RICERCA ITALIANA     

MECCANICA STATISTICA, TEORIA DEI CAMPI, E TRANSIZIONI DI FASE QUANTISTICHE IN BASSA DIMENSIONALITA'

Politecnico di Torino

Abstract

Lo studio di sistemi (elettronici e di spin) fortemente correlati in bassa dimensionalita' e' divenuto, in anni recenti, uno dei settori di punta della ricerca, teorica e sperimentale, in Fisica della Materia Condensata. Da un lato --accanto al gas bidimensionale di eletroni in MOSFET (che mostra l'effetto Hall quantistico), e ai piani Cu-O2 dei cuprati superconduttori-- i grandi sviluppi nelle nanotecnologie hanno permesso la realizzazione di sistemi unidimensionali quali i nanotubi di carbonio, gli ossidi di transizione unidimensionali, ed una varieta' di materiali magnetici unidimensionali, con il conseguente accumulo di dati sperimentali. D'altro canto, gli studi teorici mostrano come gli usuali approcci a molti corpi validi in dimensioni superiori sono inapplicabili o poco affidabili in dimensioni minori o uguali a due, per via dell'effetto dominante delle correlazioni (elettroniche e di spin). Per questo motivo la descrizione delle proprieta' elettroniche e magnetiche di tali materiali e' un problema di grande interesse dal punto di vista teorico e richiede l'utilizzo di approcci alternativi a quelli usuali.

Ai fini della comprensione della fenomenologia di questi sistemi, l'interesse e' tipicamente focalizzato sulle seguenti informazioni:
(a) struttura dello stato fondamentale e presenza di transizioni di fase quantistiche (QPTs, ovvero transizioni a T=0, guidate dall'interazione);
(b) funzioni di correlazione;
(c) stati eccitati e proprieta' a temperatura finita.
Negli ultimi anni e' divenuto sempre piu' evidente come sia di fondamentale importanze integrare le competenze e le informazioni provenienti da diverse aree di ricerca per poter arrivare a comprendere a pieno la fenomenologia di comportamenti cooperativi cosi
complessi come quelli elencati.

Le Unita' di Ricerca che partecipano al progetto hanno notevoli competenze diversificate, che includono l'applicazione a sistemi quantistici fortemente correlati in bassa dimensionalita' delle seguenti tecniche:
1. tecniche di risoluzione esatta (Torino, Trieste, Bologna)
2. metodi numerici, ed in particolare il DMRG (Density Matrix Renormalization Group) (Bologna, Torino)
3. tecniche di teoria dei campi, con particolare riferimento a teorie di campo conformi e all'uso della "Form Factor Perturbation Theory" (Trieste, Bologna).
Tali competenze sono state messe in opera e tra loro integrate nel corso della precedente collaborazione biennale all'interno di un Programma di Ricerca (PRIN 2002 Prot. 2002024522), dando luogo a diverse pubblicazioni congiunte. Accanto a queste competenze, si e' sviluppata nell'ultimo anno, in maniera sinergica fra le sedi di Torino e di Bologna, una ulteriore linea di ricerca che riguarda:
4. utilizzo di tecniche della teoria dell'informazione quantistica nello studio di proprieta' della materia condensta, con particolare riferimento all'entanglement nelle QPTs.

Scopo principale del presente progetto e' l'utilizzo delle precedenti competenze distribuite, e della attiva cooperazione esistente fra le Unita', per lo studio delle proprieta' fisiche summenzionate, ed in particolare delle QPTs, in diversi sistemi fisici prevalentemente uni-dimensionali o quasi unidimensionali, quali:
i) sistemi elettronici (modello di Hubbard e modelli di Hubbard estesi);
ii) modelli di spin (modello di Heisenberg isotropo e non, frustrato e non);
iii) modelli continui (non linear sigma models). <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Arianna MONTORSI Politecnico di TORINO

Obiettivo del Programma di Ricerca

Negli anni recenti e' diventato sempre piu' evidente come e' solo attraverso l'uso simultaneo di competenze diverse che fenomeni cooperativi complessi (quali le transizioni di fase quantistiche) possono essere completamente compresi . A ulteriore dimostrazione di cio', nell'ultimo anno alcuni partecipanti al presente progetto hanno raggiunto risultati notevoli ([20], [21]) attraverso l'uso combinato di metodologie provenienti da diverse aree di ricerca (DMRG, teoria dell'informazione quantistica, e teorie conformi) per due importanti modelli: il modello di Hirsch, e il NLSM con termine topologico.

L'obiettivo principale del programma e' perseguire la sinergia delle diverse competenze delle Unita' per indagare alcune proprieta' fisiche rilevanti di sistemi (quasi)unidimensionali, in particolare modo in prossimita' di transizioni di fase quantistiche. Fra gli obiettivi specifici del programma di ricerca, quelli segnalati nel seguito con (OC) sono comuni, vale a dire perseguibili solo attraverso una collaborazione fra le varie sedi. Accanto a questi, segnaliamo poi quelli relativi al proseguimento delle attivita' di ricerca inerenti il programma e caratteristiche delle singole sedi (OTO, OBO, OTS).

Gli obiettivi comuni (OC) si possono cosi' riassumere:
OCI) QPTs nel modello di Hirsch al di fuori del regime integrabile;
Sono previste transizioni metallo-isolante-superconduttore al variare del filling, della repulsione coulombiana, e dell'interazione di bond-charge. In particolare vogliamo approfondire:
OCI-i) studio con DMRG del caso unidimensionale al di fuori dell'half-filling (TO-BO);
OCI-ii) studio con entanglement entropy del caso bidimensionale (TO-BO);
OCI-iii) studio del modello dal punto di vista della teoria conforme: in particolare, ottenere gli esponenti critici e le dimensioni di scala degli operatori che governano la transizione superconduttore-isolante (TO-BO-TS).
OCII) Effetti di size finito. Questo effetto e' stato indagato con metodi diversi dalle sedi di Bologna (Equazioni Integrali Non Lineari, NLIE) e Trieste (metodo semiclassico). Ci proponiamo di confrontare fra loro e integrare le metodologie. (BO-TS)
OCIII) Misure di entanglement e QPTs: analisi comparativa dell'uso di diverse misure di entanglement alle transizioni, e loro scaling, per modelli di spin 1 e tipo Hubbard. (TO-BO)
OCIV) Teorie di campo non integrabili; ruolo dei termini che rompono l'integrabilita'; in particolare, ci proponiamo di investigare ulteriormente la dinamica non integrabile in catene di spin e modelli sigma non-lineari con termine topologico; (BO-TS)
OCV) Sistemi random e teorie conformi logaritmiche;
da un lato, e' previsto lo studio, con un adattamento del metodo delle repliche al caso quantistico, di modelli tipo Hubbard con disordine; dall'altro, si vogliono analizzare questi termini nell'ambito delle teorie conformi con carica centrale nulla; (TO-TS)
OCVI) Isolanti di Mott 1D e limite continuo. Utilizzo dell'approccio dei fattori di forma per descrivere le proprieta' dinamiche di bassa energia degli isolanti di Mott unidimensionali nel regime in cui la teoria di risposta lineare e' valida (suscettivita' ottica). (TO-TS)
OCVII) Sistemi "ladder: permettono di studiare, non solo magnetismo in sistemi quasi-unidimensionali ma anche trasporto in un ambiente antiferromagnetico; in particolare
OCVII-i) proprieta' di trasporto di spin e di carica ai punti integrabili;
OCVII-ii) teoria delle perturbazioni attorno ai punti integrabili e metodi semiclassici saranno usati per studiare tutto il diagramma di fase, ed integrati con analisi numerica (BO-TS)

Per quanto riguarda l'Unita' di Torino (TO), sono inoltre previsti i seguenti obiettivi specifici:
TOI) Trasizioni di fase quantistiche per Hamiltoniane di Hubbard Estese.
TOI-i) Integrabilita' in presenza di ulteriore interazione bond-bond (x tilde); ci si aspetta di ottenere lo spettro completo del modello nel caso x=1, con transizione di fase guidata da x tilde.
TOI-ii) Scaling delle misure di entanglement e esponenti critici alla transizione in casi integrabili;
TOI-iii) Introduzione del termine di disordine nel caso integrabile.
TOII) Utilizzo del mapping spin-fermion per d>1.

Per quanto riguarda l'Unita' di Bologna (BO), sono previsti inoltre i seguenti obiettivi specifici:
BOI) Effetti di size finito.
BOI-i) ottenere le NLIE per il modello di super sine-Gordon, che corrisponde ad una generalizzazione integrabile della catena XXZ di spin uno;
BOI-ii) generalizzare l'approccio a catene di spin piu' alto, ovvero ai cosiddetti modelli di super sine-Gordon frazionali, che giocano un ruolo centrale in recenti sviluppi della teoria delle stringhe;
BOI-iii) ottenere una descrizione chiara degli stati di modelli con condizioni al contorno generiche, partendo dal caso delle condizioni di Dirichlet;
BOI-iv) generalizzare l'approccio delle NLIE ad altre teorie di Toda affini: un modo per superare questo problema e' partire da hamiltoniane hermitiane di spin su reticolo, come per esempio il modello di Bullogh-Dodd;
BOI-v) comparare i risultati analitici ottenuto con NLIE, per esempio nel modello di sine-Gordon, con i risultati ottenuti con il DMRG per catene di spin.
BOII) Modelli di spin ed elettronici.
BOII-i) limite continuo del modello di spin lambda-D.
BOII-ii) estensioni del DMRG, attraverso la nozione di "matrix/tensor product states" e il suo uso nella teoria dell'informazione quantistica in dimensione maggiore di 1.

Per quanto riguarda l'Unita' di Trieste (TS) sono previsti inoltre i seguenti obiettvi specifici:
TSI) Studio di funzioni di correlazione esatte in teorie di campo integrabili massive e massless; con particolare riferimento a
TSI-i) loro espressione in forma chiusa, e alla loro relazione con l'equazione di Painleve'.
TSI-ii) loro valutazione per Modello Principale Chirale SU(2) x SU(2) con termine topologico o il modello sigma non lineare O(3) con theta=pi.
TSII) Teorie di campo a temperatura finita e in volume finito; in particolare:
TSII-i) investigare le correzioni di ordine piu' elevato e la doppia espansione (nella distanza e nella temperatura) per le funzioni di correlazione a due punti;
TSII-ii) applicabilita' per la predizione di proprieta' di trasporto in liquidi di Luttinger in varie condizioni fisiche.
TSIII) Proprieta' analitiche dell'energia libera per modelli di reticolo nel limite di scaling; in particolare, analizzeremo ulteriormente modello di Ising tricritico nel limite di scaling.
TSIV) Equazione stocastiche di tipo SLE;
TSIV-i) caratterizzazione delle interfacce dei fenomeni critici per mezzo di equazioni stocastiche, in particolare nel caso di sistema fuori dal punto critico
TSIV-ii) generalizzare i risultati ottenuti finora anche al caso di curve con molte componenti, rilevanti per esempio, per sistemi che hanno piu' stati fondamentali di equilibrio. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Negli ultimi quindici anni, lo studio dei sistemi statistici e quantistici in bassa dimensionalita' si e' dimostrato tra i piu' fruttuosi della fisica teorica e sperimentale. Una parte importante della ricerca riguarda applicazioni pratiche, rese possibili in particolare dai progressi nelle nanotecnologie, che hanno condotto alla sintetizzazione in laboratorio di sistemi uni- e bi-dimensionali [1-5]. E' importante sottolineare, tuttavia, che la comprensione delle proprieta' fisiche di tali sistemi e' legata a una serie di fondamentali questioni teoriche.

Le correlazioni forti sono un ingrediente centrale delle proprieta' fisiche dei sistemi in bassa dimensionalita'. Infatti, nei sistemi statistici in 2D o nei loro corrispondenti quantistici in 1D, la presenza simultanea di correlazioni forti e grandi fluttuazioni vanifica molti dei tradizionali approcci teorici, quali il paradigma di liquido di Fermi in fisica dello stato solido o altri metodi perturbativi o di campo medio. Allo stesso tempo, tuttavia, la bassa dimensionalita' apre la strada all'uso di altre tecniche non-perturbative o esatte, tanto che lo studio di sistemi quantistici fortemente correlati in tal caso e' diventato un settore autonomo della ricerca teorica.

A titolo di esempio citiamo in particolare lo studio dei sistemi integrabili classici in D=2 [6] e quantistici in D=1 [7] o l'utilizzo delle teorie conformi (CFT) e della teoria di campo quantistica [8,9]; e, a livello numerico, il density matrix renormalization group (DMRG, [11]). Tali metodi hanno permesso in vari casi di arrivare ad una descrizione soddisfacente delle caratteristiche fisiche dei sistemi in esame, e in particolar modo della struttura dello stato fondamentale, spesso caratterizzato dalla presenza di transizioni di fase quantistiche [12] (QPTs, transizioni a T=0 guidate dai parametri di interazione). In generale dobbiamo alla applicazione delle tecniche menzionate la soluzione esatta di problemi quali il modello di Ising in campo magnetico, il modello di Hubbard [13], la comprensione delle proprieta' fisiche di liquido di Luttinger dei sistemi unidimensionali [14,15], dei nanotubi di carbonio e degli stati di bordo dell'effetto Hall quantistico, ecc...
Entrando nel merito dei metodi citati, emerge chiaramente la loro natura complementare ai fini della descrizione dei fenomeni fisici indagati. Piu' precisamente:
-- sistemi integrabili; sono identificati dalla presenza di infinite costanti del moto, le quali si possono ricostruire a partire dalla conoscenza della matrice R associata al modello su reticolo, che soddisfa le equazioni di Yang e Baxter; in pratica, quest'ultima richiesta implica che tali sistemi, e le corrispondenti soluzioni esatte, siano ottenibili solo per valori particolari dei parametri di interazione. In quest'ambito si possono inquadrare anche le tecniche tipo Bethe Ansatz.
-- teorie conformi e teorie di campo quantistiche; sono approcci nel limite continuo, e, a partire dai modelli su reticolo, implicano
una procedura per derivare una azione efficace che descrive, nel limite del continuo, l'azione (elettronica o di spin) definita originariamente su reticolo. Tipicamente si ottengono per questa via modelli "sigma non lineari" (NLSM) [16] che vengono studiati con le tecniche proprie della Teoria dei Campi. La conoscenza di una azione efficace che descrive il settore a bassa energia del modello discreto permette poi un'analisi delle proprieta' critiche e off-critiche del sistema fisico in questione utilizzando tecniche proprie delle CFT e della teoria di campo quantistica. In presenza di fenomeni critici l'applicazione di queste ultime ha permesso di ottenere un numero notevole di risultati; tra i piu' importanti, la classificazione delle classi di universalita', con i valori esatti di tutti gli esponenti critici e di molti rapporti universali.
-- DMRG; e' una tecnica numerica specifica ad alta precisione per determinare stato fondamentale e primi stati eccitati nel caso di modelli discreti unidimensionali, adatta a descrivere reticoli anche con un elevato numero di siti: negli ultimi dieci anni e' stata applicata con successo a modelli di elettroni e di spin.

Per esemplificare la complementarita' dei metodi, possiamo fare riferimento alle QPTs in 1D: dal punto di vista dei sistemi integrabili quantistici si e' in grado di riprodurre con esattezza il diagramma delle fasi dello stato fondamentale solo per particolari valori dei parametri di interazione (punti integrabili); la bosonizzazione permette di ottenere risultati analitici accurati al di fuori dei punti integrabili per piccoli valori delle costanti di accoppiamento; il DMRG permette di ottenere risultati numerici accurati per valori arbitrari dei parametri di accoppiamento, ma per un numero limitato di siti; le teorie conformi permettono di inquadrare le singole transizioni di specifici modelli su reticolo nell'ambito di una classificazione generale nel limite continuo degli esponenti critici. Nel caso delle QPTs, il fenomeno unificante, che puo' poi essere studiato dai vari punti di vista sopra accennati, e' il comportamento delle correlazioni ai punti critici. In tal senso, uno strumento assai significativo introdotto di recente e'
-- l'utilizzo di misure di correlazione quantistica tipiche della teoria dell'informazione quantistica [17-18]; per sistemi di spin 1/2 e' stato notato [17] come la concurrence possa persino riprodurre il corretto esponente critico della transizione nel modello XY anisotropo; mentre per sistemi fermionici in [18] si e' notato che la Von Neumann entropy, da' attraverso il contour plot, una riproduzione qualitativa soddisfacente del diagramma delle fasi dello stato fondamentale. Per catene di spin arbitrario, il concetto di "localizable entanglement" [19] sembra essere quello piu' adatto.

L'introduzione di strumenti tipici della teoria dell'informazione quantistica, quali l'entanglement, nello studio delle proprieta' fisiche di sistemi della materia condensata e' un ulteriore evidenza di quanto emerge sempre piu' chiaramente negli ultimi anni: ai fini della piena comprensione della fenomenologia di comportamenti collettivi complessi quali quelli che caratterizzano questi sistemi, e' di fondamentale importanze integrare le competenze e i metodi provenienti da diverse aree di ricerca.

Di seguito, riassumiamo i risultati ottenuti in passato sui temi precedenti dalle diverse Unita', evidenziandone le competenze. In particolare, e' utile fin d'ora sottolineare come nell'ultimo anno, e grazie alla collaborazione fra le sedi sviluppata nel corso del precedente cofinanziamento, si sia arrivati ad alcune pubblicazioni congiunte ([20],[21]). In esse, proprio grazie all'applicazione simultanea di competenze differenti si sono ottenuti risultati di rilievo relativamente ad alcune QPTs: quella indotta dal termine topologico nel NLSM [20] (studiata attraverso l'uso del DMRG e delle teorie conformi), e quella superconduttore-isolante indotta dal termine di bond charge nel modello di Hubbard [21] (studiata attraverso l'entropia di entanglement e il DMRG).

Il gruppo di fisica teorica del Politecnico di Torino ha una lunga esperienza nell'ambito dei sistemi di elettroni correlati. In particolare, negli ultimi anni ha ottenuto risultati di rilievo nei seguenti ambiti:
-- integrabilita': si e' individuata una sottoclasse di Hamiltoniane di Hubbard Estese integrabili[22], attraverso l'approccio della matrice R polinomiale[23]; successivamente si e' sviluppato un metodo di soluzione di questi modelli integrabili indipendente dal Bethe Ansatz (detta tecnica delle specie di Sutherland, SST[24]), che per alcuni di essi (casi a due specie di Sutherland) ha permesso di derivare esplicitamente sia le proprietà di stato fondamentale che di temperatura finita[25].
-- Mapping locale fra sistemi di fermioni e di spin: e' stato sviluppato un approccio di tipo locale al mapping fra sistemi di fermioni e di elettroni che vale anche in D>1, e permette di riformulare in maniera utile il problema del segno per i fermioni [26]. In particolare tale mapping ha permesso di riconoscere anche fra i modelli di spin 1 quelli integrabili per via della loro struttura di permutatore generalizzato.
-- entanglement e transizioni di fase quantistiche: da un lato per i sistemi di fermioni in [27] e' stato osservato come l'utilizzo di particolari misure di entanglement permetta di distinguere il contributo delle correlazioni quantistiche a due punti da quello dell'entanglement multipartito alle varie transizioni; e, in [21], come in particolare le singolarita' dell'entanglement di singolo sito riproducano perfefettamente la transizione superconduttore isolante in un particolare modello (vedi sotto). Dall'altro [79] si e' visto come, per sistemi di spin, lo studio di misure di entanglement su sottosistemi appropriati di dimensioni comparabili con il sistema medesimo sia in grado di individuare la transizione anche in quei casi in cui misure di entanglement locale non sono sensibili. (in collaborazione con ISI, Torino)
-- Transizione "superconduttore"-isolante e termine di bond-charge: il modello di Hubbard con l'interazione di bond-charge (x) e' stato introdotto da Hirsch [20] per spiegare la fenomenologia dei superconduttori ad alta Tc, ed e' di particolare interesse in quanto rompe la simmetria particella-buca, in analogia con quanto succede in tali superconduttori. Una analisi numerica accurata con il DMRG del caso half-filled con U>0 ha permesso di evidenziare come la transizione allo stato isolante avvenga, a differenza da quanto previsto dalla bosonizzazione, a valori di U finiti e positivi, quando x>0.5; il confronto con le singolarita' nelle derivate dell'entanglement ha inoltre confermato che questa grandezza e' in grado di evidenzare la transizione "superconduttore"-isolante, mentre non e' un buon parametro per la transizione metallo-isolante [21] (in collaborazione con Bologna)

Il personale dell'unita' di Ricerca di Bologna possiede una lunga esperienza e specifiche competenze in materia di sistemi di elettroni e di spin correlati, in relazione a
--applicazione di teorie di campo ai modelli su reticolo: nel passato queste tecniche sono state utilizzate per lo studio del modello di Hubbard in una e due dimensioni [28], di spin ladders [29], di catene di spin intero in campo magnetico sia uniforme [30] che alternato [31].
-- uso di tecniche numeriche: in parallelo si e' utilizzato la tecnica del DMRG. Tale tecnica e' stata estesa allo studio di sistemi di spin (arbitrario) sia in fasi massive che non [33].
In [34] si sono combinati metodi analitici e numerici per studiare il diagramma di fase della catena "Lambda-D" di spin 1: si sono potute cosi' classificare le transizioni di fase che si presentano al variare dei due parametri, descrivere in termini di CFT le fasi critiche, determinare le proprieta' off-critiche nonche' le funzioni di correlazione del sistema quando si allontana dalla transizione [35], inclusi i parametri d'ordine non locali di stringa che caratterizzano l'ordine nascosto a lungo raggio della fase di Haldane. Si è anche esaminato [36] lo spettro della catena di spin 1/2 con dimerizzazione e frustrazione (indotta da interazioni con secondi vicini) al fine di studiare il NLSM con termine topologico non banale, nel quale il modello di spin si mappa nel limite del continuo. Tale modello e' stato anche considerato recentemente dal gruppo di Trieste mediante l'uso della tecnica dei fattori di forma. Si è cosi' suggerito [36] un nuovo flusso del gruppo di rinormalizzazione, il quale, mostra due diversi comportamenti: quando il coefficiente teta del termine topologico e' diverso da pi greco, teorie con una piccola costante di accoppiamento tendono ad un regime universale con teta=0 ed hanno quindi un tripletto di eccitazioni massive, cosi' come il NLSM puro; al contrario, teorie con valori piu' grandi della costante di accoppiamento tendono a regimi non universali caratterizzati dalla comparsa di un altro stato massivo di singoletto.
-- effeti di "size finito"; Luscher [37] ha mostrato come la conoscenza della funzione di scala sia importante per ricostruire anche fenomeni non-perturbativi delle teorie di campo quantistiche. Questo e' rilevante quando si vogliano ricavare quantita' fisiche a partire da dati numerici relativi a teorie nel discreto. Una applicazione recente di questo tipo di analisi e' stata condotta insieme all'unita' di Trieste [20], dove i dati ottenuti con la tecnica DMRG per la catena di spin 1/2 frustrata descritta in precedenza sono stati confrontati con i risultati di Luscher.
-- entanglement alle transizioni di fase quantistiche: nella Ref. [36] si e' mostrato che, nella maggior parte delle catene di spin 1/2 ed 1, il localizable entanglement riproduce le correlazioni spin-spin o di stringa che guidano la transizione di fase nei due casi rispettivamente.

L'unita' di ricerca di Trieste che partecipa a questo progetto e' composta da specialisti della teoria dei campi con una consolidata esperienza in molte aree della fisica in bassa dimensionalita', dai modelli di reticolo in 2D ai sistemi elettronici in 1D e le catene di spin quantistici. In particolare negli ultimi anni l'unita' locale e' stata attiva sia nello sviluppo di metodi teorici generali, sia nella loro applicazione allo studio di sistemi statistici. In dettaglio:
-- teorie di campo integrabili: risultati per la teoria di matrice S [38], i fattori di forma e le funzioni di correlazione in teorie sia massive che di massa nulla [39-45], il calcolo di rapporti universali [46-52]. Tutti questi approcci si sono dimostrati estremamente utili per la descrizione non perturbativa della dinamica delle quasi-particelle dei sistemi in bassa dimensionalita'.
-- teorie di campo non integrabili: un primo approccio, chiamato Teoria Perturbativa dei Fattori di Forma (FFPT) [53], si presta meglio a trattare piccole deviazioni dall'integrabilita' e consente di ottenere le correzioni allo spettro di massa, ampiezze di scattering e altre quantita' fisiche. Esempi dei risultati ottenuti con questo approccio sono: (i) le correzioni allo spettro energetico del modello di Ising in temperatura e campo magnetico [53]; (ii) la predizione di una transizione di fase nel regime non perturbativo del modello di doppio Sine-Gordon [54-57]; (iii) l'evoluzione dello spettro di massa del NLSM O(3) al variare dell'accoppiamento topologico [58]. Un secondo approccio, basato su metodi semiclassici, e' piu' adatto allo studio di teorie con eccitazioni di tipo kink con grande massa, nel limite semiclassico[59]. Questo metodo ha contribuito in modo rilevante a chiarire diverse proprieta' fisiche del modello di doppio Sine-Gordon, quali lo spetto di massa, le risonanze, il decadimento del falso vuoto, ecc. [60]. Vale la pena sottolineare che questo approccio ha anche permesso di fare progressi significativi nel campo correlato dei sistemi quantistici a temperatura finita [60-63] o, equivalentemente, a volume finito.
-- classi di universalita' e di fenomeni di crossover: nuovi risultati sono stati ottenuti per sistemi quali il modello di Ising in campo magnetico [39-42,46,53,66], i polimeri autoevitanti [48], il modello di Potts a q stati e la percolazione [49,50], il modello di Ising tricritico [51], i modelli RSOS [45] e di Ashkin-Teller [52]; Altre applicazioni riguardano transizioni di fase del primo ordine [64,65], antiferromagneti [32], crossover da comportamento antiferromagnetico a ferromagnetico [33] e teorie integrabili a temperatura finita [60-63].
--sistemi elettronici e di spin: teorie critiche che includono piu' di una perturbazione rilevante, analizzate da un punto di vista teorico [53,55] e con riferimento alle applicazioni alla fisica della materia condensata [54-56,70]; frazionalizzazine dei gradi di liberta' di spin e carica in catene di Heisenberg accoppiate[67-71]. <<<