RICERCA ITALIANA     

Algebre di Operatori e Applicazioni

Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Abstract

Il programma si articola nei seguenti temi:


a) Reti conformi di algebre locali
b) Teoria dei campi quantistici su spazi tempo curvi
c) Formulazione algebrica del gruppo di rinormalizzazione
d) Teoria dei campi su varietà non commutative
e) Termodinamica e meccanica statistica
f) Categorie tensoriali C*- Gruppi quantistici
g) Geometria non commutativa
h) Probabilità libera e fattori di tipo II_1
i) Probabilità e statistica quantistica
l) Sistemi dinamici non commutativi
m) Teorema dell'indice locale di Connes-Moscovici
n) Invarianti coomologici per varietà combinatoriche
o) Localizzazione e microlocalizzazione della (co)-omologia di Hochschild e ciclica <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Roberto LONGO Università degli Studi di ROMA "Tor Vergata"

Obiettivo del Programma di Ricerca

Le Algebre di Operatori hanno avuto uno sviluppo particolarmente ampio in questi ultimi 30 anni. La teoria si è enormemente arricchita di contenuti e si sono rivelate interrelazioni profonde con molte altre discipline matematiche, fornendo un livello di comprensione superiore ed un linguaggio unificante.
Sin dall'inizio la teoria si è sviluppata in stretta relazione con la teoria degli operatori, la teoria ergodica, l'analisi armonica, la teoria delle rappresentazioni dei gruppi e la fisica quantistica. Più recentemente, il dominio si è notevolmente allargato e nuove connessioni con altri rami della matematica sono emerse, basti ricordare la geometria non commutativa di A. Connes e gli invarianti polinomiali per i nodi topologici di V. Jones.
Le applicazioni delle algebre di operatori alla fisica quantistica hanno sempre fornito importanti motivazioni per la teoria, ed hanno costantemente prodotto contributi fondamentali e rivelato connessioni inaspettate. Tali sono per esempio la relazione tra la struttura modulare delle algebre di von Neumann e la
condizione di equilibrio KMS in Meccanica Statistica Quantistica, il teorema di Noether quantistico e le inclusioni split di algebre di von Neumann, la struttura dei settori di superselezione e il collegamento con la teoria dell'indice di Jones per sottofattori ed in particolare la connessione tra la statistica dei campi in bassa dimensione e gli invarianti polinomiali per i nodi di Jones,
oppure la costruzione dell'algebra dei campi e la teoria di dualità astratta per i gruppi compatti.
Questo progetto, che raccoglie la quasi totalità degli esperti italiani di algebre di operatori e geometria non commutativa, si propone come obiettivo primario uno sviluppo integrato delle ricerche programmate dalle singole unità partecipanti, cercando di far convergere le competenze esistenti verso il raggiungimento di risultati rilevanti. A questo fine si intende potenziare le collaborazioni già esistenti tra le unità e stimolare nuovi scambi a livello internazionale. Prevediamo inoltre di organizzare uno o piu mini-convegni internazionali sulle algebre di operatori e le loro naturali connessioni con altri campi della matematica e della fisica teorica. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La teoria delle algebre di operatori si è sviluppata sin dall'inizio in stretta relazione con la teoria degli operatori, la teoria ergodica, l'analisi armonica, la teoria delle rappresentazioni dei gruppi e la fisica quantistica. Più recentemente sono emerse nuove connessioni con altri rami della matematica, basti ricordare la geometria non commutativa di A. Connes e gli invarianti polinomiali per i nodi topologici di V. Jones.
Il nostro gruppo è sempre stato particolarmente attivo in alcune problematiche concernenti le applicazionni delle algebre di operatori alla fisica quntistica, menzioniamo in particolare le relazioni tra la struttura modulare delle algebre di von Neumann e la condizione di equilibrio KMS in meccanica statistica quantistica, il teorema di Noether quantistico e le inclusioni split di algebre di von Neumann, la struttura dei settori di superselezione e la teoria dell'indice di Jones per sottofattori, oppure la costruzione dell' algebra dei campi e la teoria di dualità astratta per i gruppi compatti.
La ricerca del gruppo riguarda i problemi strutturali per le algebre C* ed algebre di von Neumann, la teoria dell'indice per sottofattori, le applicazioni alla teoria quantistica dei campi e alla meccanica statistica, e le connessioni con la geometria non commutativa. Come documentazione dello stato dell'arte in questo campo e la collocazione in un'ottica internazionale dell'attività scientifica svolta dal presente gruppo di ricerca, si possono consultare gli atti del congresso internazionale "Operator Algebras and Quantum Field Theory" svoltosi a Roma nel 1996 presso l'Accademia Nazionale dei Lincei e organizzato da alcuni membri del gruppo [DLRZ], che ha avuto quasi 200 partecipanti. Oppure gli atti del recente congresso "Mathematical Physics in Mathematics and in Physics. Quantum and operator algebraic aspects", Siena, Giugno 2000 [L4].
Una prima fertile linea di ricerca del gruppo riguarda la teoria dei sottofattori iniziata da V. Jones, che a Roma si è sviluppata secondo un punto di vista motivato dalla teoria algebrica dei campi (settori, endomorfismi, categorie tensoriali) e la teoria modulare di Tomita-Takesaki. Questo tipo di approccio ha prodotto risultati di interesse intrinseco per la teoria quali una dualità per algebre di Kac, una corrispondenza di Galois per gruppi compatti di automorfismi (o azioni di algebre di Kac compatte), restrizioni dei valori dell'indice in presenza di simmetrie con il gruppo delle trecce e una teoria della dimensione per categorie tensoriali C*, nonché notevoli applicazioni alla Teoria Quantistica dei Campi, tra le quali la classificazione completa per le reti conformi di algebre locali con carica centrale minore di 1 sugli spazitempo bidimensionali di Minkowski e di de Sitter (Vedi [L1994] [ILP], [LR], [BCL], [CC],[CF], [FI1], [FI2], [KLM], [GL], [GLW], [GLRV], [L1], [BuDMRS] e, recentemente, [312, 325, 328, 332, 333, 336, 339, 341, 342]). Un'altra importante linea di ricerca, motivata dalla struttura di superselezione e successivamente connessa alla linea precedente, riguarda le categorie tensoriali C*. Questa ha portato ad una teoria della dualità per gruppi compatti che va oltre la dualità classica di Tannaka e Krein e che permette di costruire l'algebra dei campi associata ad una rete di algebre di von Neumann di osservabili locali. Sviluppi ulteriori riguardano moduli di Hilbert, unitari moltiplicativi ed amenabilità. (Vedi [DR1989] [DR1990] [RT] e, recentemente, [310, 311, 316, 321, 322, 323, 326, 338, 343]) Una terza linea di ricerca in pieno sviluppo riguarda metodi di funzioni analitiche con valori in spazi di Banach, applicati alle algebre di operatori. Usando questi metodi è stato possibile dare un approccio naturale ai fondamenti della teoria modulare di Tomita-Takesaki. Recentemente, per le necessità attuali della Teoria Quantistica dei Campi (condizione KMS relativistica, teoria di campi su varietà), sono stati elaborati risultati per problemi di prolungamento analitico di funzioni di più variabili. (Vedi [Z1975] [CZ1976] [DZ1] [GL] e, recentemente, [324, 327].) Alcune importanti linee di ricerca si collocano infine all'interno della geometria noncommutativa di Alain Connes [Cnns], [340]. Il modello fisicamente motivato di spaziotempo quantistico sviluppato in [DFR] richiede la formulazione della teoria dei campi e delle strutture geometriche associate su varietà non commutative [306, 320]. Un'altra linea di ricerca riguarda l'applicazione di tecniche della teoria degli operatori alla teoria della misura e della dimensione in ambito non commutativo. Tramite lo studio delle tracce singolari per algebre di von Neumann e C*-algebre [GI1] [AGPS] [GI2] [314], sono stati studiati i concetti di misura geometrica e di dimensione metrica per triple spettrali [331]. Da un lato questo ha permesso di definire in ambito noncommutativo misure e dimensioni di Hausdorff e misure di Hausdorff-Besicovitch, dall'altro motiva definizioni nuove, come quelle di dimensioni tangenziali [GuIs9]. Questi risultati trovano applicazione anche nell'ambito classico; per varieta' aperte amenabili, per le quali si estende la definizione di invarianti di Novikov-Shubin, che vengono riconosciuti come dimensioni asintotiche [GI4] [313] [GI3], e per una vasta classe di frattali, per i quali si confrontano le grandezze classiche con quelle ottenute tramite metodi noncommutativi [GI4] [331]. Infine sono state studiate questioni concernenti l'Analisi Globale su spazi singolari e la Geometria non commutativa. In particolare: a) Teoria dell' Indice e Classi Caratteristiche delle Varietà Combinatoriche e Topologiche [T.1] [T.2] [ST] [T.3] [DS] [CST] [T.5] [T.7]. b) Localizzazione e Microlocalizzazione dell'omologia di Hochschild e ciclica [T.4], [T.6] e [T.8]. c) Studio e calcolo dell'omologia Hochschild e ciclica di algebre associate agli spazi singolari [BLT]. <<<