RICERCA ITALIANA     

Dinamica dei fluidi e leggi di conservazione

Università degli Studi di Brescia

Abstract

Questo programma di ricerca riguarda vari aspetti della teoria matematica della dinamica dei fluidi, dei sistemi iperbolici e delle leggi di conservazione, il tutto con una forte attenzione per i problemi non-lineari.
Il programma si basa sull'attività di ricerca all'interno di diverse aree di studio, tutte strettamente correlate e interdipendenti, con ramificazioni di vario genere. I principali argomenti considerati sono i seguenti:
1. Teoria matematica dei fluidi viscosi incomprimibili
2. Sistemi iperbolici di leggi di conservazione multi-dimensionali e fluidi comprimibili non viscosi
3. Sistemi iperbolici di leggi di conservazione uni-dimensionali
4. Modellistica matematica e applicazioni. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Paolo SECCHI Università degli Studi di BRESCIA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Questo programma di ricerca riguarda vari aspetti della teoria matematica della dinamica dei fluidi, dei sistemi iperbolici e delle leggi di conservazione, il tutto con una forte attenzione per i problemi non-lineari.
Gli argomenti hanno una profonda natura inter-disciplinare ed occupano una posizione centrale nella teoria delle equazioni alle derivate parziali e nella fisica matematica, per la loro importanza in campo teorico ed applicativo.
Lo staff scientifico dei vari gruppi include noti matematici italiani che hanno una profonda esperienza nei molteplici aspetti del programma, avendo già prodotto importanti risultati in questi campi di ricerca, e che collaborano strettamente da anni su questi temi.
Il programma si basa sull'attività di ricerca all'interno di diverse aree di studio, tutte strettamente correlate e interdipendenti, con ramificazioni di vario genere. Gli argomenti che verranno considerati sono i seguenti:

1. TEORIA MATEMATICA DEI FLUIDI VISCOSI INCOMPRIMIBILI
1.1 Teoria generale delle equazioni di Navier-Stokes
1.2 Interazione fluido-struttura in vasi elastici
1.3 Modelli di viscosità
1.4 Modellizzazione di flussi turbolenti
1.5 Rilassamento ed equazioni di Navier-Stokes

2. SISTEMI IPERBOLICI DI LEGGI DI CONSERVAZIONE MULTI-DIMENSIONALI E FLUIDI COMPRIMIBILI NON VISCOSI
2.1 Discontinuità di contatto ed equazioni di Eulero per fluidi comprimibili non viscosi
2.2 Discontinuità di contatto ed equazioni della Magneto-idrodinamica ideale
2.3 Equazioni di trasporto a coefficienti discontinui associate a sistemi iperbolici multi-dimensionali
2.4 Rilassamento di sistemi iperbolico-parabolici

3. SISTEMI IPERBOLICI DI LEGGI DI CONSERVAZIONE UNI-DIMENSIONALI
3.1 Approssimazioni viscose di sistemi iperbolici
3.2 Problemi con dati al bordo
3.3 Problemi di controllo per sistemi iperbolici
3.4 Leggi di bilancio, risonanza e sorgenti non conservative
3.5 Problemi di rilassamento e perturbazioni singolari
3.6 Rilassamento di modelli di transizione di fase

4. MODELLISTICA MATEMATICA E APPLICAZIONI
4.1 Modelli per il traffico veicolare
4.2 Modellistica matematica per dispositivi semiconduttori
4.3 Modelli di fluidizzazione nell'Ingegneria Chimica
4.4 Modelli fluidi in combustione
4.5 Ottimizzazione di forma e topologica in aerodinamica <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

1. TEORIA MATEMATICA DEI FLUIDI VISCOSI INCOMPRIMIBILI

1.1 TEORIA GENERALE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES
Le equazioni della fluidodinamica sono, da più di 2 secoli a questa parte, al centro dell'attenzione non solo dei matematici, ma di una vasta comunità scientifica. Questo argomento ha una profonda natura interdisciplinare ed occupa da sempre una posizione centrale. Sarebbe fuori luogo tentare, anche minimamente, una descrizione di tutti i campi teorici ed applicativi concernenti problemi di fluidodinamica o di tutti i gruppi che ivi lavorano. La risoluzione matematica delle equazioni di Navier-Stokes è stata affrontata da Leray agli inizi degli anni '30, ed è proseguita con i lavori di Hopf, Ladyzhenskaya, Prodi, Serrin, Solonnikov, Lions, Nirenberg ed altri. Tali contributi sono comunque molto parziali. Ad esempio, è tuttora in aperto il problema fondamentale della esistenza ed unicità della soluzione di tale sistema. Questo è uno dei nostri argomenti di ricerca al quale il gruppo di Pisa con Beirão da Veiga ha dato, anche di recente, importanti contributi (vedi, ad esempio, gli articoli [Be1], [Be2], [Be3], [Be4], [Be5], [BB02], [Be7], [Be8], [Be9], [BM], [BG]).

1.2 INTERAZIONE FLUIDO-STRUTTURA IN VASI ELASTICI
Questo argomento di ricerca è importante per le sue applicazioni all'Emodinamica. Grazie al progresso degli strumenti di calcolo a disposizione è ora possibile ottenere risultati di reale interesse per le applicazioni chirurgiche. Beirão da Veiga si è dedicato a questo argomento, ottenendo vari risultati, vedi gli articoli [Be6] e [Be10]. I risultati sono anche stati applicati alla risoluzione del noto "problema di Leray" nel caso periodico.

1.3 MODELLI DI VISCOSITA'
Modelli alternativi alle classiche equazioni di Navier-Stokes sono stati introdotti negli anni 50 e 60 da Smagorinsky, Ladyzhenskaya, J.-L.Lions, anche per meglio trattare i fenomeni di turbolenza. Il problema della regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes con viscosità dipendente dal gradiente simmetrico della velocità è stato affrontato da diversi autori, ma presenta tuttora moltissimi problemi basilari aperti, specialmente in presenza di condizioni al bordo. Recentemente Beirão da Veiga ha dimostrato risultati di regolarità delle soluzioni di questo modello con varie condizioni al bordo, vedi [Be9].
Relativamente allo studio delle equazioni di Navier-Stokes con condizioni al bordo di Navier (slip boundary condition), un contributo piuttosto completo è stato dato da Beirão da Veiga nei recenti articoli [Be7], [Be8], [Be9].


1.4 MODELLIZZAZIONE DI FLUSSI TURBOLENTI
Tra le questioni più interessanti relative all'analisi numerica delle equazioni di Navier-Stokes, ricordiamo che il numero di gradi di libertà necessari per descrivere un flusso di reale interesse per le applicazioni è di ordini di grandezza superiore a quello attualmente trattabile dai più moderni calcolatori. Per studiare questo problema negli ultimi quarant'anni sono stati proposti modelli approssimati di vario tipo (k-epsilon, medie temporali, LES...). Relativamente allo studio delle equazioni di Navier-Stokes filtrate nello spazio, Berselli ha dato, in collaborazione con altri ricercatori, contributi di carattere teorico e applicativo, in particolare per i modelli di "Grande Scala". Vedi referenze [BGIL], [BI], [BGr], [BIL].

1.5 RILASSAMENTO ED EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES
L'analisi asintotica di sistemi iperbolici e lo studio dei fenomeni di rilassamento rientra tra le attività di lungo periodo dell'unità dell'Aquila ed è stato portato avanti da Natalini (IAC-CNR), soprattutto per quanto riguarda il modello di tipo BGK, e da altri ricercatori dell'Aquila, come Guarguaglini [BGN00] e Lattanzio [LN02]. I riferimenti storici sono riportati in [MR00], che rappresenta il punto di partenza per l'approccio più recente.
Il primo tipo di problema asintotico preso in esame è il problema di rilassamento diffusivo. Oltre al risultato già menzionato [MR00], sono stati ottenuti nuovi risultati da Donatelli e Marcati in [DM03], dove è stato mostrato come approssimare i sistemi parabolici nonlineari di Petrowski attraverso sistemi iperbolici semilineari. Inoltre, sono state ottenute applicazioni alla chemotassi e ai problemi di reazione e diffusione.
Il limite di rilassamento solitamente non corrisponde al limite quando il tempo tende a infinito; tuttavia, una possibile interpretazione - che si basa sulle teorie di Serre – è stata data da [LR03] nel caso di un sistema 2x2 in 1-D.
In generale, questi risultati di rilassamento suggeriscono che è possibile aspettarsi un comportamento diffusivo che descrive gli stati per tempi grandi. Ci sono diversi risultati in questa direzione; nel caso di p-sistemi [MMR04]; nel caso di gas dinamica adiabatica [MP01]. Quest'ultimo risultato collega la teoria dei flussi in mezzi porosi a quella di sistemi iperbolici dissipativi.
Un altro aspetto importante dei processi di rilassamento è il comportamento per tempi piccoli, il cosiddetto "initial layer". Per quanto riguarda lo "scaling" iperbolico-parabolico, l'analisi è stata portata avanti in [LY01].
Esistono forti relazioni tra il limite idrodinamico per i modelli BGK cinetici discreti e l'analisi di rilassamento di limiti di rilassamento. Il lavoro di Lattanzio e Natalini [LN02] mostra implicitamente queste relazioni.
Alcuni risultati di rassegna si possono trovare nelle lezioni tenute da Natalini ad Aachen [Nat99], oppure nelle lezioni di Marcati al Newton Institute di Cambridge disponibili ai seguenti url:
http://www.newton.cam.ac.uk/webseminars/requested/2003/03/11/marcati
http://www.newton.cam.ac.uk/webseminars/requested/2003/03/12/marcati
http://www.newton.cam.ac.uk/webseminars/requested/2003/03/13/marcati
Recentemente Lattanzio e Tzavaras [LT04] hanno discusso l'approssimazione di rilassamento per le equazioni della elasto-dinamica policonvessa nel caso multidimensionale. I fenomeni di rilassamento per modelli di dinamica dei gas radianti sono stati presi in considerazione in [LM03a], [DFL03].

2. SISTEMI IPERBOLICI DI LEGGI DI CONSERVAZIONE MULTI-DIMENSIONALI E FLUIDI COMPRIMIBILI NON VISCOSI

2.1 DISCONTINUITA' DI CONTATTO ED EQUAZIONI DI EULERO PER FLUIDI COMPRIMIBILI NON VISCOSI
Lo studio dei sistemi iperbolici di leggi di conservazione in più variabili spaziali ha grande interesse applicativo. Ciò nonostante, la teoria matematica è tuttora poco sviluppata e molte questioni fondamentali rimangono aperte. In primo luogo, non è nota l'esistenza di soluzioni deboli entropiche, globali nel tempo.
Una sostanziale parte della letteratura sull'argomento è dedicata allo studio di soluzioni regolari a tratti, con un unico fronte di discontinuità lungo una ipersuperficie. Questo tipo di analisi è iniziato con il lavoro di Majda (Mem. Amer. Math. Soc. 41(275): iv+95, 1983, Mem. Amer. Math. Soc. 43(281): v+93, 1983) sulle onde di shock. Altri importanti contributi sono quelli di Métivier (J. Math. Pures Appl. 70(1991), 197-268) sulle onde soniche, e di Francheteau & Métivier (Astérisque 268 (2000), 1-198) sugli shock deboli.
Un altro caso importante è quello dei fronti di discontinuità di contatto, che si può ridurre ad un problema iperbolico non lineare con frontiera libera caratteristica. L'unità di ricerca di Brescia, con Secchi ed i suoi collaboratori, ha una ormai ampia competenza nello studio dei sistemi simmetrici iperbolici con frontiera caratteristica, vedi gli articoli [S1], [S2], [S4], oltre ad aver dato vari contributi allo studio delle equazioni di Eulero per fluidi comprimibili, vedi gli articoli [S6], [S7], [S8]. Anche relativamente alla teoria delle equazioni della magneto-idrodinamica sono già stati dati vari contributi, vedi gli articoli [CST02], [CST03], [S3], [S5].
Il gruppo di Secchi ha recentemente intrapreso lo studio dei fronti di discontinuità di contatto, ottenendo alcuni primi risultati, vedi gli articoli [CM], [CS04], [CSe04], [CS05].

2.2 DISCONTINUITA' DI CONTATTO ED EQUAZIONI DELLA MAGNETO-IDRODINAMICA IDEALE
Vedi il punto precedente.

2.3 EQUAZIONI DI TRASPORTO A COEFFICIENTI DISCONTINUI ASSOCIATE A SISTEMI IPERBOLICI MULTIDIMENSIONALI
Una sostanziale parte della letteratura sui sistemi iperbolici multi-dimensionali è dedicata allo studio di soluzioni di struttura particolare. Una strategia alternativa consiste nello studio di sistemi di forma particolare, in cui la presenza di simmetrie semplifica notevolmente la costruzione di soluzioni. Un esempio in proposito è il cosiddetto sistema di Keyfiz e Kranzer, in cui il flusso ha simmetria radiale. In tal caso, la costruzione della soluzione di un problema di Cauchy si può effettuare in due passi distinti. Dapprima si ottiene il modulo della soluzione, risolvendo una legge di conservazione scalare. Successivamente si determina la componente angolare della medesima soluzione, risolvendo un problema di trasporto a coefficienti discontinui. Recentemente si è visto che tale problema di trasporto ha un'unica soluzione se il dato iniziale ha variazione limitata [ADL], ed è invece mal posto nello spazio di tutte le funzioni misurabili limitate [Bre03]. L'analisi del problema di trasporto, dovuta ad Ambrosio [Am], estende i risultati di R. DiPerna e P.L. Lions [DPL] al caso di campi a divergenza nulla e variazione totale limitata.

2.4 RILASSAMENTO DI SISTEMI IPERBOLICO-PARABOLICI
Vedi la presentazione generale del punto 1.5.

3. SISTEMI IPERBOLICI DI LEGGI DI CONSERVAZIONE UNI-DIMENSIONALI
La teoria generale dei sistemi 1-D è stata messa a punto quasi interamente con i risultati ottenuti da Bressan e dalla sua scuola, da Tai Ping Liu e dai suoi collaboratori. In particolare, negli anni 1994-1998 il gruppo di ricerca alla SISSA ha sviluppato nuove tecniche ed ottenuto importanti risultati riguardo all'unicità e alla stabilità delle soluzioni deboli entropiche, per sistemi iperbolici di leggi di conservazione in una variabile spaziale. Una pietra miliare nel campo della convergenza per l'approssimazione di "vanishing viscosity" è rappresentata dal lavoro di Bianchini e Bressan [BB03].
Rimandiamo ai libri di Bressan [Bre00], Dafermos [Daf00] e Serre [Ser99], [Ser00] per una visione d'insieme su questi argomenti.

3.1 APPROSSIMAZIONI VISCOSE DI SISTEMI IPERBOLICI
Il lavoro di Bianchini e Bressan [BB03] ha dimostrato la stabilità uniforme e la convergenza delle approssimazioni viscose, allorché il parametro di viscosità tende a zero. In [Bi1] e [Bi2] Bianchini ha dimostrato la stabilità uniforme e la convergenza di approssimazioni semidiscrete e di rilassamento. Inoltre in [ABi] è stato studiato il problema con bordo, dimostrando la convergenza delle soluzioni viscose anche in questo caso.

3.2 PROBLEMI CON DATI AL BORDO
Nel caso di sistemi iperbolici con bordo, non ci sono ancora dei teoremi generali che forniscano la "corretta" formulazione della condizione al bordo soddisfatta dalla traccia della soluzione. Infatti, a seconda dell'approssimazione singolare che viene presa in considerazione, si ottengono corrispondenti soluzioni limite del sistema iperbolico le cui tracce al bordo soddisfano condizioni differenti.
Recentemente l'analisi della stabilità dei profili al bordo [R] ha permesso di costruire in molti casi le famiglie di discontinuità ammissibili, ma non si è ancora dimostrata la convergenza di queste approssimazioni al limite iperbolico.

3.3 PROBLEMI DI CONTROLLO PER SISTEMI IPERBOLICI
Problemi di controllabilità e di controllo ottimale per soluzioni di sistemi iperbolici lineari sono oggetto di una vasta letteratura. Tuttavia, assai poco è noto nel caso di soluzioni deboli di sistemi di leggi di conservazione. Infatti i risultati di unicità e dipendenza continua delle soluzioni in funzione dei dati iniziali e al bordo, essenziali per lo sviluppo di una teoria del controllo, non erano noti fino a pochi anni fa. Una prima analisi degli insiemi raggiungibili e della stabilizzabilità di soluzioni deboli per sistemi iperbolici è stata compiuta da Ancona e Marson in [AMa], Bressan e Coclite in [BCo], Ancona e Coclite in [ACo].

3.4 LEGGI DI BILANCIO, RISONANZA E SORGENTI NON CONSERVATIVE
Il programma di ricerca prevede lo studio di alcuni sistemi iperbolici non lineari di leggi di bilancio, in particolare l'approfondimento dello studio in presenza di risonanza e sorgenti non conservative. La base di partenza è costituita da alcuni risultati ottenuti da Amadori (unità dell'Aquila) e Guerra (unità di Brescia) sia per leggi di bilancio generali, vedi gli articoli [AGG02], [AGG04], sia per leggi di bilancio in presenza di risonanza, vedi [AG], e termine di sorgente singolare, vedi [G].

3.5 RILASSAMENTO E PERTURBAZIONI SINGOLARI
Nel caso di sistemi con rilassamento, le approssimazioni cinetiche sono semplificazioni dell'equazione di Boltzmann, spesso a velocità discrete. Il risultato [Bi2] può infatti essere riscritto come un limite di un'approssimazione cinetica con 2 velocità. L'estenzione a casi con più di due velocità è il passo successivo per avvicinarsi al limite idrodinamico di Boltzmann.

3.6 RILASSAMENTO DI MODELLI DI TRANSIZIONE DI FASE
Un problema di transizione di fase con miscele è stato considerato da Corli (unità di Brescia) e Fan nell'articolo [CF]; esso costituirà il modello che verrà considerato per lo studio del rilassamento ad un modello con fasi pure.

4. MODELLISTICA MATEMATICA E APPLICAZIONI

4.1 MODELLI PER IL TRAFFICO VEICOLARE
Recentemente, R. M. Colombo e A. Corli (unità di Brescia) hanno ottenuto numerosi risultati nell'ambito della teoria matematica del traffico che introducono a nuovi problemi di carattere strettamente analitico (buona posizione), controllistico (gestione ottimale di caselli di entrata) e modellistico (descrizione degli effetti di entrate ed uscite).

4.2 MODELLISTICA MATEMATICA PER DISPOSITIVI SEMICONDUTTORI
La ricerca si è sviluppata principalmente nel campo dei modelli di tipo idrodinamico. Il primo risultato riguarda lo studio del limite di rilassamento rispetto al tempo (dovuto ai termini di collisione di Worderman Baccarani). In particolare, in [MN94] le teorie precedenti sui limiti di rilassamento diffusivo sono stati utilizzate per collegare i modelli idrodinamici ai modelli di "drift diffusion". Ulteriori contributi nei lavori [GM03], [Don03].
I modelli idrodinamici di tipo quantistico sono studiati in [LM03b], dove si introduce un nuovo algoritmo di approssimazione e condizioni di stabilità nonlineari "quantum subsonic" per stati costanti. Si veda [MMN95] per una bibliografia sui lavori di rassegna.

4.3 MODELLI DI FLUIDIZZAZIONE NELL'INGEGNERIA CHIMICA
(in collaborazione con il Dipartimento di Ingegneria Chimica dell'Università dell'Aquila – Proff. Foscolo e Gibilaro [Gib01]).
La maggior parte dei fenomeni modellati da [Gib01] sono processi di rilassamento di tipo iperbolico-iperbolico, in cui l'unità di ricerca dell'Aquila ha sviluppato alcune competenze; in particolare, facciamo riferimento ai risultati di Lattanzio e Marcati riportati nell'articolo di rassegna [Nat99].

4.4 MODELLI FLUIDI IN COMBUSTIONE
Donatelli e Trivisa [DT04] hanno studiato un modello multi-dimensionale per la dynamic combustion di fluidi reagenti comprimibili, formulata dalle equazioni di Navier-Stokes in coordinate di Eulero. Per il modello chimico è stata presa in considerazione una reazione chimica a senso unico irreversibile, governata dalla cinetica di Arrhenius.

4.5 OTTIMIZZAZIONE DI FORMA E TOPOLOGICA IN AERODINAMICA
Un problema interessante sia dal punto di vista applicativo che da quello teorico è quello dell'ottimizzazione di forma in aerodinamica. Beux (unità di Pisa) ed altri ricercatori hanno sviluppato un codice efficiente per l'ottimizzazione di flussi complessi, vedi referenze [BMLD] e [BLM]. Un altro problema interessante è quello dei fenomeni di cavitazione nella modellizzazione del flusso. Uno studio preliminare nel caso 1D è contenuto negli articoli [BSS] e [BSSA]. <<<