RICERCA ITALIANA     

Analisi armonica

Scuola Normale Superiore di Pisa

Abstract

Scopo del progetto è lo studio di probelmi di analisi armonica che appaiono in diversi contesti ma fortemente interconnessi tra loro in diversi modi: motivazioni, tecniche e metodologie. Molti dei problemi da studiare riguardano le proprietà di limitatezza di vari tipi di operatori, come a integrali singolari e oscillanti, funzioni massimali, moltiplicatori spettrali. L'origine di questi operatori può rintracciarsi nelle equazioni alle derivate parziali, in analisis complessa, nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi, nei problemi di sommabilità di sviluppi in autofunzioni, nella teoria dei semigruppi fortemente continui, in teoria dell'approssimazione e in analisi numerica. Essi sono definiti in spazi Euclidei, su varietà con diverse proprietà metriche o topologiche, o su strutture discrete, come grafi o "buildings". L'analisi in tempo-frequenza, includendovi le ondine, entrano in questo quadro sia come strumento che come oggetto di studio di per sé. Queste varie situazioni, diverse come possono sembrare, sono tuttavia fortemente legate tra loro. Membri delle varie unità di ricerca collaborano con varie interazioni sui diversi obiettivi. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Fulvio RICCI Scuola Normale Superiore di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'obiettivo del progetto è di studiare vari problemi in analisi armonica che appaiono in diversi contesti e che sono strettamente collegati per molti aspetti: motivazioni, tecniche e approccio metodologico. Idee e metodi inventati per risolvere un problema in un'area spesso si possono applicare ad altri problemi in contesti apparentementi diversi. La varietà di questioni affrontate è quindi di per sé importante e stimolante per lo sviluppo dell'intero progetto. Per comodità di presentazione abbiamo diviso gli obiettivi in cinque aree:
1. Analisi di Fourier
2. Analisi armonica su gruppi di Lie e spazi omogenei
3. Ondine (wavelets)
4. Analisi armonica su strutture discrete
5. Metodi di analisi armonica per operatori differenziali e integrali.

1. Analisi di Fourier.
Classicamente l'analisi di Fourier si occupa delle proprietà della trasformata e delle serie di Fourier, in particolare la convergenza di metodi di sommabilità, il trattamento degli operatori di convoluzione e le applicazioni all'analisi complessa, alle EDP e alla teoria dell'approssimazione. Anche se l'argomento inizia con le stesse origini dell'analisi di Fourier, molte questioni cruciali sono ancora aperte, come la congettura di Bochner-Riesz, e più in generale i problemi di convergenza degli sviluppi in dimensione maggiore di uno. Altri problemi si sono sviluppati nel tempo, alcuni di essi piuttosto recentemente, come le questioni riguardanti il ruolo della curvatura per le stime della trasformata di Fourier e per la limitatezza di operatori di convoluzione.
Noi esploreremo vari problemi in quest'area: stime per la funzione massimale di Kakeya, decadimento medio della trasformata di Fourier di misure singolari con supporto su varietà di dimensione inferiore, il fenomeno di "L^p-improving" per operatori di convoluzione. Studieremo anche la convergenza di integrali e serie di Fourier multiple e di sviluppi in autofunzioni, il fenomeno di Gibbs per varie classi di funzioni.

2. Analisi armonica su gruppi di Lie e su spazi omogenei.
L'analisi armonica moderna ha ampliato il suo punto di vista fino a comprendere problemi sui gruppi di Lie e sugli spazi omogenei. Vi sono diverse motivazioni storiche per questo sviluppo: i problemi al bordo per funzioni armoniche e olomorfe in più variabili, la teoria delle rappresentazioni e in generale lo studio di problemi che presentano proprietà di simmetria rispetto a gruppi di trasformazioni di tipo generale. Le proprietà della forma di Levi sul bordo di un dominio pseudoconvesso in C^n hanno attirato l'attenzione sugli operatori ipoellittici; i gruppi nilpotenti omogenei si sono rivelati un ambito naturale in cui analizzare tali operatori. La trasposizione da R^n a un gruppo nilpotente dei metodi classicamente applicati agli operatori differenziali a coefficienti costanti pone tutta una serie di questioni che sono di grande attualità.
Noi studieremo la regolarità delle soluzioni delle equazioni di Schrödinger e delle onde sul gruppo di Heisenberg. Sempre sul gruppo di Heisenberg, il calcolo funzionale per laplaciani di Hodge pone questioni ancora poco analizzate relative alla geometria riemanniana invariante. Altre linee di ricerca riguardano gli integrali singolari sui gruppi nilpotenti. Una di queste si concentra sui gruppi di Heisenberg generalizzati, anche come strumento per lo studio delle rappresentazioni dei gruppi di Lie semisemplici. Un'altra si propone di estendere a generici gruppi omogenei la teoria degli integrali singolari prodotto. Un altro compito importante è estendere l'analisi di Fourier da R^n a spazi con proprietà geometriche più generali. Gli spazi simmetrici Riemanniani sono un contesto molto naturale da questo punto di vista. Noi cercheremo di caratterizzare le mappe di multicontatto sui bordi degli spazi simmetrici. Studieremo anche teoremi di Plancherel per la trasformata di Helgason-Fourier di fibrati vettoriali su spazi simmetrici compatti.

3. Ondine.
Da un punto di vista più applicativo, uno degli sviluppi di maggior successo dell'analisi di Fourier negli ultimi venti anni è la teoria delle ondine, che è diventata un ramo importante dell'analisi numerica e applicata.
Noi studieremo le proprietà degli operatori di localizzazione nello spazio delle fasi e la costruzione di "frames" di funzioni spline. Le ondine presentano anche molti aspetti teorici legati alla teoria dell'approssimazione, all'analisi armonica nello spazio delle fasi e alle rappresentazioni di quadrato integrabile dei gruppi di Lie.

4. Analisi armonica sulle strutture discrete.
Le strutture discrete, come i building e i grafi, sono un altro contesto naturale in cui studiare problemi di analisi armonica. Ci sono varie ragioni per studiare queste strutture: dati discreti si presentano naturalmente nelle applicazioni numeriche; strutture discrete si presentano nello studio dei frattali, e in relazione con le passeggiate aleatorie o a oggetti geometrici connessi all'iperbolicità. Le strutture discrete spesso forniscono un modello analitico più semplice per verificare congetture e tecniche che possono essere usate per risolvere problemi analoghi nel contesto continuo. Ad esempio, la decomposizione di Calderón-Zygmund, che è fondamentale nell'analisi armonica moderna, si basa su una discretizzazione di una situazione continua: l'identificazione di R^n come frontiera di un albero, che a sua volta è un analogo discreto del semipiano superiore.
In quest'area lavoreremo su una costruzione unificata di una certa classe di rappresentazioni temperate del gruppo libero e sulla relativa dimostrazione di irriducibilità, ma anche sull'analisi di funzioni sferiche su building affini. Altre ricerche riguarderanno Laplaciani e funzioni armoniche su alberi omogenei, o coppie di Gelfand nello stesso contesto.

5. Metodi di analisi armonica per operatori differenziali e integrali.
Fin dai suoi inizi l'analisi armonica ha giocato un ruolo centrale in diversi campi della matematica e della fisica, fornendo strumenti per studiare operatori differenziali e integrali dotati di proprietà di invarianza. Ad esempio, in più variabili complesse, l'analisi armonica interviene nello studio dei domini di Siegel, perché essi possono essere realizzati come gruppi di Lie risolubili. Molti problemi in analisi dipendono da stime delle funzioni di un laplaciano generalizzato, come le stime di funzioni quadratiche o di moltiplicatori spettrali. In tutti questi casi, il "modello invariante", che strettamente parlando è un problema di analisi armonica, serve come paradigma per la situazione più generale.
Le linee di ricerca che saranno sviluppate su questa linea nel presente progetto riguardano l'analisi complessa, la teoria spettrale per operatori in diverse situazioni geometriche, le equazioni alle derivate parziali. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Per ognuno dei temi descritti nel programma di ricerca, diamo alcune informazioni sullo stato dell'arte, includendo anche precedenti lavori degli stessi collaboratori al progetto. Le aree e i singoli temi sono etichettati come nella descrizione del programma di ricerca.


1. ANALISI DI FOURIER

Stime sul decadimento della trasformata di Fourier e su norme di operatori dipendenti dalla curvatura

1a. Stime sul decadimento della trasformata di Fourier di funzioni caratteristiche di sottoinsiemi di R^n si collegano a vari problemi in analisi armonica e in teoria geometrica dei numeri. In [1a-He], [1a-Hl] vengono dimostrate stime ottimali per trasformate di Fourier di funzioni caratteristiche di corpi convessi con frontiera liscia dotata di curvatura strettamente positiva. In questi casi il decadimento della trasformata di Fourier è uniforme rispetto alla direzione, mentre non è così in situazioni generali. In alcuni problemi di teoria geometrica dei numeri o nello studio di certi operatori di convoluzione è utile avere informazioni sul decadimento delle medie L^p sferiche della trasformata di Fourier [1a-T].
1b. Recentemente S. Secco ha studiato la limitatezza in L^p di operatori di convoluzione con nuclei di tipo prodotto in R^2, le cui singolarità hanno supporto lungo un asse coordinato e lungo una curva trsversale di tipo finito [1b-S]. Applicando questi risultati, V. Casarino e S. Secco hanno studiato la limitatezza L^p-L^q di famiglie analitiche di integrali frazionari lungo curve omogenee nel piano [1b-CS]. Esse hanno completato ed esteso in tal modo i risultati ottenuti, nel caso della parabola, da L. Grafakos [1b-G].
1c. La congettura di Bochner-Riesz afferma che gli operatori di Bochner-Riesz di indice b sono limitati su L^p(R^n) per 2n/(n+1+2b)2, sono state ottenute considerando spazi a norma mista L^p(L^2)(R^n), dove la norma L^2 è presa rispetto alle variabile angolari e la norma L^p rispetto alla variabile radiale. In particolare, Rubio De Francia [1c-R] ha dimostrato la congettura di Bochner-Riesz per questi spazi quando n è pari, sia per i singoli operatori sia, per p>=2, per il loro operatore massimale.

Convergenza di serie di Fourier e di espansioni in autofunzioni

1d. Dopo la celebre dimostrazione di Carleson e Hunt, seguita da quella di Fefferman e più recentemente da quella di Lacey e Thiele, della convergenza q.o. per serie di Fourier di funzioni in L^p, p >1 ([1d-C], [1d-H], [1d-F] [1d-LT]), molti problemi difficili, aperti fin dagli anni '70, rimangono irrisolti in dimensione più alta. I problemi aperti che riguardano questo progetto sono la convergenza q.o. delle somme parziali su rettangoli di dimensioni (N, N^2) per serie di Walsh e di Fourier in due variabili, per funzioni in L^p con p compreso tra 1 e 2.
1e. In [1e-CS] la convergenza q.o. di integrali parziali sferici della trasformata inversa di Fourier è stata dimostrata per funzioni L^2 che soddisfano disuguaglianze di Sobolev logaritmiche. Altri autori hanno contribuito alla comprensione di tali operatori [1e-CRV], [1e-CGMT].
1f. In relazione al problema di ricostruire una funzione dalla sua trasformata o serie di Fourier, un tema classico riguarda il fenomeno di Gibbs. Risultati abbastanza completi sono disponibili in una dimensione. In dimensione maggiore esistono solo risultati parziali. Si vedano gli articoli di rassegna [1f-AIN], [1f-PT]; un riferimento utile su sviluppi recenti è [1f-J].



2. ANALISI SU GRUPPI DI LIE E SPAZI OMOGENEI

Analisi di Laplaciani e sub-Laplaciani invarianti

2a. Lo studio dei moltiplicatori spettrali di L^p per Laplaciani invarianti o sub-Laplaciani su gruppi di Lie è una generalizzazione del classico problema per i moltiplicatori di Fourier. Negli ultimi trenta anni il problema è stato studiato in una gran varietà di situazioni (gruppi di Lie compatti, nilpotenti, gruppi a crescita polinomiale, a crescita esponenziale, spazi simmetrici). In linea generale, lo scopo è trovare condizioni necessarie o sufficienti per la limitatezza in L^p di funzioni dell'operatore, definite per via spettrale, che siano collegate con le proprietà geometriche o algebriche dello spazio o dell'operatore. Alcuni riferimenti, scelti tra i più rilevanti per la nostra ricerca sono [2a-A1], [2a-An], [2a-MM], [2a-CGHM], [2a-HLM], [2a-MS], [2a-MRS]. Lo studio dei moltiplicatori spettrali di Laplaciani con "drift" è più recente [2a-HMM].
2b. L'analisi armonica relativa alla misura data dal nucleo del calore su un gruppo di Lie è una generalizzazione naturale dei problemi sullo spazio euclideo relativi al processo di Ornstein-Uhlenbeck. I moltiplicatori spettrali del processo di Ornstein-Uhlenbeck sono stati studiati in [2b-MPP]. Un riferimento basilare per l'analisi armonica rispetto alla misura data dal nucleo del calore su gruppi di Lie compatti è l'articolo espositorio di Hall [2b-H].
2c. A causa della sua invarianza rispetto a cambiamenti di scala, la condizione di Mihlin-Hörmander per moltiplicatori spettrali di L^p appare naturale in relazione a operatori differenziali omogenei, come i sub-Laplaciani su gruppi stratificati [2c-C]. Essi svolgono un ruolo importante anche alcuni tipi di operatori non homogenei, come il Laplaciano riemanniano sul gruppo di Heisenberg [2a-MRS]. Molto poco si sa per i Laplaciani di Hodge che agiscono su forme differenziali. La difficoltà principale sta nel fatto che tali operatori non sono diagonali in nessuna base naturale [2c-R].
2d. L'equazione delle onde e la regolarità delle sue soluzioni hanno avuto molta attenzione negli anni più recenti, soprattutto in relazione alle stime di Strichartz. Nel caso del gruppo di Heisenberg non molto si sa su tali stime [2d-BGX]. Stime di Strichartz per l'operatore delle onde associato al sub-Laplaciano sono limitate alla scala degli spazi di Besov, e sono note solo per valori grandi dell'esponente p di integrabilità nella variabile temporale. In questo contesto è di rilievo il teorema di Müller sulla restrizione della trasformata di Fourier sul gruppo di Heisenberg [2d-M]. Lo stesso problema per ipersuperfici strettamente pseudoconvesse in C^n è ancora del tutto aperto. In questo contensto si può pensare di utilizzare le tecniche sviluppate da Phong e Stein.
2e. Come si è detto, disuguaglianze di Strichartz per le soluzioni dell'equazione delle onde associata al sub-Laplaciano sul gruppo di Heisenberg sono state ottenute in [2d-BGX], che hanno generalizzato il metodo di [2e-GV]. Le corrispondenti stime di Strichartz per le soluzioni dell'equazione di Schrödinger associata al sub-Laplaciano sono false [2d-BGX]. Tuttavia Furioli e Veneruso hanno mostrato che esse valgono per il Laplaciano completo [2e-FV]. Del Hierro [2e-D] ha ottenuto stime di Strichartz per le equazioni delle onde e di Schrödinger per il sub-Laplaciano su gruppi di tipo H con centro di dimensione maggiore di uno.

Operatori di convoluzione e integrali singolari su gruppi nilpotenti

2f. La teoria degli operatori a integrali singolari con nuclei che esibiscono una "singolarità prodotto", come quella della trasformata di Hilbert doppia nel piano, fu iniziata in [2f-FS] e poi sviluppata da diversi autori [2f-J], [2f-RS]. Recentemente è stata introdotta in [2f-NRS] la nozione di "singolarità a bandiera", al fine di porre l'enfasi sui costituenti elementari di un nucleo prodotto e di adattare la teoria a una varietà più ampia di situazioni. Ciò è stato fatto avendo in mente applicazioni ad operatori a integrali singolari su gruppi di Lie nilpotenti e all'analisi su varietà CR.

Proprietà geometriche di gruppi nilpotenti

2g. Sulla frontiera G/MAN di uno spazio simmetrico non compatto G/K è possibile introdurre diversi sotto-fibrati del fibrato tangente, che definiscono diverse generalizzazioni della struttura di contatto standard sulla frontiera dello spazio iperbolico complesso. Usando il gruppo nilpotente N come carta locale fondamentale sulla frontiera, il più comune di questi fibrati è il cosiddetto fibrato orizzontale, corrispondente alla somma degli spazi di radici semplici. Applicazioni che conservano il fibrato orizzontale sono state studiate da diversi autori [2g-KR], [2g-P], [2g-Y]. I sotto-fibrati del fibrato orizzontale corrispondenti a una singola radice semplice sono stati introdotti in [2g-CDKR1] e [2g-CDKR2]. Essi danno luogo alla nozione di applicazione di multi-contatto, cioè di diffeomorfismo locale di G/MAN il cui differenziale conserva ogni sotto-fibrato (o li permuta tra loro). La domanda principale da porsi è se il gruppo delle applicazioni di multi-contatto abbia dimensione finita oppure no. La questione è stata risolta in [2g-CDKR2] per i gruppi parabolici minimali e in rango maggiore di uno.
2h. Un gruppo N si dice rigido se il prolungamento di Tanaka [2h-T1], [2h-T2] della sua algebra di Lie è finito. Il primo passo nel processo di prolungamento è la caratterizzazione di Der(n), l'algebra di Lie di Aut(n), il gruppo degli automorfismi di n = Lie(N) che rispettano la stratificazione. Intuitivamente, più piccolo è Der(n) più rigido è N.
2i. Ci sono molte ricerche che riguardano questioni sia geometriche che analitiche per metriche sub-Riemanniane su varieta. Il gruppo di Heisenberg è un modello paradigmatico, a causa della invarianza intrinseca dovuta alla sua struttura algebrica e all'esistenza di automorfismi (dilatazioni, rotazioni unitarie) che hanno forte analogia con le corrispondenti trasformazioni di R^n [2i-FSS], [2i-G], [2i-KR], [2i-P].

Analisi di Fourier non commutativa

2j. L'immagine dello spazio delle funzioni radiali di Schwartz sul gruppo di Heisenberg attraverso la trasformata di Fourier del gruppo è stata caratterizzata in [2j-G], vedi anche [2j-BJR]. Le condizioni sono date in termini di operatori differenziali e alle differenze finite piuttosto complicati, e il loro uso è piuttosto limitato. Si sa d'altra parte che la restrizione al cosiddetto "ventaglio di Heisenberg" di una funzione di Schwartz in R^2 è la trasformata di Fourier-Gelfand di una funzione di Schwartz radiale sul gruppo [2j-H], [2j-M], [2j-G]. Sarebbe desiderabile una descrizione completa di queste trasformate di Fourier-Gelfand in termini di restrizioni al ventaglio di Heisenberg di funzioni lisce in R^2.
2k. La disuguaglianza di Heisenberg-Pauli-Weyl nella sua forma classica fornisce la formulazione matematica del principio di indeterminazione della meccanica quantistica. Da un punto di vista puramente matematico, questa disuguaglianza ammette un gran numero di estensioni alla retta reale, e numerosi adattamenti ad altri contesti (dimensioni più alte, gruppi di Lie, spazi simmetrici). Un riferimento eccellente è l'articolo di rassegna [2k-FS]. Per il gruppo di Heisenberg, una estensione è stata ottenuta in [2k-T], ma ci sono indizi che un certo numero di argomenti possano essere sviluppati in maggiore generalità, evitando in larga parte strumenti di analisi di Fourier non commutativa.
2l. A partire dal lavoro fondamentale [2l-KS], le rappresentazioni dei gruppi semisemplici non compatti sono state oggetto di un gran numero di ricerche. In rango uno, queste rappresentazioni sono state recentemente studiate nel cosiddetto "modello non compatto" in [2l-C], [2l-CH], [2l-D] e nel "modello compatto" in [2l-ACD].
2m. Il teorema di Paley-Wiener per la trasformata sferica sugli spazi simmetrici Riemanniani non compatti G/K è stato dimostrato da Helgason e Gangolli [2m-H], [2m-Ga]. Il risultato analogo per funzioni radiali su uno spazio simmetrico compatto U/K con supporto nella palla K-invariante di raggio R (con R minore del raggio di iniettività di U/K) non è stato ancora dimostrato in generale, e ha recentemente attratto una discreta attenzione. Casi particolari in cui un teorema di Paley-Wiener sferico è stato dimostrato sono: (i) U/K di rango uno [2m-K]; (ii) U/K=KxK/K, con K un un gruppo di Lie compatto semisemplice immerso diagonalmente in KxK, ossia il cosiddetto caso complesso [2m-Go]; (iii) U/K di tipo "split-rank", in cui tutte le radici ristrette hanno molteplicità pari, o equivalentemente G ha solo una classe di coniugazione di sottoalgebre di Cartan [2m-BOP].
2n. Kunze e Stein [2l-KS] hanno introdotto gli operatori di intrallacciamento per rappresentazioni nella continuazione analitica della serie principale unitaria di gruppi di Lie semisemplici non compatti. Da allora questi operatori, che possono essere rappresentati come operatori di convoluzione su opportuni sottogruppi nilpotenti del gruppo semisemplice, sono stati oggetto di numerosi studi [2n-KS], [2n-S].


3. ONDINE (WAVELETS)

"Frames"

3a. E' ben noto che i "frames" affini, e specialmente i "tight frames", sono spesso buoni sostituti di ondine ortogonali e bi-ortogonali (vedi [3a-CDF] per risultati di base in questa direzione). Altri riferimenti generali sono [3a-PSWX], [3a-CCMW]. Una teoria generale, che include caratterizzazioni di frames affini, è in [3a-RS1], [3a-RS2].

Analisi armonica nello spazio delle fasi

3b. Molti problemi riferiti alla decompsoizione e ricostruzione di un segnale trovano la loro formulazione naturale nel contesto degli operatori di localizzazione. Questi sono una classe di operatori pseudo-differenziali che trovano applicazione in fisica e in molti altri campi della matematica, dalle equazioni alle derivate parziali all'analisi dei segnali [3b-G], [3b-CG]. E' noto che la composizione di due operatori di localizzazione non può sempre essere espressa in termini di un nuovo operatore di localizzazione [3b-C]. Per rispondere a questo problema, sono state determinate sia una formula esatta, sia una asintotica, che dipendono dallo spazio funzionale del simbolo e dalle finestre proprie dell'operatore di localizzazione [3b-CT], [3b-DW], [3b-CR]. Per entrambe queste formule, è ancora aperto il problema di trovare, per simboli e finestre, i più grandi spazi di funzioni (o distribuzioni) che garantiscano la stabilità del prodotto.
3c. Una formula riproducente per una funzione F in L^2 è un integrale debolmente convergente, su un gruppo di Lie G, delle proiezioni unidimensionali di F lungo le immagini R(g)W di una fissata finestra W in L^2, dove R è una rappresentazione di G su L^2. Esempi di formule riproducenti di questo tipo appaiono in teoria delle ondine (Calderón-Grossman-Morlet) e nell'analisi di Gabor. Molti esempi rilevanti in analisi tempo-frequenza e in analisi dei segnali appaiono come casi particolari della stessa ricetta, precisamente la risoluzione dell'identità ottenuta restringendo la rappresentazione metaplettica (estesa) del gruppo simplettico G (o del suo prodotto semidiretto con il gruppo di Heisenberg) a un sottogruppo chiuso H. Così nascono in modo naturale le seguenti domande: quali sono i sottogruppi per cui tale restrizione fornisce una formula riproducente valida per tutte le funzioni L^2 nello spazio delle fasi? Come possono essere descritti attraverso invarianti o altre proprietà? In anni recenti queste domande hanno attratto l'attenzione di diversi autori; vedi [3c-LWWW], [3c-DN].


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PER MANCANZA DI SPAZIO, LA "BASE DI PARTENZA" CONTINUA ALLA VOCE "DESCRIZIONE DEL PROGRAMMA DI RICERCA"
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