RICERCA ITALIANA     

DNS ed un metodo di calcolo alternativo per la turbolenza

Università degli Studi di Napoli "Federico II"

Abstract

La ricerca proposta studia sia dal punto di vista teorico che sperimentale il moto di fluidi in regime turbolento.
Per quanto riguarda l'aspetto teorico della ricerca si prenderanno in esame due metodi di calcolo. Il primo e` costituito dalla soluzione numerica diretta delle equazioni instazionarie di Navier-Stokes (DNS), il secondo e` un metodo alternativo analitico-numerico che, partendo dall'osservazione del carattere aleatorio del regime turbolento, usa tecniche statistiche.
I metodi DNS saranno sottoposti ad un esame critico, in particolar modo dal punto di vista del carattere aleatorio del moto, ed applicati a condotti con curvatura, continuando cosi` ricerche gia` in atto da molti anni al Politecnico di Milano.
Il metodo alternativo statistico sara` elaborato alla Facolta` di Ingegneria di Napoli, in cui da alcuni anni si svolgono studi approfonditi su analisi stocastiche applicate alla fluidodinamica. Il metodo si basa sull'equazione di probabilita`, studiata da Hopf ed altri nella prima meta` del secolo scorso, per determinare la probabilita` che si stabilisca uno degli infiniti possibili campi di velocita`. Questo metodo presenta la soluzione con una tecnica di successive approssimazioni utilizzando i risultati forniti dalla statistica.
L'indagine sperimentale si affianca agli studi teorici DNS in quanto prende in esame moti in condotti con curvatura utilizzando la velocimetria ad immagini di particelle (PIV).
Le applicazioni considerate in questa ricerca, sia numeriche che analitico-numeriche, oltre che sperimentali, sono essenzialmente rivolte allo studio di moti in condotti e terminano con il confronto dei risultati ottenuti con quelli gia` disponibili in letteratura o elaborati dalle stesse unita` di ricerca di questa proposta. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Amilcare POZZI Università degli Studi di NAPOLI "Federico II"

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il programma teorico-sperimentale che si propone vuole studiare il moto di fluidi in regime turbolento.
La parte teorica e numerico-analitica riguarda soluzioni che si possono ricavare in modo indipendente da dati empirici. Ci si propone da una parte di svolgere un esame critico dei metodi basati sulla soluzione diretta delle equazioni di Navier-Stokes (DNS), determinandone anche soluzioni particolari in cui la curvatura gioca un ruolo importante e dall'altra, di elaborare un metodo alternativo a quello delle DNS, con relative applicazioni a casi per cui sono gia` disponibili, o si otterranno, risultati sia numerici che sperimentali.
Si ritiene infatti che oggi il metodo piu` affidabile e` quello della simulazione diretta, ma non e` di interesse applicativo-industriale dati i proibitivi tempi di calcolo richiesti per simulazioni ad alto numero di Reynolds. Metodi basati sulla soluzione delle equazioni mediate di Reynolds (RANS), pur richiedendo tempi di calcolo relativamente brevi, necessitano di dati empirici.
Il metodo stocastico che ci si propone di elaborare ha una sicura e rigorosa base teorica, l'equazione di probabilita` per l'insieme dei campi di moto possibili, che e` stata presentata ed approfondita nei primi decenni del secolo scorso e di cui non e` stata ancora ottenuta una soluzione di interesse applicativo.
La nostra ricerca ha lo scopo di trovare soluzioni rappresentate da uno sviluppo con successive approssimazioni ottenute con gli strumenti forniti dalla teoria del calcolo delle probabilita`.
L'indagine sperimentale si affianca agli studi teorici DNS in quanto prende in esame moti in condotti con curvatura utilizzando la velocimetria ad immagini di particelle (PIV). <<<

Risultati parziali attesi

Il primo anno è essenzialmente dedicato alla elaborazione teorica di metodologie che saranno applicate nel secondo anno. Si prevede quindi che sia disponibile la sistemazione teorica del metodo di calcolo alternativo e la nuove versioni dei codici per la simulazione DNS.Nel secondo anno si prevede di applicare i risultati teorici stabiliti.
Per quanto riguarda il metodo alternativo si considererà in particolare il caso del moto in un condotto piano infinito; si considereranno diversi ordini di approssimazioni per lo sviluppo proposto confrontando i risultati con soluzioni numeriche di riferimento. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La potenzialità degli attuali metodi di calcolo sviluppati per la simulazione dei flussi turbolenti sono ben riassunte in un lavoro di Spalart (2000). Oggi gli unici metodi di interesse pratico che consentono l'analisi dei moti turbolenti sono quelli basati sull'integrazione delle equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds (RANS). I tempi di calcolo di questi metodi sono debolmente influenzati dal numero di Reynolds della corrente, prezzo che però viene pagato dal forte empirismo introdotto dal modello di turbolenza necessario per la chiusura del problema. Estrapolando al futuro l'attuale crescita delle potenze di calcolo dei computers, metodi meno empirici quale i LES (Large Eddy Simulation) si ritengono operativi nel 2045. Sempre secondo Spalart i metodi basati sulla simulazione diretta della turbolenza (DNS) saranno utilizzabili solo nel 2080 data la forte crescita dei tempi di calcolo all'aumentare del numero di Reynolds; seguendo Pope (2000), il numero di operazioni in virgola mobile necessarie per una simulazione diretta è proporzionale al cubo del numero di Reynolds calcolato con la scala di lunghezza macroscopica.

Ad ogni modo, negli ultimi anni, la soluzione numerica diretta delle equazioni di Navier-Stokes (DNS) si e' rivelata uno strumento potente di indagine, ed ha permesso di analizzare alcune importanti tipologie di flussi turbolenti, Moin & Mahesh (1998), sia pure in geometrie semplici e a numeri di Reynolds moderati, contribuendo cosi' al progetto e alla verifica di svariati modelli di turbolenza utilizzati poi nei metodi RANS. Occorre dire pero' che la quasi totalita' delle simulazioni DNS effettuate fino ad oggi si basa comunque sull'uso di condizioni periodiche per le direzioni di omogeneita', e che non esiste un fondamento teorico fermo che giustifichi questa scelta, anche se questa appare spesso come l'unica possibile. La sua validita' viene solitamente verificata a posteriori mediante l'analisi di alcuni tipi di (auto)correlazione, ma anche queste verifiche non sono conclusive, tanto che solo recentemente si e' compreso, Del Alamo et al. (2004), Quadrio & Luchini (2003) che gran parte delle simulazioni effettuate sino ad oggi hanno trascurato la rappresentazione di scale del moto molto significative. In effetti giova ricordare che la mancanza di correlazione fra due grandezze non implica necessariamente la loro indipendenza dal punto di vista statistico.

Da quest'analisi risulta che non si prevede che metodi diversi siano pronti per applicazioni industriali nei prossimi decenni. Una possibile alternativa risultano essere i metodi stocastici. In questi anni infatti risultati interessanti si sono avuti nel campo di proprietà generali della turbolenza ed in particolare sono state studiate tecniche di analisi che utilizzano dati numerici o sperimentali per una buona descrizione del fenomeno. Si cita ad esempio la tecnica POD (Proper Orthogonal Decomposition), nota anche come "Karhunen-Loève decomposition" introdotta nello studio di moti turbolenti da Lumley nel 1967 e approfondita nei successivi decenni dallo stesso Lumley e da altri, ad es. Moin & Moser (1989). La velocità si pone come combinazione di infiniti campi di vettori solenoidali i cui coefficienti dipendono dal tempo; questi coefficienti vengono poi ricavati dall'analisi di dati numerici o sperimentali.
Manca comunque una metodologia che sia priva di empirismo e dia risultati accurati di interesse applicativo in tempi relativamente brevi.
L'assenza di empirismo si trova nella formulazione statistica elaborata nella prima metà del secolo scorso, dovuta essenzialmente ad Hopf, e riportata su molti testi sulla turbolenza come quelli di Stanisic (1985), Frisch (1998), Mc Comb (1991). Al riguardo si riporta il parere di Stanisic: "Resta molto da imparare sul calcolo funzionale nell'ambito dei calcolatori e spero che in un prossimo futuro queste difficoltà saranno superate. Se ciò accadrà probabilmente, fra tutte le altre, rimarrà solo la formulazione di Hopf per la turbolenza, perché questa è la sola formulazione esatta nell'intero campo della turbolenza".
Hopf partì dall'osservazione che vi è una relazione tra la probabilità Po di trovare un dato campo di velocità, tra gli infiniti possibili, ad un dato istante to e quella Pt relativa al generico tempo t per cui si può studiare il problema considerando la probabilità funzione delle sole coordinate spaziali. Se si assume una rappresentazione analoga a quella POD per descrivere gli infiniti campi possibili, il coefficiente di uno dei particolari campi di velocità assunti come base è costante: la probabilità che si verifichi il campo di velocità caratterizzato dal dato coefficiente è quindi data da Po. Il problema da risolvere, una volta rappresentati gli infiniti possibili campi di velocità, è di trovare la distribuzione di probabilità Po(r) nello spazio. Hopf ha introdotto un funzionale caratteristico F, legato alla Po (e quindi a Pt) e, nell'ambito dell' analisi funzionale, ha scritto un'equazione, detta equazione di Hopf, rielaborata successivamente anche da altri ricercatori, che ha come incognita il funzionale caratteristico.
Di questa equazione Hopf (ed altri) hanno studiato le proprietà fondamentali, determinando anche alcune soluzioni particolari. Ha poi accennato alla possibilità di esprimere F come sviluppo in serie di funzionali ma si ha l'inconveniente che l'equazione per l'ennesima approssimazione contiene anche il funzionale ordine n+1, inconveniente tipico dei metodi basati sul tensore di Reynolds, che richiedono un'equazione aggiuntiva di chiusura. In particolare Hopf ha dimostrato che l'approssimazione del primo ordine conduce proprio a risolvere la classica equazione per la velocità media con l'introduzione degli sforzi di Reynolds, proposta da Reynolds nel 1885.

Gli studi basati su DNS sono ancora limitati se si considerano flussi turbolenti in presenza di curvatura. La ragione fondamentale consiste nelle maggiori difficolta' legate alla risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes in coordinate cilindriche. La prima DNS del flusso turbolento in un condotto cilindrico e' solo del 1994, Eggels et al. (1994), ma presenta alcuni punti non convincenti (primo fra tutti, la ridottissima estensione longitudinale del dominio di calcolo); ad essa inoltre non hanno fatto seguito ulteriori analisi, come invece e' avvenuto per la geometria piana, ed in particolare non esistono calcoli ad un numero di Reynolds sensibilmente superiore a quello considerato nel suddetto lavoro, che e' di poco superiore al valore subcritico. La DNS del flusso in un canale con curvatura longitudinale e' del 1987, Moser & Moin (1987), e quindi curiosamente anticipa la prima simulazione del flusso nel canale piano, Kim et al. (1987). Anche questo lavoro pero' non ha avuto seguito, nonostante abbia lasciato aperti svariati problemi. Infine, il condotto a sezione anulare e' stato affrontato per la prima volta con una DNS da alcuni dei proponenti solo recentemente, Quadrio & Luchini (1999), ma in via ancora preliminare a causa del metodo numerico impiegato, che richiedeva ulteriori sviluppi.

I casi citati rappresentano inoltre una semplificazione e idealizzazione, in quanto le due curvature longitudinale e trasversale sono presenti solo separatamente. Mancano in letteratura informazioni dettagliate su correnti che si sviluppano in geometrie piu' complicate, in cui la curvatura e' presente o in direzione longitudinale o in direzione trasversale. Tali geometrie richiedono necessariamente, allo stato dell'arte, il supporto dell'analisi sperimentale in laboratorio.

Sul fronte sperimentale, la velocimetria ad immagini di particelle (PIV) offre oggi potenzialita' nuove di indagine, permettendo di rilevare la struttura spaziale istantanea della corrente. La tecnica si sta sempre piu' consolidando e differenziando in diverse varianti per i diversi tipi di utilizzo. Di particolare interesse sono le nuove tecniche di "micro-PIV" (con ottiche endoscopiche) che permettono di acquisire immagini di dettaglio e risolvono inoltre molti problemi di accesso ottico anche in condotti di piccole dimensioni e forma complessa (si veda per es. Heenan et al. (2003)). Nonostante le non trascurabili difficoltà di utilizzo di questa nuova tecnica, la sua bassissima intrusivita' (l'endoscopio può essere tenuto a debita distanza dalla zona da riprendere) e l'elevata risoluzione la rendono particolarmente attraente per lo studio di strutture turbolente anche di piccola scala.

Per quanto riguarda la letteratura prodotta sull'argomento da chi propone questa ricerca, Pozzi, il coordinatore scientifico, ha un'ampia esperienza nello studio di strati limite instazionari (cfr. bibiografia del coordinatore). Inoltre ha effettuato uno studio di fattibilita` sull'uso di metodi stocastici in alternativa ai metodi classici LES e DNS con una tesi di dottorato, Guida (2003), che ha prodotto risultati promettenti che sono stati appunto spunto per la proposta di questa ricerca.
La bibliografia di Baron, il responsabile dell'unita` operativa di Milano, mette in rilievo la sua attivita` nel campo della turbolenza, in particolare nell'analisi di dispositivi atti alla riduzione della resistenza, alcuni lavori svolti in collaborazione con Quadrio, un altro ricercatore partecipante al presente progetto.
Luchini e Tognaccini hanno analizzato le potenzialita` delle tecniche di simulazione diretta in problemi particolari, Luchini & Tognaccini (2002). Tognaccini e de Nicola hanno una consolidata esperienza nell'applicazione di metodi RANS a problemi di interesse industriale, de Nicola et. al (2000), Paparone & Tognaccini (2003).

Luchini e Quadrio hanno prodotto una considerevole letteratura sulle tecniche DNS, cfr. citazioni precedenti.
Luchini, attualmente all'Universita` di Salerno, partecipa a questa ricerca come ente esterno, ma in passato e` stato afferente sia al Dipartimento di Progettazione Aeronautica di Napoli, che al Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale del Politecnico di Milano, da cui la lunga collaborazione scientifica con i partecipanti alla ricerca. <<<