RICERCA ITALIANA     

SINTESI (Singolarità Integrabilità Simmetrie)

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"

Abstract

Un approccio realistico allo studio dei fenomeni fisici, dalla meccanica statistica all' idrodinamica, dalle teorie di campo quantistiche a quelle per i sistemi a molti corpi, richiede che la formulazione di appropriati modelli matematici rispecchi la complessità dei sistemi in cui tali fenomeni hanno origine.
Elemento fondamentale di tale complessità è la nonlinearità.
Nell'ultimo trentennio si è manifestato un fruttuoso sviluppo della teoria di tali fenomeni, in larga misura dovuto alla scoperta della natura integrabile di molti sistemi, ed alla introduzione di tecniche per lo studio di sistemi integrabili, sia classici che quantistici.
In tale contesto, il presente progetto di ricerca è focalizzato su tre principali tematiche: integrabilità, simmetrie e singolarità.
L'attività di ricerca si svilupperà secondo tre linee di ricerca: Fondamenti ed interpretazioni teoriche, Integrabilità e metodi di soluzione, Modelli ed applicazioni.
Dal punto di vista operativo si organizzeranno incontri coinvolgenti i ricercatori del progetto e si favoriranno le attività di ricerca in collaborazione (già in corso, e/o in fieri) fra ricercatori dei diversi gruppi, si effettueranno scambi di idee fra i gruppi di ricerca afferenti al progetto, e contatti con esperti esterni. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Francesco CALOGERO Universita' degli Studi di ROMA

Obiettivo del Programma di Ricerca

E' ampiamente riconosciuto che lo studio dei fenomeni non lineari e' di fondamentale importanza sia nella ricerca di base in fisica e matematica che nelle applicazioni. Dal punto di vista della fisica questi argomenti giocano un ruolo rilevante nella fenomenologia della meccanica dei fluidi, in ottica non lineare, in meccanica, nella fisica della gravitazione, nella teoria quantistica delle particelle elementari e in molti altri campi, ed hanno portato alla scoperta di nuove strutture (per esempio i solitoni). In ambito matematico questi argomenti richiedono l' uso di metodi algebrici, analitici, geometrici e topologici ed hanno portato a nuovi interessanti sviluppi in questi campi.
Le finalità del programma di ricerca SINTESI ("Singolarità, Integrabilità, Simmetrie") sono di promuovere la teoria dei fenomeni non lineari, sia classici che quantistici, e di potenziare le collaborazioni fra gruppi di ricerca operanti in tale ambito da prospettive differenti. Nell'ambito del campo vastissimo della scienza non lineare, questo programma verrà focalizzato su tre tematiche principali:
1) metodi di integrabilità,
2) simmetrie standard e deformate,
3) singolarità analitiche e topologiche.

METODI DI INTEGRABILITA'. Obiettivo del programma di ricerca in questo ambito e' sviluppare nuove tecniche per individuare e studiare sistemi integrabili, nonché estendere e potenziare quelle esistenti, sia nel caso classico che nel caso quantistico, con particolare interesse alle applicazioni fenomenologiche (prevalentemente in fisica, ma eventualmente anche in altri campi).

SIMMETRIE STANDARD E DEFORMATE. Le simmetrie hanno sempre giocato un ruolo importante nelle teorie fisiche e matematiche. Con lo sviluppo della teoria dei sistemi non lineari integrabili si e' verificato un ulteriore progresso in questa direzione, evidenziato dall' emergere di strutture associate alle infinite simmetrie di Lie-Baecklund (gruppi infinito-dimensionali), nonché a simmetrie deformate (gruppi quantici). Le interconnessioni di questi sviluppi sono molteplici e richiedono ulteriore studio.

SINGOLARITA' ALGEBRICHE E TOPOLOGICHE. Nel contesto dei fenomeni non lineari le singolarità giocano un ruolo cruciale, e sono generalmente connesse alla esistenza o meno della proprietà di integrabilità, nonché di invarianti topologici.

Dal punto di vista operativo la ricerca trarrà vantaggio dalla varietà e complementarietà delle competenze maturate nei diversi gruppi di ricerca.

Osserviamo infine che uno degli obiettivi, perseguito in particolare da alcuni dei nodi, consiste in un limitato programma di formazione di giovani ricercatori, per il qual fine sono stati richiesti modesti fondi. <<<

Risultati parziali attesi

Poiché il programma prevede una sola fase non sembra necessario specificare i risultati attesi alla fine del primo anno -- che saranno comunque quelli prodotti dal lavoro di ricerca lungo le linee indicate in dettaglio sopra. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Fondamento del progetto e' la vasta e sinergistica competenza dei gruppi coinvolti, testimoniata dalla estesa e qualificata produttività scientifica recente e dalla complementarità di interessi ed aree di specializzazione.
In particolare sull'aspetto del programma focalizzato sulle "singolarità" sono rilevanti e complementari gli interessi e le competenze dei gruppi di Trieste, Salerno e Napoli, in contesti di geometria algebrica e differenziale e teoria delle stringhe; e vi e' un interesse diffuso nelle altre sedi (p. es. Lecce, Roma e Trieste) sulla connessione fra integrabilità e proprietà di analiticità o non analiticità (cioè, per l'appunto, singolarità; p. es. problemi di Riemann-Hilbert, tecniche D-bar, tests di Painlevè).
Sull'aspetto "integrabilità" la sinergia e competenza dei diversi gruppi e' ancora più evidente, in quanto, seppure da diversi punti di vista ed in diversi contesti, tutti i gruppi hanno lavorato e lavorano su modelli, in qualche senso, integrabili (e il chiarire "in che senso" e' a sua volta un importante problema aperto di interesse largamente comune, specialmente nel caso quantistico).
Infine anche l'aspetto "simmetrie" coinvolge evidentemente tutti i gruppi,
dall' analisi armonica (Genova) al calcolo secondario (Salerno), dallo
studio di geometrie discrete e di equazioni su reticoli (Roma e Lecce) e
dall' analisi delle simmetrie deformate di spazi noncommutativi
(Firenze, Napoli,Trieste e Perugia) allo studio delle simmetrie non locali in gravitazione quantistica e in teoria delle stringhe (Genova, Napoli e Trieste).
E' infine notevole che alcuni recenti sviluppi di ricerca in cui è coinvolto il coordinatore scientifico del progetto hanno mostrato la connessione fra le proprietà di analiticità (inclusa la presenza e natura di "singolarità") delle soluzioni di alcune equazioni di evoluzione e la esistenza di classi di soluzioni completamente periodiche (dunque manifestanti un comportamento "integrabile") di altre equazioni di evoluzione ottenute da queste mediante una opportuna tecnica di deformazione, e che questa metodologia è applicabile a classi di equazioni che soddisfano a certe proprietà di "simmetria" sotto opportuni riscalamenti. <<<