trieste [26-28] hanno approfondito lo studio teorico di r(F) ed hanno ottenuto dei risultati incoraggianti nella determinazione delle proprietà di zero-stabilità per formule BDF a 3 passi con passo variabile, basandosi sull'uso di particolari "norme estremali" di tipo "politopico". Allo stesso modo, essi [29] hanno anche ottenuto risultati innovativi sulla stabilità dei Theta-metodi applicati alla cosiddetta "equazione del pantografo", in cui il ritardo è di tipo "proporzionale".
A.4) CALCOLO NUMERICO DI RADICI CARATTERISTICHE DI SISTEMI DIFFERENZIALI CON RITARDO
Nella teoria del controllo sono stati proposti modelli matematici che si basano su sistemi differenziali lineari con ritardo sia discreto che distribuito e per i quali è importante indagare le proprietà di stabilità delle soluzioni (si veda [14, 15]). La stabilità di tali sistemi è determinata dalle radici dell' equazione caratteristica associata al sistema differenziale (si veda [7, 10]). Volendo calcolarle, la scelta naturale di applicare un metodo numerico di ricerca degli zeri per equazioni non lineari non è opportuna per la ben nota sensibilità degli zeri di quasi-polinomi alle perturbazioni nei coefficienti. Per evitare l'uso dell'equazione caratteristica, è stato recentemente proposto un approccio che consiste nella discretizzazione dell'operatore soluzione con un metodo di integrazione di tipo multistep. Calcolando numericamente gli autovalori della matrice risultante si ottiene così una stima delle radici caratteristiche (si veda [8, 9]). Osservando che le radici caratteristiche sono gli autovalori del generatore infinitesimale del semigruppo degli operatori soluzione (si veda [7, 10]), recentemente alcuni membri delle Unità di Trieste e di Udine hanno proposto un approccio alternativo. Esso consiste nell'approssimare direttamente il generatore infinitesimale, che è l'operatore di derivazione con condizioni al contorno dipendenti dal particolare sistema considerato, con una opportuna matrice e nel calcolarne gli autovalori. Per la discretizzazione dell'operatore sono state usate sia tecniche che si basano su metodi Runge-Kutta (si veda [3]) e multistep (si veda [5]) che tecniche pseudospettrali (si veda [4]).
B.1) CODICI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON RITARDO
Il crescente interesse dimostrato negli ultimi anni per la risoluzione numerica di equazioni differenziali con ritardo è testimoniato anche dal fatto che recentemente sono apparsi alcuni codici per la loro integrazione automatica. In particolare, Guglielmi e Hairer [22] hanno proposto un codice (RADAR5) a passo variabile per equazioni molto generali in forma implicita di tipo stiff, basato sul metodo di Radau IIA a 3 livelli. Tuttavia, mentre da una parte esiste un grande numero di lavori di natura sia modellistica che numerica sul tema delle equazioni con ritardo, dall'altra il numero di codici disponibili per la loro risoluzione numerica rimane ancora piuttosto modesto (citiamo - tra questi - DIFSUB-DDE [23], DDVERK [24] e STRIDE [25]). Il codice RADAR5 è stato il frutto di una ricerca che si proponeva di realizzare un codice general purpose, capace di affrontare contemporaneamente problemi stiff, singolarmente perturbati, differenziali-algebrici (inclusi i problemi di tipo neutrale), problemi con ritardi dipendenti dalla soluzione e che possono diventare molto piccoli (ed eventualmente annullarsi), problemi con ritardi illimitati. Ciò ha consentito di investigare numericamente alcuni modelli di interesse per le applicazioni per i quali non esistevano codici in grado di integrarli. <<<