RICERCA ITALIANA     

Problemi e Metodi Innovativi nell'Ottimizzazione Nonlineare

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"

Abstract

I metodi di ottimizzazione vengono considerati uno strumento per conseguire competitività tecnica ed economica. Le tecniche dell'ottimizzazione sono largamente impiegate nella progettazione e gestione di sistemi complessi, e per esse sono già disponibili numerose librerie software. Tuttavia il crescente utilizzo delle tecniche di ottimizzazione, favorito dalla disponibilità di potenti strumenti di calcolo, propone continuamente all'attenzione nuovi problemi e stimola continuamente la ricerca di nuovi metodi di soluzione.
Il programma di ricerca vuole contribuire allo sviluppo di metodi innovativi per problemi di Ottimizzazione Nonlineare continua, e considera, in un comune quadro di riferimento, i seguenti punti di attuale interesse. Per alcuni punti, il programma costituisce la continuazione e l'ulteriore sviluppo di ricerche esposte nel Progetto FIRB 2001 "Ottimizzazione Nonlineare a Larga Scala", svolto nel periodo 2002-2005 dalle stesse Unità Operative.

1) Metodi senza derivate.
In molti problemi applicativi, le derivate delle funzioni di interesse non sono disponibili. L'attività di ricerca mira allo sviluppo di metodi per la soluzione di sistemi di equazioni e di problemi di ottimizzazione in cui le derivate prime non possono essere né calcolate né approssimate con differenze finite.
2) Ottimizzazione Globale (GO).
Gli algoritmi di ottimizzazione nonlineare, nel caso non convesso, determinano solo soluzioni locali. In molti problemi applicativi è invece necessario determinare una soluzione globale. Si intende sviluppare metodi di GO basati su una fase di esplorazione deterministica o casuale seguita da una fase di minimizzazione locale, sia per problemi di tipo generale, sia per problemi strutturati, come quello quadratico non convesso.
3) Disequazioni Variazionali e Problemi di Equilibrio.
La soluzione di disequazioni variazionali (DV) può ricondursi, con tecniche di riformulazione, alla soluzione di un problema di Ottimizzazione Nonlineare. Il programma si propone di sviluppare metodi per la soluzione di varie classi di DV, con particolare riferimento a quella definita dai problemi di equilibrio su reti di traffico e a quella definita dal problema dell'equilibrio di Nash generalizzato.
4) Reti neurali e Support Vector Machines (SVM).
Le reti neurali e le SVM sono strumenti efficaci nei problemi di classificazione, e il loro addestramento può essere formulato come un problema di Ottimizzazione Nonlineare a grande dimensione. Il programma mira all'ulteriore sviluppo di algoritmi di addestramento efficienti, basati sia sui metodi studiati nell'ambito del citato Progetto FIRB, sia su nuovi metodi di ottimizzazione nondifferenziabile.
5) Ottimizzazione Nonlineare a grandi dimensioni.
Saranno considerati sia problemi non vincolati che problemi vincolati. Nel primo caso ci si concentrerà su algoritmi di Newton troncati e su metodi di tipo gradiente coniugato planari. Nel secondo caso, una prima attività è quella di definire algoritmi globalmente e superlinearmente convergenti a punti stazionari del second'ordine, e che richiedono solo la soluzione approssimata di sistemi lineari, scopo conseguibile utilizzando una funzione Lagrangiana aumentata esatta; una seconda attività riguarda lo sviluppo di metodi a punti interni, e in particolare dei nuclei di algebra lineare utilizzati in tali metodi; una terza attività riguarda la programmazione quadratica convessa, con riferimento alle SVM.
6) Ambienti computazionali per l'Ottimizzazione Nonlineare.
Al conseguimento degli obiettivi di ricerca concorre in modo determinante l'ulteriore sviluppo di ESOPO (Environment for Solving Optimization Problems On-line), http://www.esopo.unina2.it, un ambiente di calcolo scientifico le cui specifiche sono state definite nell'ambito del citato Progetto FIRB e tuttora in evoluzione, ambiente su cui sperimentare, confrontare e rendere disponibile on-line il software prodotto dalle Unità Operative.
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Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Gianni DI PILLO Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"

Obiettivo del Programma di Ricerca

I metodi di ottimizzazione vengono considerati un valido strumento per conseguire competitività tecnica ed economica. Le tecniche dell'ottimizzazione sono largamente impiegate nella progettazione e gestione di sistemi complessi, e per esse sono già disponibili numerose librerie software. Tuttavia il crescente utilizzo delle tecniche di ottimizzazione, favorito dalla disponibilità di potenti strumenti di calcolo, propone continuamente all'attenzione nuovi problemi e stimola continuamente la ricerca di nuovi metodi di soluzione.
Obiettivo primario di questo programma di ricerca è l'analisi di nuovi problemi, lo sviluppo di nuovi metodi di soluzione, l'implementazione di algoritmi più efficienti, per problemi di Ottimizzazione Nonlineare, in un comune quadro di riferimento. Si fa riferimento al caso continuo, perché è quello che fornisce, a coloro che partecipano al programma, la motivazione di interessanti applicazioni reali.

Più in particolare, gli obiettivi del programma riguardano lo sviluppo dei seguenti punti, di attuale interesse nell'Ottimizzazione Nonlineare. Per alcuni di tali punti, il programma costituisce la continuazione e l'ulteriore sviluppo di ricerche esposte nel Progetto FIRB 2001 "Ottimizzazione Nonlineare a Larga Scala", svolto nel periodo 2002-2005 dalle stesse Unità Operative.

1) Metodi senza derivate.
In molti problemi applicativi, le derivate delle funzioni di interesse non sono disponibili. Obiettivo dell'attività di ricerca sarà lo sviluppo di metodi per la soluzione di sistemi di equazioni nonlineari e di problemi di ottimizzazione nonlineare in cui le derivate prime non possono essere né calcolate né approssimate con differenze finite.
2) Ottimizzazione Globale (GO).
Gli algoritmi di ottimizzazione nonlineare correntemente in uso, nel caso non convesso, determinano solo soluzioni locali. In molti problemi applicativi è invece necessario determinare una soluzione globale. Obiettivo del programma è sviluppare metodi di GO basati su una fase di esplorazione, deterministica o casuale, dello spazio in cui si cerca la soluzione globale, seguita da una fase di minimizzazione locale; ciò sia per problemi di tipo generale, sia per problemi strutturati, come quello quadratico non convesso.
3) Disequazioni Variazionali e Problemi di Equilibrio.
La soluzione di disequazioni variazionali (DV) può ricondursi in pratica, con tecniche di riformulazione, alla soluzione di un problema di Ottimizzazione Nonlineare. Obiettivo del programma è quello di sviluppare metodi per la soluzione di varie classi di DV, con particolare riferimento alla classe definita dai problemi di equilibrio su reti di traffico e a quella definita dal problema dell'equilibrio di Nash generalizzato, utilizzando anche metodi per problemi non differenziabili.
4) Reti neurali e Support Vector Machines (SVM).
Le reti neurali e le SVM sono strumenti riconosciuti molto efficaci nei problemi di classificazione, e il loro addestramento può essere formulato come un problema di Ottimizzazione Nonlineare a grande dimensione. Obiettivo del programma è l'ulteriore sviluppo di algoritmi di addestramento efficienti, basati sia sui metodi studiati nell'ambito del citato Progetto FIRB, sia su nuovi metodi di ottimizzazione nondifferenziabile utilizzati nei problemi di separazione tra insiemi.
5) Ottimizzazione Nonlineare a grandi dimensioni.
In questo contesto, nonostante i progressi conseguiti negli ultimi anni, sono ancora necessari ulteriori sviluppi. Il progetto considera sia problemi non vincolati che problemi vincolati. Nel primo caso, l'obiettivo è quello di implementare algoritmi di Newton troncati e metodi di tipo gradiente coniugato planari. Nel secondo caso, un primo obiettivo è quello di definire algoritmi globalmente e superlinearmente convergenti a punti che soddisfano condizioni di ottimalità anche del secondo ordine, utilizzando solo la soluzione approssimata di sistemi lineari (anziché la soluzione di un problema di programmazione quadratica), scopo conseguibile ricorrendo ad una funzione Lagrangiana aumentata esatta; un secondo obiettivo riguarda lo sviluppo di metodi a punti interni, e in particolare dei nuclei di algebra lineare utilizzati in tali metodi; un terzo obiettivo riguarda la definizione di un nuovo metodo per la programmazione quadratica convessa, particolarmente adatto per l'addestramento di SVM.
6) Ambienti computazionali per l'Ottimizzazione Nonlineare.
Al conseguimento degli obiettivi di ricerca concorre in modo determinante l'ulteriore sviluppo di ESOPO (Environment for Solving Optimization Problems On-line), http://www.esopo.unina2.it, un ambiente di calcolo scientifico le cui specifiche sono state definite nell'ambito del citato Progetto FIRB e tuttora in evoluzione; ambiente su cui sperimentare, confrontare e rendere disponibile on-line il software prodotto dalle Unità Operative, e che possa anche essere utilmente utilizzato da chiunque sia interessato, come utente, alla soluzione di problemi di Ottimizzazione Nonlineare.

Contestualmente allo sviluppo dei punti precedenti, ci si pone anche l'obiettivo di risolvere alcuni problemi applicativi di significativo interesse, quali quelli che originano nella soluzione di problemi reali, che scaturiscono nell'ambito della progettazione di dispositivi elettromagnetici (motori elettrici, apparecchi per la risonanza magnetica), della progettazione della carenatura di natanti, della chimica computazionale, della biologia molecolare, e della diagnostica medica.

Oltre all'obiettivo primario del programma descritto finora, ne esiste uno secondario che consiste nel favorire un interscambio di conoscenze e di esperienze tra i gruppi che nelle Università Italiane svolgono attivamente ricerche sui metodi di Ottimizzazione Nonlineare. In particolare, un ambito comune di esperienza e confronto su tematiche avanzate, quale può risultare da un programma di ricerche interuniversitario, risulta di grande utilità al fine della formazione di giovani ricercatori. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La base di partenza scientifica internazionale nell'Ottimizzazione Nonlineare è molto ampia. Negli ultimi anni la comunità scientifica internazionale ha mostrato un crescente interesse verso l'analisi teorica e lo sviluppo di metodi per la soluzione di problemi di Ottimizzazione Nonlineare, ovvero problemi in cui si vuole minimizzare (o massimizzare) una funzione obiettivo in presenza di vincoli e dove la funzione obiettivo oppure almeno una delle funzioni che descrivono i vincoli sono non lineari. Problemi di questo tipo sorgono molto frequentemente in diversi ambiti delle scienze applicate, dell'ingegneria, dell'economia. Il grande interesse della comunità scientifica internazionale verso l'Ottimizzazione Nonlineare è evidenziato da numerosi elementi:

- il numero delle riviste scientifiche dedicate all'Ottimizzazione Nonlineare e il crescente spazio riservato all'Ottimizzazione Nonlineare all'interno delle più importanti riviste di matematica applicata ed industriale come, ad esempio, le classiche riviste SIAM Journal on Optimization, Mathematical Programming, Computational Optimization and Applications, Journal of Optimization Theory and Applications, Optimization Methods and Software, Optimization, Mathematics of Operations Research, Journal of Global Optimization; ed anche alcune nuove riviste nate negli ultimi anni come Engineering Optimization, Journal of Industrial and Management Optimization, dedicate principalmente all'Ottimizzazione Nonlineare;

- il rilievo dato all'Ottimizzazione Nonlineare all'interno di numerose conferenze internazionali che si tengono periodicamente come, ad esempio, la SIAM Conference on Optimization, l'International Symposium on Mathematical Programming, l'IFIP Conferences on System Modeling and Optimization;

- il numero di meeting internazionali dedicati all'Ottimizzazione Nonlineare od anche a tematiche più specifiche dell'Ottimizzazione Nonlineare come, ad esempio, i workshops che vengono organizzati da ricercatori facenti parte di questo programma nell'ambito della International School of Mathematics "G. Stampacchia" presso il Centro e Fondazione per la Cultura Scientifica "E. Majorana" ad Erice;

- i numerosi testi e monografie pubblicati di recente e dedicati a rassegne sullo "stato dell'arte" dell'Ottimizzazione Nonlineare
[DeLeone et al. 1998], [DiPillo, Giannessi 2000], [Grippo 2001], [Palagi 2001], [Roma 2001], [DiPillo, Palagi 2002], [DiPillo, Murli 2003], [Gould, Leyffer 2003], [Gould, Toint 2004]); alcuni recenti numeri speciali di riviste internazionali (come, ad esempio, [Mathematical Programming, vol.100 n.1, 2004], [Optimization Methods and Software, vol.18 n.6, 2003 e vol.19 n.3-4-5, 2004], Journal of Computational and Applied Mathematics: Optimization and Nonlinear Equations, vol. 124, 2000]); alcune collane di testi come "Applied Optimization" o "Nonconvex Optimization and its Applications" della Kluwer Academic Publishers;

- i numerosi "activity group" (come il SIAM Activity group on Optimization con il suo Forum "SIAG/OPT Views-and-News") e i numerosi centri di ricerca (come, ad esempio, l'OTC-Optimization Technology Center presso la Northwestern University, Evaston, IL (USA); il SOL-System Optimization Laboratory presso la Stanford University, CA (USA) ) che sono dedicati in gran parte all'Ottimizzazione Nonlineare. Inoltre, la rete Internet ha permesso lo sviluppo di strumenti basati sull'uso della rete stessa come, ad esempio, il NEOS Server realizzato da E.D. Dolan, R. Fourer, J.J. Morè, T.S. Munson disponibile all'indirizzo http://www-neos.mcs.anl.gov/neos (si veda anche SIAM News 35, 2002), che mette a disposizione numerosi programmi raccolti nell'ambito della comunità scientifica del settore e dedicati alla soluzione di problemi di Ottimizzazione Nonlineare, e iNEOS [Good, Goux, Nocedal 2002], uno strumento interattivo basato sempre sulla rete Internet, in fase di realizzazione, che ha lo scopo di agevolare gli utenti nella soluzione di complessi problemi di Ottimizzazione Nonlineare.

Allo stato attuale, molti sono gli approcci proposti per la soluzione di problemi di Ottimizzazione Nonlineare. A testimonianza di ciò esiste una vasta letteratura specifica e numerosi libri pubblicati negli ultimi dieci anni (come, ad esempio, [Bertsekas 1999], [Nocedal, Wright 1999], [Conn, Gould, Toint 2000], [Bertsekas 2003], [Boyd, Vandenberghe 2004]). Inoltre nell'ultimo decennio molti aspetti dell'Ottimizzazione Nonlineare sono stati studiati ed analizzati in profondità e questo ha portato al raggiungimento di un buon livello di conoscenza delle loro proprietà teoriche e, parimenti, allo sviluppo di tecniche robuste ed efficienti per la soluzione di problemi di ottimizzazione vincolata e non vincolata. La maturità del settore è confermata anche dalla disponibilità di molti pacchetti software, anche non necessariamente destinati esclusivamente a specialisti del settore. Ciò nonostante, ci sono numerosi argomenti che necessitano di essere approfonditi, molti nuovi problemi che nascono da aree specifiche e molti nuovi temi di ricerca che hanno assunto un importante rilievo. In questo contesto si inserisce la evidente esigenza di studiare classi particolari di difficili problemi non lineari che nascono da particolari applicazioni (si veda, ad esempio, la collezione COPS realizzata da E.D. Dolan, J.J. Moré, T.S. Munson (http://www.mcs.anl.gov/~more/cops) che raccoglie molti problemi di questo tipo che sono diventati un riferimento nella sperimentazione del software di ottimizazione).

Un argomento che è attualmente considerato di interesse è costituito dalla soluzione di problemi di ottimizzazione a grande dimensione. Tale interesse è principalmente dovuto al fatto che dal mondo reale, sempre più di frequente, occorre affrontare problemi con un sempre crescente numero di variabili e/o vincoli, in virtù del fatto che i sistemi dal modellare hanno strutture sempre più complesse [Biegler et al. 1997]. La difficoltà maggiore deriva dalla necessità di definire nuove strategie e di sviluppare nuovi metodi per trattare problemi a grande dimensione sia non vincolati, sia vincolati con vincoli generali o strutturati. Inoltre, per quanto riguarda gli aspetti computazionali, un elemento essenziale per lo sviluppo di codici efficienti per la soluzione di problemi a grande dimensione è costituito dalla disponibilità di nuclei di algebra lineare robusti ed efficienti (si veda, ad esempio, [O'Leary 2000]). Un esempio di ciò è costituito dalla classe dei metodi a punto interno per l'ottimizzazione vincolata che negli ultimi anni hanno riscosso un notevole apprezzamento e che richiedono ulteriori studi e sperimentazioni riguardanti gli aspetti numerici e computazionali (mal condizionamento, accuratezza, precondizionamento etc.)

Un altro argomento di ricerca di crescente importanza è rappresentato dall'ottimizzazione senza derivate, ovvero da quella parte della programmazione non lineare che considera problemi definiti da funzioni delle quali non sono disponibili le derivate
[Conn, Scheinberg, Toint 1997], [Lucidi, Sciandrone 2002], [Lucidi, Sciandrone Tseng 2002], [Audet, Dennis 2004], [Powell 2004]. L'interesse per questi problemi nasce dal grande numero di problemi reali per i quali non sono a disposizione le informazioni sulle derivate delle funzioni (si veda, ad esempio, [Kolda, Lewis, Torczon 2003]) ed è stato di recente riacceso dallo sviluppo di nuovi risultati teorici di convergenza (si veda, ad esempio, [Lewis, Torczon 2002], [Audet 2004]).

Negli ultimi anni molte attività di ricerca sono anche state dedicate all'ottimizzazione globale ed in particolare allo studio di problemi di grande dimensione caratterizzati da un elevato numero di ottimi locali. È stato infatti osservato che molti importanti problemi applicativi presentano perfino un numero esponenziale di ottimi locali; ad esempio il problema di determinare la configurazione tridimensionale a minima energia di una molecola complessa, che è un problema estremamente difficile e tuttora molto importante in chimica [Locatelli, Schoen 2003], [Doye et al. 2004], oppure il problema molto complesso del ripiegamento corretto delle proteine [Addis, Schoen 2004]; si veda [Biegler et al. 1997, vol.III] e [Floudas, Pardalos 2000] per una rassegna sull'uso dell'ottimizzazione nella chimica computazionale e nella biologia molecolare. Inoltre, molti altri difficili problemi reali possono essere formulati come problemi di ottimizzazione globale che richiedono un metodo senza derivate per la loro soluzione; alcuni esempi sono la progettazione ottima di magneti per apparecchi per la risonanza magnetica [Liuzzi et al. 2004] e problemi relativi alla progettazione di navi [Campana et al. 2005].

Inoltre, molte attività di ricerca hanno riguardato importanti classi di problemi come, ad esempio, i problemi di ottimizzazione non differenziabile [Gaudioso 2002], [Fuduli, Gaudioso, Giallombardo 2004], i problemi di ottimizzazione con vincoli con struttura particolare (come vincoli di equilibrio), problemi di decisione multi-livello, disequazioni variazionali e problemi di complementarità (si veda, ad esempio, [Giannessi, Maugeri, Pardalos 2001], [Facchinei, Pang vol.I-II 2003]. Inoltre esistono numerose classi di problemi, come la programmazione quadratica che, oltre al loro proprio interesse, giocano un ruolo importante poiché nascono come sottoproblemi all'interno di altri metodi (ad esempio i metodi SQP) oppure rappresentano uno strumento essenziale nel trattare alcune applicazioni come, ad esempio, nell'addestramento di un particolare classificatore binario noto come Support Vector Machine (SVM) (si veda, ad esempio, [Palagi, Sciandrone 2005]). Inoltre, meritano una particolare attenzione i modelli matematici variazionali di dimensione finita: infatti, le disequazioni variazionali, negli ultimi anni sono state ampiamente utilizzate sia per modellare problemi di equilibrio di traffico su reti, sia negli equilibri di Nash per i giochi non cooperativi (si veda, ad esempio, [Cavazzuti, Pappalardo, Passacantando 2002]). In particolare, la comunità scientifica ha mostrato un rinnovato interesse verso il problema di Nash generalizzato, che è un gioco di Nash in cui l'insieme delle strategie di ciascun giocatore dipende dalle strategie dell'altro giocatore (si veda [Basar, Olsder 1999], [Pang, Fukushima 2005]). Questo interesse è principalmente dovuto ad importanti applicazioni che sono sorte in molti settori, come, ad esempio, nei mercati dell'energia elettrica e nell'analisi del comportamento di utenti in una rete di comunicazione come il Web.

Un altro argomento di ricerca che sta occupando una posizione di rilievo è il problema dell'addestramento di reti neurali e Support Vector Machines che, come è noto, può essere formulato come un problema di ottimizzazione non lineare che, di solito, è anche di grande dimensione (si veda, ad esempio, [Grippo 2000], [Palagi, Sciandrone 2005]). In questo contesto, lo scopo è quello di assegnare ogni elemento di un dato insieme ad uno specifico sottoinsieme e questo ha molte applicazioni in medicina, economia, bioinformatica, ricostruzione di immagini, etc.

La comunità scientifica nazionale è ben rappresentata nel contesto internazionale e questo è testimoniato dalle numerose pubblicazioni su riviste internazionali. La base scientifica di partenza dei membri di questo programma di ricerca è molto solida; la maggior parte di loro ha partecipato ad un precedente progetto FIRB "Large Scale Nonlinear Optimization" del quale questo programma PRIN rappresenta una continuazione ed un' espansione. Il contributo dei ricercatori facenti parte di questo programma ha riguardato molti aspetti della teoria e dei metodi per l'ottimizzazione non lineare e una vasta gamma di problemi applicativi come si può evincere dai numerosi articoli pubblicati su riviste internazionali, da alcuni libri, rassegne e atti di conferenze i cui autori sono membri di questo programma di ricerca.

Alcuni esempi sono: gli articoli [Lucidi, Sciandrone 2002], [Lucidi, Sciandrone, Tseng 2002] dove è stato introdotto un nuovo approccio nell'ottimizzazione senza derivate; i lavori [Grippo 2000], [Grippo 2001], [Palagi, Sciandrone 2005] riguardanti l'addestramento di reti neurali e le Support Vector Machines; i riferimenti [DiPillo, Lucidi, Palagi 1998], [Lucidi, Palagi, Roma 1998], [Gould et al. 1999], [DiPillo, Lucidi, Palagi 2000], [D'Apuzzo, Marino 2003], [Cafieri et al. 2005] nei quali sono stati considerati problemi vincolati con vincoli generali o strutturati; gli articoli [Lucidi, Rochetich, Roma 1998], [Grippo, Sciandrone 1999], [Gould et al. 2000] che prendono in considerazione problemi non vincolati a grandi dimensioni; i lavori [Gaudioso 2002], [Fuduli, Gaudioso, Giallombardo 2004], sull'ottimizzazione non differenziabile; i riferimenti [Addis, Schoen 2004], [D'Apuzzo et al. 2004], sull'ottimizzazione globale e i numerosi articoli su problemi applicativi di ottimizazione globale [Locatelli, Schoen 2003], [Doye et al. 2004], [Liuzzi et al. 2004], [Campana et al. 2005]; i lavori [Facchinei, Jiang, Qi 1999], [DeLuca, Facchinei, Kanzow 2000], [Munson et al. 2001], [Pappalardo, Passacantando 2002], [Cavazzuti, Pappalardo, Passacantando 2002], che trattano disequazioni variazionali, problemi di equilibrio e di complementarità non lineare; a questo riguardo meritano una particolare attenzione i due volumi [Facchinei, Pang vol.I-II 2003] che la comunità scientifica internazionale considera una pietra miliare nella trattazione delle disequazioni variazionali a dimensione finita e dei problemi di complementarità.

Questa selezione di lavori evidenzia i numerosi ed importanti contributi forniti dai membri di questo programma e come essi riguardino molteplici aspetti dell'ottimizzazione non lineare. Il contributo scientifico è mostrato anche da alcuni volumi editi da membri di questo programma (ad esempio, [DeLeone et al. 1998], [DiPillo, Giannessi 2000], [DiPillo, Murli 2003]), da lavori di rassegna (come, ad esempio, [DiPillo 1994], [Palagi 2001], [Roma 2001], [DiPillo, Palagi 2002], [Gaudioso 2002], [Grippo, Sciandrone 2002]) pubblicati da ricercatori facenti parte del programma. Infine, è molto importante sottolineare come tecniche di ottimizzazione non lineare sono state applicate con successo da alcuni membri del programma nella soluzione di difficili problemi reali che si sono presentati negli ultimi anni (si veda, ad esempio, [Chiricozzi et al. 01], [Cirio et al. 01], [Addis, Schoen 2004]). <<<