RICERCA ITALIANA     

Sviluppo di formulazioni discrete per la modellazione di dispositivi elettromagnetici complessi e per problemi "multi-physics ".

Università degli Studi di Udine

Abstract

Il presente programma di ricerca prende le mosse dal PRIN 2002 "Implementazione numerica di una formulazione finita dell'elettromagnetismo e analisi comparativa con approcci differenziali e integrali discretizzati", coordinato a livello nazionale dal Prof. Giorgio Molinari. A seguito dei positivi e incoraggianti risultati ottenuti, è apparso di grande interesse estendere l'analisi e la valutazione delle proprietà della formulazione finita dell'elettromagnetismo a casi di maggiore complessità, che non è stato possibile approfondire nel precedente progetto, ma che presentano grande interesse applicativo.

Per quanto riguarda gli approfondimenti teorici, uno sforzo rilevante sarà dedicato ad una linea di ricerca relativa ai metodi geometrici per la derivazione delle equazioni costitutive discrete dell'elettromagnetismo per reticoli tridimensionali strutturati e non strutturati, allo studio di formulazioni innovative, nel tempo e in frequenza, per la soluzione di problemi di correnti indotte e di propagazione elettromagnetica, allo studio della stabilità numerica ed alla verifica dell'ordine di convergenza. Tali indagini teoriche saranno coordinate dall'Unità di Udine.

I codici numerici sviluppati potranno consentire significativi miglioramenti delle attuali tecniche di simulazione elettromagnetica in settori di crescente importanza a livello industriale, come quelli delle tecnologie elettriche, elettroniche o delle telecomunicazioni, ma anche in applicazioni biomedicali, in problemi magnetotermici e di compatibilità elettromagnetica; per alcuni dei problemi citati sarà possibile una validazione sperimentale dei risultati numerici. Le attività di implementazione numerica e di applicazione ai problemi di correnti indotte saranno coordinate dall'Unità di Padova.

Un'importante attività di ricerca riguarderà i problemi di propagazione elettromagnetica. In tale ambito si prevedono due linee di ricerca principali: la prima dedicata alla soluzione di problemi di propagazione elettromagnetica guidata, la seconda alla modellistica "Full-Maxwell" 3D in dispositivi di interesse per le nuove reti di telecomunicazione. Tali attività saranno coordinate dall'Unità di Genova.

Un'ampia parte del progetto sarà dedicata allo sviluppo di formulazioni discrete per la modellazione di dispositivi elettromagnetici complessi e per la soluzione di problemi "multi-physics", volti all'integrazione di diversi ambienti di analisi, di crescente interesse industriale. Tra essi la progettazione di componenti (sensori/attuatori) di dimensioni micrometriche (MEMS), per applicazioni nei settori aerospaziale, biomedicale e "automotive".
Si procederà all'implementazione della formulazione di codici numerici per la soluzione di problemi di geometria tridimensionale, in ambito magneto-meccanico ed elettro-meccanico, tenendo conto anche dei circuiti di alimentazione e di controllo.
In quest'ambito sono previste due linee di ricerca, l'una relativa all'accoppiamento di modelli campistici discreti con modelli circuitali, coordinata dall'Unità di Torino, e l'altra, dedicata allo studio dell'accoppiamento tra modelli elettromagnetici e meccanici discreti, coordinata dall'Unità di Milano.

Si ritiene che i codici numerici sviluppati alla fine del progetto possano costituire un significativo passo in avanti rispetto a quanto attualmente esistente, in termini di convergenza numerica e tempi di calcolo. Le indagini numeriche saranno rivolte a casi di interesse applicativo ed industriale, sia su scala macroscopica sia su scala microscopica. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Andrea STELLA Università degli Studi di UDINE

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il presente programma di ricerca prende le mosse dal PRIN 2002 "Implementazione numerica di una formulazione finita dell'elettromagnetismo e analisi comparativa con approcci differenziali e integrali discretizzati", coordinato a livello nazionale dal Prof. Giorgio Molinari. Tale ricerca si avvia a conclusione, nei tempi previsti, dopo aver sviluppato tutti i temi indicati nel progetto. A seguito dei positivi e incoraggianti risultati già ottenuti, appare molto interessante ed opportuno estendere l'analisi e la valutazione delle proprietà della formulazione finita dell'elettromagnetismo tramite il metodo delle celle a casi di maggiore complessità, che non è stato possibile approfondire nel precedente progetto ma che possono presentare rilevante interesse applicativo nell'ambito dei settori tecnologici in rapida crescita. In base a tali considerazioni si è convenuto sull'opportunità di elaborare una nuova proposta, cui partecipano tutte le unità presenti nel precedente programma, gran parte dei ricercatori in essa coinvolti ed anche il precedente coordinatore scientifico nazionale, che mantiene il ruolo di coordinatore della propria unità di ricerca. Il Prof. Enzo Tonti, al quale è dovuta l'applicazione numerica della formulazione finita chiamata Metodo delle Celle (CM), partecipa al progetto come membro dell'Unità di Udine.

Uno sforzo rilevante verrà dedicato agli approfondimenti teorici di una linea di ricerca relativa ai metodi geometrici per la derivazione delle equazioni costitutive discrete dell'elettromagnetismo, per reticoli tridimensionali strutturati e non strutturati. Sarà dato ampio spazio allo sviluppo di algoritmi di interpolazione di grado superiore al primo, allo studio della stabilità numerica ed alla verifica dell'ordine di convergenza. Strettamente legato agli aspetti geometrici, è lo studio teorico di formulazioni innovative, nel tempo e in frequenza, per la soluzione di problemi di correnti indotte e di propagazione elettromagnetica. Le indagini teoriche, coordinate dall'Unità di Udine, cominceranno fin dall'inizio del progetto e serviranno a fornire la base di partenza per l'implementazione numerica.

I codici numerici sviluppati potranno consentire significativi potenziamenti delle attuali tecniche di simulazione elettromagnetica in settori di crescente importanza a livello industriale che coinvolgono tecnologie elettriche, elettroniche o di telecomunicazioni, ma anche applicazioni biomedicali, problemi magnetotermici come il riscaldamento a induzione e la levitazione di metalli fusi, nonché la simulazione di problematiche di compatibilità elettromagnetica, con particolare riferimento alla realizzazione di schermi. Le attività di implementazione numerica e di applicazione a problemi di correnti indotte saranno coordinate dall'Unità di Padova, che svolge da anni sia indagini teorico-numeriche che attività sperimentale e di sviluppo tecnologico nel settore dell'elettrotermia, in particolare per quanto concerne i trattamenti termici di metalli e leghe di elevate prestazioni meccaniche o di elevata purezza chimica, anche in collaborazione con varie aziende del settore. Per alcuni dei problemi citati sarà possibile una validazione sperimentale dei risultati numerici ottenuti (ad esempio nel caso magnetotermico), mentre per altri si procederà alla validazione tramite confronto con altre tecniche numeriche.
L'Unità di Genova sarà responsabile del coordinamento delle attività di ricerca relative alle applicazioni del Metodo delle Celle (CM) a problemi di propagazione elettromagnetica. In tale ambito si prevedono due linee di ricerca principali. La prima sarà dedicata alla soluzione di problemi di propagazione elettromagnetica guidata: a tal scopo si esamineranno reticoli 3D sia strutturati a esaedri sia non strutturati a tetraedri, considerando diverse alternative algoritmiche per la formulazione del problema di propagazione guidata. Nella seconda si intende investigare sulla modellistica "Full-Maxwell" 3D di una serie di dispositivi che si ritengono fondamentali per le nuove reti di telecomunicazione: sistemi di interconnessione elettrica ed ottica su scala micrometrica per circuiti ad alta densità di integrazione (VLSI). I codici che verranno sviluppati saranno in grado di simulare la propagazione in dispositivi "reali", perché terranno conto sia della natura vettoriale del campo elettromagnetico, sia della complessa geometria tridimensionale dei dispositivi stessi.

Un'ampia parte del progetto sarà dedicata allo sviluppo di formulazioni discrete per la modellazione di dispositivi elettromagnetici complessi e per la soluzione di problemi "multi-physics ", motivato da una crescente esigenza in ambito industriale di integrazione di diversi ambienti di analisi nel percorso progettuale e dalla carenza di strumenti adeguati. Ad esempio, la progettazione di componenti sensori/attuatori di dimensioni micrometriche (MEMS), per applicazioni nel settore biologico e biomedicale, nel settore aerospaziale (satelliti miniaturizzati, microattuatori distribuiti sulle superfici aerodinamiche, giroscopi ed accelerometri), così come nel settore autoveicolistico (accelerometri per air-bag e sensori di pressione), include aspetti nuovi quali la valutazione dei carichi strutturali, che in questo caso vedono il preponderante effetto di azioni di tipo elettrostatico, normalmente trascurabili. Lo studio del comportamento meccanico di microstrutture sottoposte a carichi di tipo elettromeccanico richiede lo sviluppo di mezzi di calcolo adeguati a tenere conto dell'accoppiamento elettromeccanico, dell'elevata flessibilità di alcune parti del microsistema e dell'eventuale comportamento nonlineare statico e dinamico.

In quest'ambito sono previste due linee di ricerca principali, l'una relativa all'accoppiamento di modelli campistici discreti con modelli circuitali, coordinata dall'unità di Torino, e l'altra dedicata allo studio dell'accoppiamento tra modelli elettromagnetici e meccanici discreti, coordinata dall'Unità di Milano. Nella prima si intende dapprima affrontare dal punto di vista teorico il problema dei modelli circuitali equivalenti a fenomeni di campo, in termini di formulazione discreta. Si prevede poi di realizzare un simulatore che accoppi la formulazione discreta del fenomeno campistico ad una trattazione a parametri concentrati e di applicare le tecniche sviluppate a casi di interesse industriale sia su configurazioni magnetiche (nuclei ferromagnetici per l'elettronica di potenza) sia su configurazioni elettriche di interesse per i micro-attuatori elettrostatici. La seconda linea di ricerca sarà inizialmente dedicata agli aspetti teorici della formulazione discreta dell'elettromeccanica, una tematica non ancora risolta in letteratura. Sarà affrontato il calcolo di forze e di effetti mozionali in mezzi dielettrici e magnetici mediante il CM, con particolare riferimento a forze di natura elettromagnetica ed effetti di forze elettromotrici mozionali (vxB). Il ricorso a tecniche ibride discreto-integrale sara' fondamentale per tenere conto dei movimenti relativi tra le parti senza dover affrontare una nuova reticolatura del dominio ad ogni istante della dinamica. In una seconda fase, si procederà all'implementazione della formulazione in codici numerici per la soluzione di problemi in ambito magneto-meccanico ed elettro-meccanico, in strutture tridimensionali, tenendo conto anche dei circuiti di alimentazione e di controllo. In questa fase saranno utilizzati i risultati ottenuti nella prima linea di ricerca.
Si ritiene che i codici numerici sviluppati nell'ambito del progetto possano costituire un significativo passo in avanti rispetto a quanto attualmente esistente, in termini di convergenza numerica e tempi di calcolo. Le indagini numeriche saranno rivolte anche a casi applicativi di interesse industriale sia su scala macroscopica che su scala microscopica. <<<

Risultati parziali attesi

I risultati attesi dalla Fase 1 del programma di ricerca sono di tipo sia teorico che implementativi.
Per quanto riguarda i primi ci si aspetta che, al termine della Fase 1, sia disponibile una base teorica sufficiente per la pubblicazione di risultati innovativi in sede di conferenze internazionali e affermate riviste del settore.
I risultati delle ricerche relative ai punti 4.1) e 5.1), costituiranno la base di partenza teorica per l'implementazione numerica del CM per la soluzione di problemi elettromagnetici accoppiati, che sarà portata avanti nella seconda fase.
Per quanto riguarda l'implementazione numerica del CM in ambito elettromagnetico, ci si attende che le attività relative ai punti 2.2)-2.4) e 3.2)-3.3) siano alla base dello sviluppo dei codici numerici di elevata efficienza per la soluzione di problemi applicativi sia di correnti indotte che di propagazione elettromagnetica in strutture 2D e 3D.Anche i risultati attesi dalla Fase 2 del programma di ricerca sono di tipo sia teorico che implementativi.
Per quanto riguarda gli aspetti teorici, è ipotizzabile che al termine della Fase 2 siano state sviluppate delle metodologie originali, sufficientemente mature per la pubblicazione in sede di conferenze internazionali e affermate riviste del settore.
Per quanto riguarda lo sviluppo di software è da attendere che le linee di ricerca 2) e 3) portino alla realizzazione di codici ad alte prestazioni nell'ambito dei problemi elettromagnetici di correnti indotte e di propagazione elettromagnetica in strutture tridimensionali. Sono previsti confronti con codici numerici commerciali e di ricerca su specifici problemi di riferimento.
Con l'attività di ricerca relative alle linee 4) e 5) si intende sviluppare dei codici numerici per la soluzione di problemi "multi-physics", mediante approccio misto campi/circuiti e mediante una formulazione discreta elettro-magneto-meccanica, che costituiscano un significativo passo in avanti rispetto a quanto attualmente esistente in letteratura ed in commercio, sia in termini di convergenza numerica, che di tempi di soluzione. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Il carattere innovativo ed avanzato dei risultati ottenuti nel precedente progetto di ricerca PRIN 2002 è ampiamente dimostrato dalla positiva accoglienza da parte della comunità scientifica internazionale, anche documentata dai numerosi lavori sviluppati nell'ambito di tale progetto, e rappresenta un forte stimolo ad approfondimenti in una serie di direzioni esplorate solo a livello iniziale o non ancora adeguatamente approfondite. La base di partenza scientifica per la presente proposta di ricerca si articola in:
a) patrimonio conoscitivo dello stato dell'arte nella comunità scientifica;
b) risultati conseguiti e competenze acquisite nel corso del precedente progetto.

a) Patrimonio conoscitivo dello stato dell'arte nella comunità scientifica

La modellistica matematica dei problemi fisici "del continuo" di interesse applicativo ha una sistematizzazione consolidata a livello internazionale basata sulla descrizione mediante grandezze puntuali e formulazioni differenziali dei loro legami.
Negli ultimi decenni, il grande sviluppo delle tecniche di calcolo numerico, e la progressiva riduzione dei costi e dei tempi di esecuzione, ha portato a rinnovato interesse per le tecniche di discretizzazione delle equazioni differenziali, che consentono di ottenere sistemi algebrici di grandi dimensioni come approssimazioni di problemi di campo.
Sono stati così sviluppati numerosi codici di calcolo, basati su diversi metodi di discretizzazione quali il metodo delle differenze finite, dei momenti, degli elementi finiti o quello dei volumi finiti, per citarne soltanto alcuni, che hanno consentito una importante ricaduta applicativa per la soluzione di differenti problemi, dapprima principalmente in ambito strutturale e successivamente in quasi tutti i settori dell'ingegneria, incluso l'elettromagnetismo. Questo ha consentito lo sviluppo, in molti settori, di tecniche di simulazione molto dettagliate che hanno offerto al progettista uno strumento di analisi estremamente potente per migliorare le caratteristiche progettuali di numerosi dispositivi e hanno permesso enormi vantaggi in termini di riduzioni dei costi e dei tempi di sviluppo di nuovi prodotti. Numerosi problemi di interesse applicativo sono tuttavia ancora aperti, sia per eccessive esigenze computazionali, nelle più complesse simulazioni, sia per difficoltà modellistiche o per criticità numerica delle approssimazioni fornite dalle simulazioni.

Questa situazione sta stimolando, nel settore dell'elettromagnetismo, un grande interesse scientifico, a livello internazionale, per la ricerca di nuovi approcci e metodi idonei a fronteggiare le esigenze di simulazione elettromagnetica con metodi numerici; ne è conferma il crescente numero di lavori inviati al congresso COMPUMAG, uno dei più qualificati convegni internazionali specializzati nelle tecniche di simulazione numerica di campi elettromagnetici.
Una delle ragioni del rilevante numero di tecniche oggi utilizzate nella soluzione numerica delle equazioni differenziali è la molteplicità degli approcci possibili per il processo di discretizzazione delle equazioni differenziali necessario per poterle utilizzare numericamente. Tale processo esige infatti una preliminare trasformazione delle equazioni differenziali in equazioni algebriche, cosa possibile con metodi che ammettono ciascuno diverse formulazioni: i metodi più classici e più diffusi sono il metodo delle differenze finite (FDM) e quello degli Elementi Finiti (FEM), che presenta a sua volta diverse varianti. Ciascuno di questi metodi, oltre a definire una propria tipologia di discretizzazione spaziale deve associare le incognite dell'equazione differenziale ad un elemento spaziale, per poter definire un numero finito di incognite.
Anche se nel tempo, per alcune classi di problemi, come la magnetostatica, sono stati sviluppati approcci di grande efficienza computazionale, probabilmente difficili da migliorare, le associazioni ad elementi geometrici delle incognite del problema, in linea di principio arbitrarie, possono dar luogo a difficoltà di convergenza o a problemi mal posti se sono scelte ponendo poca attenzione al significato fisico delle incognite, con pesanti conseguenze sul piano numerico, particolarmente in situazioni modellistiche complesse.
Negli anni più recenti la crescente consapevolezza di questo problema ha indotto ad una maggiore attenzione verso strumenti di analisi funzionale o di geometria differenziale per ottenere indicazioni sulle forme di discretizzazione più efficaci, ma la difficoltà concettuale di questi strumenti ne hanno sino ad ora limitato l'impatto a livello applicativo, anche se iniziano a farsi strada formulazioni con questa base culturale.
Sulla base di questo tipo di considerazioni, si sono infatti sviluppate negli ultimi anni diverse tecniche che tengono in considerazione in qualche misura la tipologia dell'incognita nella sua associazione agli elementi geometrici, come il metodo degli elementi di spigolo o "edge elements" nell'ambito delle formulazioni FEM [1, 2], o che utilizzano reticoli diversi per meglio rappresentare le diverse tipologie di incognite, come il metodo delle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD) basato sul classico lavoro di Yee [3], o che accoppiano tale approccio ad una valutazione delle incognite di campo tramite integrazioni locali, come la Finite Integration Technique (FIT) sviluppata nel tempo dal gruppo del Prof. Weiland [4, 5, 6, 7].
Recentemente è stato completato dal Prof. Tonti lo sviluppo di un nuovo approccio alla trattazione dei problemi di fisica "del continuo" che giunge ad una sistematica formulazione finita delle leggi del campo. Tale approccio, sviluppato a partire da riflessioni già da tempo avviate sulla struttura matematica delle teorie fisiche del continuo [8, 9], e più di recente estese anche al contesto dell'elettromagnetismo computazionale [10, 11], è basato su due presupposti principali:

1) L'impiego di grandezze globali per la descrizione dei fenomeni fisici.

Con questo nome il Prof. Tonti individua quelle grandezze che si ottengono per integrazione dalle grandezze di campo, e comprendono le grandezze misurabili in laboratorio. Sono ad esempio grandezze globali: il flusso elettrico e quello magnetico, la tensione elettrica e quella magnetica, la carica elettrica, la corrente elettrica. Le grandezze globali sono associate ad elementi geometrici dotati di estensione come linee, superfici e volumi, i quali sono a loro volta dotati di orientazione: una tensione è associata a una linea, un flusso è associato a una superficie e un contenuto di carica, di energia, di massa, di entropia è associato ad un volume. Nel caso di uno spazio tridimensionale gli elementi geometrici orientati sono i punti, le linee, le superfici ed i volumi. Nel caso dell'asse dei tempi gli elementi geometrici sono gli istanti e gli intervalli, anch'essi dotati di orientazione.

2) La classificazione delle variabili globali in tre grandi classi: le variabili di configurazione, di sorgente ed energetiche.

Le variabili di configurazione descrivono la configurazione del campo come il potenziale elettrico scalare, la tensione elettrica o il flusso magnetico. Le variabili di sorgente descrivono le sorgenti del campo, come la corrente elettrica, il flusso elettrico o la tensione magnetica. Infine le variabili energetiche, come il lavoro, l'energia elettrica o l'energia magnetica, sono ottenute come il prodotto di una variabile di configurazione per una di sorgente.

Una caratteristica fondamentale di questo approccio è rappresentato dal fatto che le variabili globali sono direttamente associate agli elementi spaziali dotati di estensione, e quindi non sono funzioni di punto ma funzioni di dominio. I punti, le linee, le superfici ed i volumi, definiti elementi spaziali, ai quali sono associate le grandezze globali, vengono a loro volta, nella trattazione del Prof. Tonti, dotati di orientazione interna o esterna, consentendo così una corretta rappresentazione delle grandezze fisiche e delle loro relazioni. A partire da queste premesse sono state sviluppate le formulazioni finite delle principali equazioni del campo per diversi settori della fisica, incluso l'elettromagnetismo [12, 13, 14, 15].

Un'evidente conseguenza di questo approccio è il passaggio del tutto naturale dalla rappresentazione delle grandezze e delle leggi fisiche ad una applicazione numerica, a livello discreto, basata su di esse. Infatti, le variabili fondamentali di questa descrizione risultano già definite in modo discreto, e non richiedono quindi alcun processo, come sopra esposto sempre in qualche misura delicato, di discretizzazione delle equazioni fondamentali, che possono invece essere direttamente applicate agli elementi geometrici utilizzati per la descrizione dei domini del problema. Inoltre, tale attribuzione non risulta in alcun modo arbitraria o ambigua, in quanto ciascuna grandezza ha una specifica associazione ad un preciso elemento geometrico. Queste informazioni sono preziose per l'utilizzo computazionale, in quanto eliminano ogni arbitrarietà nella definizione delle associazioni tra variabili ed elementi geometrici.
L'applicazione numerica della formulazione finita richiede l'uso di due complessi di celle, l'uno duale dell'altro. La ragione della necessita` di due complessi sta nel fatto che se le variabili di configurazione sono naturalmente riferite ad un complesso di celle, definito primale, quelle di sorgente risultano automaticamente riferite ad un secondo complesso, detto duale, definito con regole precise a partire da quello primale. Pertanto diventa univoca l'associazione delle variabili globali al rispettivo complesso di celle primale-duale, sia nello spazio che nel tempo.
Di qui è stato coniato il termine Metodo delle Celle o Cell Method (CM) per descrivere l'applicazione numerica della formulazione finita.

I risultati presentati dal Prof. Tonti [16] hanno suscitato grande interesse sin dal primo momento ed hanno riscosso estesi ed autorevoli apprezzamenti anche tra i maggiori esperti internazionali di elettromagnetismo computazionale [17]. Ulteriori approfondimenti hanno fornito risultati incoraggianti, anche a livello di implementazione di codici [18 - 24].
In conclusione, si può affermare che il CM si inserisce assai efficacemente nella problematica, attualmente molto sentita a livello scientifico internazionale nell'ambito dell'elettromagnetismo computazionale, di definire linee guida efficaci nella scelta delle procedure di discretizzazione, per ottenere precisioni adeguate e prestazioni numeriche elevate anche per modelli complessi. Un ulteriore potenziale vantaggio del metodo è rappresentato dalla sua facile estensione concettuale ad altri settori della fisica, cosa di rilevante importanza data la crescente esigenza di simulazioni accoppiate per rappresentare correttamente le prestazioni complessive dei dispositivi (accoppiamenti magneto-termico e magneto-meccanico, e più in generale simulazioni "multi-physics").

b) Risultati conseguiti e competenze acquisite nel corso del precedente progetto

1) Sviluppo ed implementazione del CM nell'ambito dell'elettrostatica e della magnetostatica 2D e 3D.

Si e' sviluppata ed implementata una formulazione del problema magnetostatico (sia lineare che non lineare), utilizzando come variabile globale l'integrale di linea del potenziale vettore magnetico lungo i lati primali. Si e' inoltre sviluppata una formulazione ibrida che accoppia alla formulazione CM, un metodo integrale per la trattazione del campo in aria e nei conduttori. Si sono poi trattati i problemi elettrostatici in mezzi anche anisotropi. Sono state inoltre eseguite ampie verifiche dei codici CM sviluppati rispetto a soluzioni analitiche, nei casi geometricamente più semplici, e con soluzioni ottenute da codici di tipo FEM nei casi più complessi, ottenendo in tutti i casi notevoli concordanze dei risultati [17, 22, 23, 25, 26].

2) Estensione del metodo delle celle per reticoli di Delaunay e completamento dell'analogia formale tra discreto e continuo.

Sì è valutata la possibilita' di dedurre un equivalente circuitale delle equazioni discrete, risultanti dall'applicazione del metodo delle celle a un generico problema elettromagnetico.
A questo scopo è stata estesa la nozione di circuito elettrico, pervenendo al cosiddetto "circuito elettro-magnetico". Tale circuito, derivato a partire dal concetto di matroide, risulta interessato da tensioni e correnti generalizzate, governate da equazioni di Kirchhoff anch'esse generalizzate oltre che dalle relazioni costitutive dei componenti circuitali [19, 29].

3) Studio del legame tra i sistemi algebrici risultanti dal Metodo delle Celle e dal metodo degli elementi finiti misti.

Si e' dimostrato che in problemi statici la matrice finale del sistema coincide con quella delle formulazioni classiche ai potenziali senza gauge per elementi finiti. Infine si e' dimostrata la convergenza del metodo delle celle per problemi statici nell'ipotesi di uniformità dei campi in ogni tetraedro. Inoltre si e' messa a punto una derivazione dell'equivalente discreto delle relazioni costitutive che garantiscono al contempo la definita positività e la simmetria delle matrici permettività e permeabilità (matrici costitutive) [20, 28].

4) Studio di precondizionatori per i sistemi algebrici emergenti dal CM ed analisi delle tecniche di gauging.

Si sono studiati i precondizionatori da utilizzare per la soluzione del sistema algebrico risultante dalla formulazione in potenziale vettore del problema magnetostatico approcciato con il Metodo delle Celle. Al fine di poter utilizzare un precondizionatore standard (IC(0)) la matrice è stata resa definita positiva tramite una tecnica di "regolarizzazione discreta" di tipo "grad-div" dove l'operatore di divergenza è stato discretizzato sulla griglia duale. Si e' affrontato il problema dell'unicita' della soluzione, sia introducendo un algoritmo di eliminazione di lati d'albero del reticolo primale sia utilizzando il metodo del gradiente coniugato direttamente sul sistema singolare.

5) Modello stazionario magnetotermico.

Si sono estesi i codici CM sviluppati per l'elettrostatica ai problemi termici stazionari ed a quelli di conduzione stazionaria, entrambi sia anisotropi che non lineari, ed ai problemi termici tempo-varianti aperiodici, eseguendo estese valutazioni sull'influenza e la trattazione del termine diffusivo, in particolare riguardo la stabilità ed accuratezza di calcolo.

6) Modellazione di circuiti magnetici non-lineari e isteretici con correnti parassite.

Si sono sviluppati modelli di circuiti magnetici nonlineari e isteretici con correnti parassite, basati sul CM, utilizando il metodo iterativo di Picard-Banach. Inoltre è stato affrontato il comportamento isteretico dei materiali magnetici tramite lo studio della dinamica della magnetizzazione nella scala spaziale del micro-magnetismo.
Inoltre si sono sviluppati modelli di schermature per campi magnetici a bassa frequenza.

7) formulazioni per la magneto-quasistatica e la propagazione elettromagnetica

Si e' avviato lo studio di formulazioni del problema delle correnti indotte 3D, sia nel dominio del tempo che della frequenza, basata sulla circolazione "a" del potenziale vettore magnetico e sulla funzione di gauge "c" la cui derivata temporale è il potenziale elettrico scalare nel conduttore, (formulazione a-c, [21, 27]).
Si è inoltre avviato lo studio di formulazione per i problemi di scattering elettromagnetico [18, 24]. <<<