RICERCA ITALIANA     

Buona positura e stime di decadimento per equazioni dispersive e sistemi iperbolici

Università di Pisa

Abstract

Questo progetto unifica gli sforzi di alcuni matematici che lavorano nel campo delle equazioni dispersive e sistemi iperbolici. Ci sono molti problemi centrali che sono considerati cruciali per lo sviluppo del campo delle equazioni e dei sistemi iperbolici. Col presente progetto ci proponiamo di ottenere risultati essenziali in alcune di queste direzioni principali.
A)Soluzioni globali per il problema delle mappe d'onda. In questo campo ci proponiamo di considerare il caso in cui la varieta' di arrivo e' Riemanniana non compatta di dimensione due con curvatura costante e negativa e vogliamo sviluppare metodi che ci permettano di provare l'esistenza di soluzioni classiche globali con dati grandi. Il problema e' cruciale anche per lo studio di soluzioni globali con dati grandi per l'equazione di Einstein, seguendo l'approccio di Choquet-Bruhat e Moncrief. Questa motivazione ha molto incrementato di recente l'interesse per lo studio del problema delle mappe d'onda.
B)Blow - up per il problema delle mappe d'onda. Qui considereremo il caso in cui la varieta' di arrivo e' Riemanniana di dimensione due compatta di tipo speciale. Il nostro scopo e' di stabilire un risultato di blow - up classico per opportune soluzioni equivarianti. Inoltre, ci proponiamo di migliorare il risultato di cattiva positura per le mappe d'onda dimostrando che la mappa soluzione e' in generale discontinua.
C)Fenomeni dispersivi e stime di tipo Strichartz per perturbazioni che coinvolgono sia un campo magnetico sia la metrica. Ci proponiamo di estendere le stime di decadimento e le stime di Strichartz ad alcune equazioni dispersive che coinvolgono un campo elettromagnetico ( cioe' una perturbazione del primo ordine a coefficienti variabili). Otterremo un nuovo tipo di stime smoothing -Strichartz per l'equazione di Schroedinger che sara' uno strumento essenziale per ottenere le stime di Strichartz nel caso di un potenziale elettromagnetico. Per il caso di perturbazione sulla metrica ci proponiamo di studiare il caso di perturbazioni non - trapping. Per l'equazione delle onde nella metrica di Schwarzschild il nostro scopo e' di stabilire varie stime di decadimento locale dell'energia che ci condurranno ad ottenere opportune stime dispersive.
D)Problemi nonlineari della fisica matematica. Qui ci proponiamo di ottenere nuovi risultati di esistenza di soluzioni a bassa regolarita' per l'equazione delle onde semilineare, per il sistema di Maxwell - Dirac oltre che risultati di esistenza globale per equazioni dissipative di tipo Kirchoff con termine nonlocale non regolare. Un'altra direzione che ci proponiamo di sviluppare e' l'esistenza di soluzioni tipo onde solitarie per alcuni sistemi della fisica matematica come Maxwell - Schroedinger e Maxwell - Klein - Gordon, e la loro stabilita'.
E) Equazioni e sistemi debolmente iperbolici. Ci proponiamo di studiare la risolubilita' locale e l'esponente critico per equazioni debolmente iperboliche del secondo ordine nonlineari in presenza di dati grandi. Studieremo la buona positura in C-infinito di sistemi non strettamente iperbolici e analizzeremo il migliore esponente di Gevrey che dia la buona positura in connessione con opportune proprieta' algebriche o analitiche del sistema, o anche in connessione con la regolarita' dei coefficienti. In particolare studieremo condizioni necessarie e/o sufficienti per la buona positura in ogni Gevrey. Nel caso dei sistemi tre per tre ci proponiamo di studiare le relazioni tra forte iperbolicita' e uniforme simmetrizzabilita'. Vogliamo anche estendere al caso di coefficienti che dipendono dalle variabili spaziali la teoria dei quasi - simmetrizzatori, in vista dello studio della propagazione della regolarita' per sistemi semilineari. Inoltre ci proponiamo di generalizzare i nostri risultati recenti di buona positura locale nella classe di Gevrey, a sistemi di tipo non principale. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Vladimir GUEORGUIEV SIMEONOV Università di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Gli scopi principali del progetto sono i seguenti.
1) Sviluppare metodi che ci permettano di stabilire stime di decadimento e di tipo Strichartz per alcune perturbazioni delle classiche equazioni dispersive della fisica matematica come l'equazione delle onde e l'equazioni di Schroedinger ed applicare questi risultati ad alcuni importanti problemi di evoluzione nonlineare della fisica matematica.
2) Sviluppare metodi per stabilire cattiva positura e blow - up per alcune equazioni geometriche delle onde.
3) Studiare la buona positura di equazioni e sistemi iperbolici.
Il gruppo che lavora sulle equazioni dispersive e sistemi iperbolici e' fomato per la maggior parte da giovani ricercatori, studenti di PhD e studenti postdoc. Il loro contributo nella parte preparatoria di questo progetto e' cruciale e i loro risultati e pubblicazioni hanno una parte dominante nella base scientifica del nostro progetto di ricerca. Quindi, l'altro importante scopo del progetto e' la formazione di un gruppo di giovani ricercatori forti e capaci di risolvere problemi importanti e difficili in questo campo.
Per essere piu' precisi, i nostri scopi sono i seguenti:
a) Provare esistenza globale con dati grandi per il problema di Cauchy associato alle mappe d'onda nel caso in cui la varieta' di arrivo e' Riemanniana non compatta a curvatura costante e negativa. Qui utilizzeremo una modifica opportuna del metodo dell'energia conforme e nello stesso tempo dovremo sviluppare nuove tecniche che ci permetteranno di controllare la norma L-infinito della soluzione.
b) Stabilire un risultato di blow - up per le soluzioni equivarianti con dati grandi. Ci proponiamo di considerare il caso in cui la varieta' di arrivo e' compatta Riemanniana di dimensione due e di tipo speciale. Qui serve un opportuno principio di tipo confronto per l'equazione delle onde semilineare con nonlinearita' oscillante.
c) Provare stime di decadimento e di tipo Strichartz per pertubazioni tipo campo magnetico oppure per pertubazioni sulla metrica di basilari equazioni dispersive della fisica matematica come l'equazione delle onde, di Klein- Gordon, di Schroedinger e di Dirac. Otterremo una nuova stima di tipo smoothing - Strichartz per l'equazione di Schroedinger che e' uno strumento cruciale per derivare stime di Strichartz nel caso di un potenziale elettromagnetico. Per il caso di perturbazione sulla metrica ci proponimao di studiare il caso importante di metriche di tipo trapping. Per l'equazione delle onde nella metrica di Schwarzschild il nostro scopo e' di stabilire varie stime di decadimento locale dell'energia che ci condurranno ad opportune stime dispersive. Saranno date anche applicazioni alle corrispondenti equazioni delle onde semilineari nella metrica di Schwarzschild.
d) Saranno studiati fenomeni dispersivi per generali sistemi iperbolici del primo ordine. Qui estenderemo l'approccio sviluppato da Klainerman, Hormander ed introdurremo opportuni spazi si Sobolev associati all'algebra di Lie di opertaori pseudo-differenziali con simboli singolari.
e) Ottenere nuovi risultati di esistenza di soluzioni a bassa regolarita' per l'equazione delle onde semilineare, per il sistema di Maxwell – Dirac ed anche per equazioni dissipative di tipo Kirchoff con termine nonlocale non regolare. Un'altra direzione che ci proponiamo di sviluppare e' l'esistenza di onde solitarie per i sistemi della fisica matematica tipo Maxwell – Schroedinger e Maxwell- Klein - Gordon e la stabilita' di tali soluzioni.
f) Studieremo la risolubilita' globale e l'esponente critico per equazioni debolmente iperboliche del secondo ordine nel caso di dati grandi.
g) Studieremo la buona positura dei sistemi non strettamente iperbolici. Per il caso dei sistemi tre per tre ci proponiamo di studiare la relazione tra forte iperbolicita' ed uniforme simmetrizzabilita'. Vogliamo anche estendere al caso di coefficienti dipendenti dalle variabili spaziali la teoria della quasi simmetrizzazione, in vista dello studio della propagazione della regolarita' per sistemi semilineari. Inoltre, ci proponiamo di generalizzare i nostri risultati recenti di risolubilita' locale nella classe di Gevrey a sistemi di tipo non principale. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

1) Lo studio delle proprieta' dispersive di alcuni problemi di evoluzione della fisica matematica e' stato oggetto in questi ultimi due decenni di una intensa ricerca scientifica. A partire dai lavori pionieristici di Strichartz, Strauss, von Wahl, John, Ginibre, Velo, Brenner, Klainerman, Hormander, sono stati ottenuti risultati per le equazioni delle onde e di Schroedinger semilineari critiche con dati grandi, risultati di esistenza globale per altri importanti sistemi della fisica matematica con dati piccoli (equazioni di Einstein, equazioni di Yang-Mills, sistema di Maxwell-Klein-Gordon, sistema di Maxwell-Dirac ecc.), ed e' stata provata la congettura di Strauss per l'equazione delle onde semilineare con dati piccoli. In particolare per le equazioni della relativita' generale, e per varie equazioni della meccanica quantistica, quali le equazioni di Schroedinger, delle onde e di Klein-Gordon, libere o accoppiate in vari sistemi quali Maxwell-Dirac e Maxwell-Schroedinger, sono state introdotte nuove tecniche basate sull'analisi armonica e la teoria dell'interpolazione che hanno consentito di affrontare problemi in precedenza ritenuti intrattabili. Per quanto riguarda la relativita' generale, un importante passo avanti e' stata la dimostrazione della stabilita' del vuoto (esistenza globale di soluzioni di piccola ampiezza per le equazioni di Einstein) da parte di Christodoulou e Klainerman, Klainerman e Nicolo'. Questo risultato e' il punto culminante di una serie di risultati per le equazioni delle onde, di Klein-Gordon e di Schroedinger, in cui hanno un ruolo fondamentale le tecniche degli spazi di Sobolev generati da campi di vettori, introdotte da Klainerman, Hormander e perfezionate da vari ricercatori, combinate con tecniche di spazi di interpolazione e stime di decadimento di vario tipo (stime dispersive, stime di Strichartz: vedi i lavori di Ginibre, Velo, Strauss, Pecher, Brenner, Shatah, Struwe, Grillakis, Kapitanski, Lindblad, Sogge, Gerard Georgiev, e molti altri).
2) Per quanto riguarda le equazioni della meccanica quantistica, dopo i risultati fondamentali sull'equazione delle onde e di Klein-Gordon di esistenza locale e globale dovuti a Ginibre, Velo, Pecher, Brenner e successivamente a Klainerman, Struwe, Kapitanski, Grillakis, tecniche sostanzialmente nuove sono state introdotte da Bourgain. Inizialmente utilizzate nello studio dell'equazione di Schroedinger e di altre equazioni di tipo dispersivo, tali tecniche hanno poi ispirato un gran numero di ricerche basate su un uso raffinato dell'analisi armonica. Tra gli esempi piu' interessanti per le nostre ricerche citiamo le stime bilineari e le varie generalizzazioni delle stime di Strichartz (Klainerman, Machedon, Selberg, Foschi, Tataru, Tao) che hanno permesso di ottenere risultati ottimali per l'equazione delle onde nonlineare in molti casi sub-critici e critici (Kapitanski, Lindblad e Sogge, Tao) e per altre equazioni e sistemi fra cui ad esempio il sistema di Maxwell-Klein-Gordon (Klainerman, Sterbenz). Dagli sviluppi degli ultimi anni, di cui qui abbiamo ricordato solo una piccola parte, emerge con chiarezza che lo studio della buona positura locale (e globale) di equazioni nonlineari in spazi di Sobolev di bassa regolarita' e' uno dei problemi cruciali in questo campo.
3) Lo studio delle proprieta' dispersive e di smoothing per alcune perturbazioni dei problemi classici di evoluzione a coefficienti costanti e' una naturale estensione di questi risultati, inoltre tale studio e' strettamente collegato con questioni di stabilità di particolari soluzioni di vari problemi di evoluzione della fisica matematica. Esempi tipici di tali soluzioni sono le onde solitarie e le onde autosimilari. Tra i modelli piu' semplici di perturbazioni ricordiamo l'equazione delle onde o di Klein – Gordon o di Schroedinger perturbate con un potenziale scalare. Una delle questioni piu' studiate e' lo studio di perturbazioni descritte da potenziali singolari (ad esempio in Lp), piu' in generale da coefficienti variabili a bassa regolarita'. Molti risultati sono stati ottenuti per le equazioni delle onde e di Schroedinger perturbate con un potenziale elettrico (Journe', Soffer, Sogge, Beals, Strauss, Yajima, Weder, Cuccagna, Rodnianski, Schlag, Georgiev, Visciglia, Burq, Planchon, Stalker, Tahvildar-Zadeh, Vodev, D'Ancona, Pierfelice). Pochi risultati esistono per perturbazioni date da un potenziale magnetico o piu' in generale per generiche perturbazioni a coefficienti variabili (vedi Staffilani, Tataru, Klainerman, Rodnianski, Cuccagna, Schirmer, Robbiano, Zuily). In questi problemi le tecniche della teoria di scattering giocano un ruolo essenziale, cosi' come le stime della risolvente e il decadimento locale dell'energia. Il caso di un potenziale magnetico e' molto complicato e i risultati esistenti in questo caso sono lontani dall'essere ottimali (vedi Cuccagna, Schirmer, D'Ancona, Fanelli). Uno degli ostacoli principali qui e' l'eventuale presenza di risonanze. D'altra parte questo problema e' importante in connessione con lo studio della regolarita' delle mappe di Schroedinger (recenti risultati in questa direzione sono stati ottenuti da Koenig, Nahmod, Kato, Stefanov). Il punto chiave e' sviluppare un approccio che dia stime sia dispersive sia di tipo Strichartz ottimali nel caso di un campo magnetico che ha proprieta' minimali di decadimento.
4) Lo studio di fenomeni dispersivi per l'equazione delle onde in presenza di una metrica di tipo Schwarzschild incontra un ostacolo essenziale di tipo diverso. Piu' precisamente i risultati di Sa' Barreto e Zworski mostrano che in una piccola regione vicina all'asse reale non ci sono risonanze quindi e' ragionevole aspettarsi un decadimento locale dell'energia con la perdita di qualche derivata. Alcune proprieta' deboli di decadimento in termini dell'energia standard della soluzione sono state ottenute da Blue e Soffer. Sembra che la situazione in questo campo sia simile al caso di equazioni di evoluzione su varieta' compatte che sono state molto studiate da Sogge, Burq, Gerard, Tzetkov. In questo caso alcune stime di tipo Strichartz e delle stime di smoothing possono essere stabilite, nonostante siano false le proprietà forti di decadimento della soluzione. Da Georgiev e Catania e' stata studiata l'equazione delle onde semilineare in presenza della metrica di Schwarzschild con dati piccoli. Al momento e' stato provato un risultato di blow-up. La congettura e' che l'esponente critico della nonlinearita' e' uguale a quello del caso piatto.
5) Un altro problema chiave nello studio dell'equazione delle onde da un punto di vista geometrico e' il problema di Cauchy per mappe d'onda a valori in una varieta' avente curvatura costante negativa. Il problema e' strettamente collegato con quello di provare un risultato di esistenza globale per l'equazione di Einstein in presenza di opportune simmetrie assiali. L'approccio e' stato sviluppato negli anni recenti da Choquet-Bruhat e Moncrief. Il punto cruciale e' provare l'esistenza globale per il problema di Cauchy associato alle mappe d'onda in dimensione due. In questa direzione alcuni risultati preliminari sono stati ottenuti da Christodoulou, Tahvildar-Zadeh, Klainerman, Machedon, Tataru, Shatah, Struwe, Grillakis, Tao, Krieger. Tuttavia, il problema che rimane aperto e' l'esistenza globale per dati iniziali grandi e regolari senza fare ipotesi alcuna di simmetria sulle soluzioni.
6) Tra le equazioni della fisica matematica un esempio molto importante e' rappresentato dal sistema delle mappe d'onda, che e' strettamente connesso con le equazioni di Einstein (se si considerano opportune coordinate, vedi Choquet-Bruhat). Quello delle mappe d'onda, che e' un punto di intersezione tra la la fisica, l'analisi delle PDE e la geometria, e' un campo in cui poter testare l'efficacia delle nuove tecniche provenienti dall'analisi armonica e dalla geometria differenziale. Dopo i lavori pionieristici di Gu, Ginibre, Velo, Shatah, Tahvildar-Zadeh, le mappe d'onda sono state notevolmente studiate in questi ultimi anni. Progressi rilevanti sono stati fatti sia sotto alcune ipotesi di simmetria (soluzioni radialmente simmetriche o equivarianti: Shatah, Struwe, Christodoulou, Krieger) sia nel caso generale ( Klainerman, Machedon, Tataru, Tao, Rodianski). Molti problemi importanti sono ancora aperti e tra questi uno dei piu' interessanti e' il blow-up delle soluzioni delle mappe d'onda definite sullo spazio di Minkowski di dimensione due, a valori nella sfera di dimensione due. Alcuni risultati in questa direzione sono stati ottenuti recentemente usando tecniche dovute a Bourgain, Koenig, Ponce e Vega (D'ancona, Georgiev). Il nostro scopo sara' quello di provare il blow-up per il problema delle mappe d'onda, nel caso in cui la varieta' Riemanniana di arrivo sia compatta bidimensionale e di tipo particolare. Il problema in dimensione tre e' stato trattato da Shatah e Tahvildar-Zadeh. Nel caso bidimensionale questo e' un problema aperto da molti anni e ci sono solo risultati numerici che suggeriscono la possibilita' che ci sia blow-up. L'ostacolo principale qui e' la mancanza di soluzioni autosimili abbastanza regolari per il problema delle mappe d'onda in dimensione due. Sotto l' ipotesi che la soluzione sia equivariante si puo' ridurre il problema allo studio dell'equazione delle onde semilineare con dati radiali in dimensione quattro. Un'altra difficoltà e' legata al fatto che la soluzione fondamentale dell'equazione delle onde in dimensione quattro non è positiva.
7) L'estensione dell'approccio sviluppato da Klainerman, Hormander, Alinhac per studiare la buona positura delle equazioni iperboliche nonlineari del secondo ordine utilizzando informazioni sulle simmetrie del problema, non e' ancora stato esteso in modo completo ai sistemi iperbolici del primo ordine. La mancanza di simmetria dei sistemi iperbolici si può superare mediante l'uso di algebre di Lie associate ad opportuni operatori pseudodifferenziali con simboli singolari. Alcuni fenomeni degeneri delle soluzioni nel caso di molteplicita' variabile sono stati studiati da Lies, Rauch e Metivier. Persino per il caso di molteplicità costante, non e' chiaro quale sia l'analogo della null-condition di Klainerman. Passi in avanti in questa direzione sono stati ottenuti da Georgiev, Lucente, Ziliotti. Lo sviluppo di questo problema e' di particolare importanza, poiche' molti sistemi della fisica matematica possono essere scritti come sistemi nonlineari del primo ordine e la riduzione ad equazioni di tipo onda in genere provoca ulteriore perdite di derivate.
8) Sono noti pochissimi risultati riguardo l'esistenza globale di soluzioni per equazioni debolmente iperboliche nonlineari. Il fatto che l'operatore dato degeneri porta ad una mancanza di simmetria e non vi e' una esplicita rappresentazione della soluzione fondamentale. D'altra parte Reissig e i suoi collaboratori hanno trovato stime di tipo Stricharz per alcuni operatori a coefficienti variabili nel tempo. Ci si chiede se vi siano quindi risultati di esistenza per equazioni nonlineari debolmente iperboliche. Nel caso di onde con velocita' variabile e degenere D'Ancona ha stabilito alcuni risultati di esistenza. Non e' ancora chiaro quale sia l'esponente critico per queste equazioni con dati grandi. Riguardando l'operatore debolmente iperbolico come un operatore di tipo Grushin, Fanelli e Lucente hanno stabilito un ulteriore passo in avanti.
9) Lo studio del problema di Cauchy per sistemi lineari non strettamente iperbolici, o non simmetrici, assai approfondito nelle ultime decadi nel caso di caratteristiche a molteplicità costante (Leray, Ohya, etc.), presenta varie questioni interessanti aperte nel caso di molteplicità variabili. Un tipico problema per il quale si conoscono solo risultati parziali (Vaillant, Nishitani, Matsumoto, etc.) e' la caratterizzazione dei sistemi ben posti in C-infinito, o almeno in ogni classe di Gevrey. Tipicamente tali questioni vengono affrontate con tecniche che si rifanno a quelle introdotte nello studio delle equazioni scalari del secondo ordine (De Giorgi, Spagnolo, Colombini, Jannelli), coniugate con altre piu' recenti quali il "quasi simmetrizzatore" (Jannelli, D'Ancona, Spagnolo) e con i metodi dell'Analisi microlocale. Un altro problema interessante e' la propagazione della regolarita' analitica per soluzioni di sistemi iperbolici nonlineari (Lax, Alinhac e Metivier, Spagnolo, Manfrin, Kajitani). Alcune delle tecniche usate per studiare le equazioni debolmente iperboliche si rivelano utili anche nello studio della surgettività locale in Gevrey per sistemi di tipo non principale (Spagnolo, Kajitani), ai quali la classica teoria di Hormander, Nirenberg, Treves non si applica.
10) L'equazione piu' studiata e' la corda vibrante di Kirchhoff, per la quale sono stati ottenuti risultati di esistenza globale per dati iniziali analitici o per dati piccoli su tutto lo spazio (Bernstein, Greenberg e Hu, Pohozaiev, Arosio, D'Ancona, Spagnolo). Oltre ai problemi tuttora irrisolti dell'esistenza globale per l'equazione di Kirchhoff su domini limitati, o per dati iniziali grandi, si pongono interessanti questioni sulla stabilita' asintotica di soluzioni k-modali (Dickey, Cazenave e Weissler, Ghisi e Gobbino), sulla dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali e sull'esistenza di soluzioni globali nel caso dissipativo quasi degenere (Ghisi e Gobbino). <<<