RICERCA ITALIANA     

Prospettive in teoria degli anelli, algebre di Hopf e categorie di moduli

Università degli Studi di Padova

Abstract

Si intendono affrontare alcuni problemi aperti di algebra non commutativa articolati in tre direzioni principali di ricerca: (1) Moduli su anelli associativi (questioni di unicità di decomposizioni di moduli in somme dirette, moduli tilting e cotilting anche di lunghezza infinita, equivalenze e dualità in categorie di moduli); (2) Algebre di Artin (teoria delle loro rappresentazioni, connessioni tra la teoria tilting e alcune classiche congetture omologiche); (3) Algebre di Hopf (costruzione di nuove algebre di Hopf, approccio coomologico e differenziale alla geometria non commutativa, coalgebre cotensoriali ed estensioni quantiche di algebre di Hopf). Queste direzioni di ricerca sono strettamente connesse tra loro, in quanto: (a) tutti gli argomenti riguardano questioni di teoria dei moduli in senso lato; (b) è ben nota la stretta connessione tra la teoria della rappresentazione per le algebre di dimensione finita e la categoria dei loro moduli di lunghezza arbitraria; (c) comoduli e coalgebre rappresentano un contesto in modo naturale duale alla teoria dei moduli classica, ove ad esempio studiare la coalgebra dei cammini di un quiver. Uno degli aspetti qualificanti dell'intero progetto e' l'attenzione all'aspetto categorico dei tre filoni di ricerca. Si rimanda alla descrizione del programma al punto 2.3 ed alle analoghe descrizioni delle singole unità di ricerca per una esaustiva esposizione del progetto in questione.
Parte delle risorse verranno impiegate in contratti per il reclutamento di due giovani ricercatori, mediante due assegni di ricerca della durata di 12 mesi ciascuno, uno presso l'unita' di Padova, l'altro presso l'unita' di Ferrara. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Alberto FACCHINI Università degli Studi di PADOVA

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'obiettivo scientifico del programma è lo studio di alcune strutture algebriche e la soluzione di alcuni problemi matematici ancora aperti. Gli obiettivi, nelle tre direzioni principali di indagine individuate nell'Abstract, riguardano i seguenti ambiti di ricerca: (1) Moduli (questioni di unicità di decomposizioni di moduli in somme dirette, condizioni di finitezza sull'anello degli endomorfismi in relazione alle decomposizioni in somme dirette di moduli, moduli tilting e cotilting anche di lunghezza infinita e loro generalizzazione in ambito di categorie abeliane, dualità cotilting ed equivalenze tilting). (2) Algebre di Artin (teoria delle loro rappresentazioni, connessioni tra la teoria tilting e alcune classiche congetture omologiche, utilizzo di tecniche e concetti di categorie derivate). (3) Algebre di Hopf (costruzione di nuove algebre di Hopf, approccio coomologico e differenziale alla geometria non commutativa, coalgebre cotensoriali ed estensioni quantiche di algebre di Hopf). Per una descrizione piu' dettagliata si rimanda ai singoli progetti delle quattro Unita' di Ricerca.
Il programma di ricerca è originale. L'originalità del programma consiste soprattutto nei metodi di indagine, come meglio specificato nella "Descrizione del programma" sia in questo modulo A che nei moduli B delle singole unità di ricerca. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Come già detto sopra, la ricerca si articolerà nelle tre direzioni (1) moduli, (2) algebre di Artin, (3) algebre di Hopf. Esponiamo pertanto la base di partenza scientifica in relazione a ciascuna di queste tre direzioni.

(1) Moduli.
A) Decomposizioni in somma diretta dei moduli.
Ricordiamo tre bei risultati recenti in tale ambito. Il primo fu la risoluzione dopo 63 anni del problema di Krull. Wolfgang Krull, nel 1932, dopo aver dimostrato il teorema oggi noto come Teorema di Krull-Schmidt, ossia che ogni modulo di lunghezza di composizione finita e' somma diretta di indecomponibili e che tale decomposizione e' essenzialmente unica, chiese se tale risultato fosse vero non solo per i moduli di lunghezza di composizione finita, ma molto più generalmente per tutti i moduli artiniani [Kru]. La risposta, negativa, a tale domanda fu data solo nel 1995 in [FHLV], risultato successivamente migliorato e approfondito da R. Wiegand in [Wi].
Un secondo esempio e' la teoria della decomposizione dei moduli seriali. Warfield [Wa], dopo aver dimostrato nel 1975 che ogni modulo finitamente presentato su di un anello seriale e' seriale, chiese se la decomposizione in somma diretta di uniseriali di un modulo seriale fosse essenzialmente unica, almeno nel caso dei moduli finitamente presentati sugli anelli seriali. Anche in questo caso la risposta e' stata data solo assai recentemente, con la costruzione di un controesempio molto generale e con la dimostrazione di una forma debole del Teorema di Krull-Schmidt che si applica ai moduli seriali di dimensione di Goldie finita [F1]. Tali risultati sono stati successivamente migliorati e generalizzati da Dung e Facchini [DF1, DF2], e solo molto recentemente e' stata scoperta da P. Prihoda [Pr] una versione del Teorema Debole di Krull-Schmidt che si applica anche ai moduli seriali di dimensione di Goldie infinita.
Una terzo esempio recente riguarda la regolarità geometrica delle decomposizioni in somme dirette in numerose classi di moduli. La struttura algebrica che descrive le decomposizioni in somme dirette dei moduli di una classe C chiusa per isomorfismi, somme dirette finite e addendi diretti e' il monoide commutativo V(C) i cui elementi sono le classi di isomorfismo dei moduli in C e in cui l'operazione e' l'addizione indotta dalla somma diretta. I monoidi commutativi V(C) possono essere assolutamente arbitrari: eccetto l'ovvia restrizione che devono essere ridotti (a+b=0 implica a=b=0), non c'e' nessuna altra restrizione [BD]. E' proprio tale monoide V(C) l'oggetto di studio della unstable K-theory. Per numerose classi di moduli C, quello che si ottiene come V(C) e' un cosiddetto monoide di Krull, l'analogo per i monoidi commutativi dei domini di Krull per gli anelli commutativi [F2]. Quando V(C) e' un monoide di Krull, le decomposizioni in somme dirette dei moduli di C hanno un andamento geometrico molto regolare. Infatti un monoide e' un monoide di Krull ridotto se e solo se e' isomorfo a N^{(I)}cap G, dove I e' un insieme, N^{(I)} e' il cono positivo del gruppo abeliano libero Z^{(I)} e G e' un sottogruppo di Z^{(I)} [Ch]. Nel linguaggio della Geometria dei Numeri di Minkowski un sottogruppo G di Z^{(I)} e' rappresentato da un reticolo, ossia e' una struttura con un andamento geometrico molto regolare. Ne segue che quando V(C) e' un monoide di Krull, allora V(C) cong N^{(I)} cap G e' l'intersezione del sottoreticolo G di Z^{(I)} con il suo cono positivo N^{(I)}. Pertanto quando V(C) e' un monoide di Krull, caso assai frequente, non vale l'unicità nel senso di Krull-Schmidt, ma le decomposizioni dei moduli in somma diretta hanno ancora un andamento molto regolare.
B) Moduli tilting e cotilting.
Nello studio delle rappresentazioni di un anello, ovvero della categoria dei suoi moduli, assumono notevole rilevanza le teorie di equivalenza e dualità. Le equivalenze e le dualità indotte da moduli tilting e moduli cotilting hanno avuto grande risonanza negli ultimi 20 anni. A partire dai pionieristici lavori di Brenner e Butler [BB], Happel e Ringel [HR], e Bongartz [Bo] degli inizi degli anni '80, le teorie dei moduli tilting e cotilting hanno via via ampliato il loro campo di applicazione da moduli su algebre di dimensione finita a moduli su anelli associativi arbitrari [CbF], [CDT], [CT], [M], [T].
La teoria tilting e cotilting e' una rilevante generalizzazione della teoria classica delle equivalenze e dualità di Morita. I funtori associati a un modulo tilting stabiliscono delle equivalenze cruciali tra opportune sottocategorie che approssimano l'intera categoria dei moduli. Nel caso dei moduli tilting infinitamente generati questa approssimazione e' ben illustrata nel contesto della teoria dei pre-inviluppi e dei pre-ricoprimenti sviluppata da Enochs [EJ] quale generalizzazione della corrispondente nozione introdotta da Auslander, Reiten e Smalo [AR], [AS] per algebre di dimensione finita (vedi [AC], [ATT], [Ba], [Tr]).
In [BET], Bazzoni, Eklof e Trlifaj hanno dimostrato che i moduli tilting infinitamente generati su anelli arbitrari sono di tipo numerabile, e recentemente, in [BH], Bazzoni ed Herbera hanno provato che essi sono di tipo finito, cioè che ogni classe tilting e' intersezione di classi tilting indotte da moduli finitamente presentati. Ciò da' un'interessante relazione tra moduli tilting finitamente e infinitamente generati.
La teoria tilting e' stata ulteriormente generalizzata nel contesto delle categorie abeliane [HRS], [CF]. In particolare ne risulta che ogni categoria abeliana dotata di un oggetto tilting T e' equivalente al cuore associato ad un'opportuna coppia di torsione sull'anello degli endomorfismi di T. D'altra parte le categorie derivate sono l'ambiente naturale per la teoria tilting: infatti le equivalenze triangolari tra categorie derivate di categorie di moduli sono esattamente quelle indotte da complessi tilting [CPS], [H], [Ric].

(2) Algebre di Artin.
La teoria della rappresentazione delle algebre di dimensione finita si è rapidamente sviluppata negli ultimi trent'anni ed ha ora un ruolo importante nell'algebra. Molti concetti fondamentali della teoria della rappresentazione, come le sequenze almost-split o i moduli tilting che furono introdotti in origine per moduli finitamente generati su algebre di dimensione finita, possono essere considerati in un contesto più generale e hanno una ricaduta significativa sulla teoria dei moduli [Z], [A], [AV], [CF], [CT], [AC].
D'altra parte, la ricerca recente sulle algebre di dimensione finita sottolinea l'importanza dei moduli di dimensione infinita per una piena comprensione della categoria dei moduli di dimensione finita [KR], [HZS]. Per esempio, la nozione di tameness può essere studiata in termini di moduli generici, cioè di moduli di lunghezza infinita che hanno lunghezza finita sul loro anello degli endomorfismi [CB], [K]. Inoltre, quando si descrivono i moduli indecomponibili finitamente generati, risulta essenziale tenere conto i moduli indecomponibili di dimensione infinita che sono puri-iniettivi [Rin]. I moduli di dimensione infinita sono rilevanti anche nella teoria tilting di dimensione finita e in connessione con certe congetture omologiche [AT]. Uno degli obiettivi principali della ricerca attuale è perciò una più profonda comprensione dell'interazione tra moduli di lunghezza finita e infinita e tra l'approccio con la teoria della rappresentazione e quello con la teoria generale dei moduli.
Nell'ambito della teoria della rappresentazione delle algebre di Artin, un punto centrale è la connessione tra i moduli tilting/cotilting e la validità di alcune classiche congetture omologiche come quella sulla dimensione finitistica (FDC) o quella di Nakayama generalizzata (GNC) [AR], [AT], [BS], [HU], [CHU]. In particolare si vede, usando la teoria tilting, che FDC implica GNC.
Un altro ambito importante per le generalizzazione è quello delle teorie derivate. Happel [H] dimostrò che se T è un modulo tilting finitamente generato su un'algebra di Artin A, allora le categorie derivate di Mod-A e di Mod-End(T) sono equivalenti. Rickard fornì anche una teoria completa delle equivalenze di tipo Morita fra categorie derivate [Ric]; anche in questo caso concetti simili a quello di modulo tilting sono importanti. Inoltre le categorie derivate sono utili per unificare i risultati e per mostrarli da prospettive diverse.
Altre generalizzazioni riguardano la teoria tilting/cotilting per comoduli [S], dove appaiono molte differenze con il caso dei moduli.

(3) Algebre di Hopf.
A) Metodi di costruzione di algebre di Hopf.
Nell'articolo [AMS] si è dimostrato come ogni algebra di Hopf il cui coradicale è una sottoalgebra di Hopf (e quindi in particolare ogni algebra di Hopf pointed) possa essere ricostruita tramite una opportuna tecnica attraverso le quadruple duali di Yetter-Drinfel'd. Questo procedimento è senz'altro rilevante e si inserisce nel problema generale di classificare le algebre di Hopf di dimensione finita come affrontato nella vasta letteratura su tale tematica. Si veda ad esempio [AnS].
B) Un teorema di tipo Milnor Moore per algebre di Hopf Braided.
In [MM], Milnor e Moore hanno dimostrato che ogni algebra di Hopf H (su un campo K di caratteristica zero) cocommutativa e connessa è isomorfa, come algebra di Hopf, all'algebra inviluppante U(P(H)), dove P(H) denota l'algebra di Lie degli elementi primitivi di H. L'idea è che esiste un unico morfismo di bialgebre tra U(P(H)) e H che estende l'inclusione canonica. Per dimostrare che questo è un isomorfismo, si sfrutta il cosiddetto Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt. In [W], Wambst ha applicato tecniche di tipo omologico allo studio dell'algebra simmetrica.
C) Coalgebre cotensoriali in categorie monoidali.
Sia C una coalgebra su di un campo K e sia M un (C,C)-bicomodulo. La coalgebra cotensoriale T^c_C(M) è stata introdotta da Nichols in [N] come strumento principale per costruire alcune nuove algebre di Hopf. Queste possono essere ricostruite, tramite un procedimento di bosonizzazione, a partire dalle cosiddette algebre di Nichols, dette anche algebre quantum simmetriche in [R], che sono state profondamente analizzate e svolgono un ruolo cruciale nella classificazione delle algebre di Hopf di dimensione finita (si veda ad esempio [AnS]). La coalgebra dei cammini di un quiver Q è un esempio di una coalgebra cotensoriale. Siano infatti rispettivamente Q_0 l'insieme dei vertici e Q_1 l'insieme delle frecce di Q. Allora M=KQ_1 è un (C,C)-bicomodulo dove C=KQ_0 è dotata della sua naturale struttura di coalgebra. La coalgebra cotensoriale è appunto la coalgebra dei cammini del quiver Q. In [CR] Cibils e Rosso classificano le coalgebre dei cammini che ammettono una struttura di algebra di Hopf graduata, permettendo al quiver di essere infinito. D'altro canto in [JLMS] vengono caratterizzate le coalgebre ereditarie con coradicale coseparabile tramite opportune coalgebre cotensoriali.
D) Coomologia di Hochschild e coomologia di Harrison di algebre in categorie monoidali.
Sia K un campo e sia A una K-algebra. La coomologia di Hochschild di A con coefficienti in M è stata introdotta in [Ho] allo scopo di classificare, a meno di equivalenze, tutte le estensioni di A con kernel M. Successivamente si sono ottenute numerose altre applicazioni di tale coomologia. Fra le altre ricordiamo che un'algebra A è separabile se e solo se la sua dimensione coomologica di Hochschild è zero per ogni bimodulo M. Altre caratterizzazioni omologiche delle algebre separabili possono essere trovate, ad esempio, in [CQ]. Un'algebra A è priva di estensioni non banali se e solo se ha dimensione cohomologica minore o uguale ad 1. Queste algebre sono chiamate quasi-libere e sono state introdotte da J. Cuntz and D. Quillen in [CQ] dove giocano il ruolo di "algebre delle funzioni" di una "varietà non commutativa affine e liscia". Il nostro gruppo di ricerca lavora da tempo sulla coomologia di Hochschild di algebre in categorie monoidali abeliane, ed ha dimostrato che tutte le proprietà delle algebre separabili e di quelle quasi-libere sopra citate continuano a valere in questo contesto più ampio. Le applicazioni più significative sulla coomologia di Hochschild appaiono in [AMS]. La coomologia di Harrison per le algebre commutative è stata introdotta da Harrison e risultati significativi, sempre nel caso classico, possono essere ritrovati in [B].
E) Bialgebroidi e Quantum Gruppoidi.
Per molto tempo si è cercato di pervenire ad una opportuna definizione di algebra di Hopf o, più in generale, di bialgebra nel caso in cui l'anello base non fosse necessariamente commutativo. Una prima definizione fu proposta da Sweedler [Sw] e più tardi generalizzata da Takeuchi [Ta]. Molti anni dopo, Ravenel [Ra] introdusse la nozione di algebroide di Hopf commutativo; tale nozione è un caso particolare di quella di Takeuchi. I bialgebroidi furono poi discussi nell'ambito della geometria non commutativa da Maltsiniotis [Ma]. In [BS] viene introdotta un'altra generalizzazione delle algebre di Hopf di dimensione finita, le cosiddette weak Hopf algebre, in relazione a spin chains integrabili e a classificazione di sottofattori di algebre di von Neumann. Negli articoli [MM1] e [MM2] Menini e Militaru introducono la nozione di integrale totale quantico. Tramite questo integrale si dimostra un criterio di affinità quantica che stabilisce quando la categoria dei moduli Yetter-Drinfel'd è equivalente alla categoria dei moduli sull'algebra dei coinvarianti quantici.
F) Forme differenziali non commutative.
Nell'articolo [CQ] J. Cuntz e D. Quillen hanno introdotto la nozione di algebra quasi-libera su un campo K nel tentativo di fornire un ambito naturale per la versione non commutativa di certi aspetti delle varietà. Essi hanno pure generalizzato l'algebra delle forme differenziali non-commutative all'algebra delle forme differenziali relative associate ad un morfismo d'anelli. Nella ricerca di cui al punto D), tramite l'uso della coomologia di Hochschild nel caso monoidale, si introduce la nozione di algebra quasi-libera per le categorie monoidali e ne è stata fornita una caratterizzazione. Abbiamo già ottenuto una teoria generale delle forme differenziali per una categoria monoidale abeliana con tensori esatti a destra. In particolare, tramite l'uso di un funtore "Tor relativo" si è stabilita l'esistenza sia di una successione cotangente che di una conormale. <<<