RICERCA ITALIANA     

Meccanica statistica dei sistemi complessi

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"

Abstract

I sistemi complessi rappresentano un campo emergente dal forte aspetto interdisciplinare e dalle importanti applicazioni tecnologiche. La complessita' implica che le interazioni tra gli elementi del sistema siano piu' importanti dei dettagli del singolo elemento e la necessita' di metodi statistici per descrivere il sistema. Nel presente progetto proponiamo di investigare diversi aspetti della complessita' mediante una combinazione di esperimenti, analisi dati, modelli numerici e teoria. Gli argomenti che studieremo includono le proprieta' matematiche della complessita', la teoria dell'informazione e il caos. Questi concetti trovano una naturale applicazione nel campo del trasporto e della turbolenza, nel cui contesto studieremo la turbolenza elastica, il flusso bi-fasico e le instabilita' di Rayleigh-Taylor. Proprieta' complesse emergono anche nella scienza dei materiali quando disordine e fluttuazioni diventano importanti: in particolare ci concentreremo sui materiali granulari, l'isteresi ferromagnetica, la crescita delle superfici e la dinamica delle proteine. Infine, applicheremo queste idee al di la' dei sistemi fisici, esplorando la statistica e la dinamica delle reti e discutendo la loro rilevanza per sistemi biologici, tecnologici e sociali. La realizzazione di questo programma sara' possibile grazie all'integrazione delle competenze complementari dei diversi gruppi di ricerca. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Vittorio LORETO Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'obiettivo del progetto e` lo studio delle proprieta' collettive presenti nei sistemi complessi e con molti di gradi di liberta'. Le caratteristiche principali di tali sistemi, che hanno una rilevanza anche applicativa, sono le forti correlazioni spazio-temporali e le fluttuazioni non gaussiane. Quindi non e` quasi mai possibile usare tecniche standard di meccanica statistica (come approssimazioni di campo medio e sviluppi in serie ad alte temperature) o approssimazioni che hanno come base di partenza sistemi lineari gaussiani. Tipici esempi sono rappresentati dai sistemi caratterizzati da invarianza di scala, caos e fenomeni d'intermittenza che appartengono ad un'area di ricerca che e' parte della meccanica statistica "non-convenzionale", quella relativa allo studio di sistemi fuori dall'equilibrio e, piu' in generale, dei sistemi non Hamiltoniani. Nell'ambito di quest'area molto vasta di problemi, ci occuperemo in particolare dei seguenti temi.

a) TURBOLENZA e TRASPORTO (Unita' 2,4,5)

L'obiettivo principale e' la caratterizzazione delle proprieta' statistiche del trasporto turbolento di traccianti attivi complessi. Nel caso delle soluzioni polimeriche, indagheremo in dettaglio la fenomenologia della turbolenza elastica, regime turbolento che e' stato osservato solo di recente. Il nostro obiettivo e' lo studio, mai effettuato in precedenza, della fenomenologia della turbolenza elastica descritta per mezzo di simulazioni numeriche dirette di semplici modelli viscoelastici. Ci aspettiamo che la fenomenologia della turbolenza elastica (che emerge ad alti numeri di Deborah e bassi numeri di Reynolds) sia intimamente legata alla nascita di instabilita' puramente elastiche che avvengono per moderati valori del numero di Deborah. Indagheremo tale possibilita' sia attraverso metodi perturbativi di tipo multiscala sia per mezzo della risoluzione numerica del problema di Orr-Sommerfeld associato all'analisi di stabilita' lineare. Tale indagine fornira' la base teorica per la comprensione dei meccanismi alla base della turbolenza elastica.

Per quanto riguarda il problema dei fluidi bi-fasici, intendiamo proporre un modello a due fluidi per la descrizione del trasporto di un gas in un liquido (per esempio aria in acqua). Il vantaggio della descrizione campista rispetto a quella in termini di singole bolle (descrizione Lagrangiana) sta nella possibilita' di considerare in modo semplice la controreazione delle bolle sul fluido. Il modello sara' validato attraverso il confronto con il modello Lagrangiano in condizioni geometriche semplici.

Un altro problema che intendiamo indagare e' la turbolenza generata da instabilita' di tipo Rayleigh-Taylor. Stiamo al momento lavorando sul problema miscibile di due fluidi di diversa densita' ed intendiamo generalizzare l'analisi al caso di due fluidi immiscibili. Per concludere, indagheremo (sia analiticamente che per mezzo di simulazioni numeriche) il trasporto in regime pre asintotico di scalari passivi dove il modello classico di tipo "eddy diffusivity/viscosity" fallisce a causa della mancanza di separazione di scala tra campo di velocita' e campo scalare trasporato.

b) CAOS, COMPLESSITA' e INFORMAZIONE (Unita' 1,2,4)

Gli obiettivi in questo ambito possono essere riassunti come segue.

I. Studio del fenomeno dello "pseudocaos" (comportamento irregolare in sistemi con esponente di Lyapunov nullo), in particolare nel problema
dei generatori di numeri pseudo casuali.

II. Rilevanza del caos e del coarse-graining per l'irreversibilita'.

III. Analisi con tecniche multiscala e caratterizzazione del comportamento lento di sistemi di catene con masse molto diverse.

IV. Studio dei meccanismi di interazione proteina-proteina e proteina-peptide mediante simulazioni con modelli semplificati di biomolecole.

V. Estrazione di informazioni rilevanti

VI. Comunicazione e auto-organizzazione in sistemi biologici, tecnologici e sociali

c) MATERIALI GRANULARI e DISORDINATI (Unita' 1,2,3)

c.1. Materiali granulari

i) Mezzi granulari densi: confronto quantitativo tra risultati teorici e sperimentali nell'ottica di una descrizione termodinamica di tali sistemi.

ii) Gas granulari: verifica della validita' della relazione di Kubo (Teorema di Fluttuazione-Dissipazione) nelle diverse situazioni fuori dall'equilibrio in cui un gas granulare puo' trovarsi (diversi meccanismi di iniezione di energia, miscele binarie, ecc.)

iii) Attivita' sperimentale: raccolta di risultati sperimentali e loro
confronto con i risultati teorico-numerici. Considereremo in particolare le esperienze condotte dal Prof. D'Anna all'EPFL a Losanna e il nuovo dispositivo sperimentale montato presso l'ISC-CNR per la misura delle proprieta' di attrito di mezzi granulari sottoposti a sforzi di taglio.

c.2. Isteresi nei ferromagneti disordinati

L'isteresi e il rumore nei materiali ferromagnetici disordinati rappresenta un importante problema teorico con dirette applicazioni tecnologiche. Il nostro obiettivo principale sara' di ottenere una descrizione teorica di queste proprieta' nei film sottili magnetici. In particolare, descriveremo l'effetto del disordine nell'isteresi dinamica: la dipendenza dalla frequenza dell'energia dissipata nel ciclo. In seguito, discuteremo il ruolo delle interazioni dipolari nelle proprieta' di rumore dei film analizzando il caso delle pareti cariche e dei film con anisotropia perpendicolare.

c.3 Crescita di superfici

Riguardo alla crescita di superfici, l'obiettivo del programma di ricerca e' lo studio della destabilizzazione della crescita epitassiale di tipo step-flow di superfici vicinali. Lo scopo di questo tipo di crescita e' la deposizione di film cristallini sottili, in cui la superficie rimanga piatta all'aumentare dello spessore. Varie sorgenti di rumore e l'esistenza di una barriera addizionale per la diffusione degli atomi tra un layer e l'altro (barriera di Ehrlich-Schwoebel) generano meccanismi di instabilita' che portano alla formazione di ondulazioni e rugosita' nel sistema. L'obiettivo e' collegare i meccanismi microscopici ai comportamenti a grande scala del sistema.

d) NETWORKS (Unita' 1)

d.1 Il nostro primo obiettivo e' lo studio delle caratteristiche strutturali delle reti, con particolare attenzione alla decomposizione in comunita' di reti di grandi dimensioni. I risultati potranno essere applicati in diversi ambiti di ricerca, non sempre riconducibili alla fisica statistica: in particolare, ci concentreremo su linguistica e finanza, in cui le comunita' sono rispettivamente insiemi di parole collegate da regole semantiche o sintattiche e agenti economici.

d.2 Un altro obiettivo e' l'analisi teorica ed empirica delle correlazioni tra le connettivita' di nodi vicini, sia in modelli
teorici che in reti reali. In tal modo, otterremo una comprensione, seppur parziale, dell'origine dei diversi "mixing pattern" che si osservano in reti di diversa natura: nelle reti sociali, nodi con caratteristiche comuni tendono a connettersi tra loro (assortativita'), mentre un comportamento opposto (disassortativo) si osserva nelle reti tecnologiche.

d.3 In ultimo, intendiamo comprendere come la dinamica che genera una rete si rifletta sulle proprieta' di correlazione citate in precedenza. Cio' consentira' di applicare i risultati ottenuti nello studio delle proprieta' di correlazione (punto 2) al problema del "data mining" e alla progettazione di motori di ricerca. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

a) TURBOLENZA e TRASPORTO (Unita' 2,4,5)

Soluzioni polimeriche e turbolenza elastica

E' ben noto che l'aggiunta di piccole quantita' di lunghe catene polimeriche in un flusso produce grandi effetti sulla stabilita' linere del flusso e sul trasporto di massa e quantita' di moto [a.1]. Il piu' eclatante effetto e' la riduzione, sino allo 80%, degli attriti in seguito all'aggiunta di poche parti per milione di polimeri in un flusso turbolento [a.2]. Un altro effetto importante osservato solo di recente in soluzioni polimeriche e' lo sviluppo di turbolenza di tipo elastico per numeri di Reynolds molto elevati e alti valori dell'elasticita' [a.3]. Il flusso polimerico in tale regime manifesta irregolarita' anche per basse velocita', alte viscosita' e per piccoli contenitori che ospitano il fluido. Il moto e' caratterizzato da un ampio intervallo di scale attive spazio-temporali, con decadimento degli spettri aventi leggi di tipo algebrico. Per tale ragione, la turbolenza elastica e' un ottimo modo per generare mixing a bassi numeri di Reynolds, situazione incontrata per esempio nei "micro canali" [a.4]. Lo studio della turbolenza in soluzioni polimeriche ha visto rapidi progressi solo di recente e la fenomenologia della drag reduction e' stata riprodotta per mezzo di simulazioni numeriche di semplici modelli viscoelastici [a.5,a.6]. Indagini analitiche recenti hanno mostrato che i flussi viscoelastici possono manifestare instabilita' di tipo puramente elastico nel limite di bassi numeri di Reynolds [a.7].

Drag reduction per le micro bolle

Uno dei modi piu' efficienti per avere drag reduction in un liquido e' l'iniezione di micro-bolle [a.8,a.9]. Tale effetto e' di considerevole importanza per applicazioni di tipo industriale ed ambientale visto che circa l' 80% della resistenza al moto di una nave e' dovuta all'attrito causato dalla massa di acqua spostata. Comunque, la comprensione della drag reduction dovuta alle micro bolle e' ad uno stadio piu' arretrato di quello relativo alla drag reduction dovuta ai polimeri. Solo di recente alcune simulazioni numeriche dirette hanno messo in evidenza un debole effetto di drag reduction causato dalle micro bolle [a.10]. Molti degli studi numerici sono basati su uno schema misto di tipo Lagrangiano-Euleriano dove le traiettorie delle singole bolle sono integrate numericamente nel tempo. Tale metodo e' molto efficace per calcolare la statistica Lagrangiana nel caso di bolle passive (cioe' senza controreazione sul fluido). Nel caso di bolle attive, il calcolo delle forze di volume sul fluido risulta molto costoso e delicato. Un approccio alternativo, che considera la soluzione di bolle come un fluido bi-fase, sembra essere una strategia promettente per simulare flussi turbolenti ad alti numeri di Reynolds [a.11].

Instabilita' Rayleigh-Taylor

La fenomenologia del mixing dovuto all'instabilita' di Rayleigh-Taylor (RT), l'instabilita' di una interfaccia che separa due fluidi di diversa densita' in presenza di gravita' [a.12], puo' essere cosi' sintetizzata. Bolle (cuspidi) di fluido leggero (pesante) penetrano nel fluido piu' pesante (leggero) dando origine ad una regione di fluido mischiato. Quando l'instabilta' entra nel regime non linerare, il moto del fluido nella zona mischiata diventa molto irregolare. L'estensione dello strato mischiato e' originato dal moto veloce delle strutture a grande scala, moto dominato dalla coalescenza di strutture a piu' piccola scala. Il moto irregolare all'interno dello strato mischiato e' di tipo turbolento cioe' il flusso e' caotico lungo la scia delle bolle (cuspidi). L'oggetto principale degli studi sperimentali e teorici e' relativo alle proprieta' della zona di mescolamento. Attraverso semplici previsioni di campo medio, si puo' derivare [a.13] l'andamento delle propieta' di scala delle osservabili statistiche rilevanti nello strato mescolato. La questione aperta e' sul fatto che gli argomenti di campo medio siano in reale accordo con gli esperimenti.

b) CAOS, COMPLESSITA' e INFORMAZIONE (Unita' 1,2,4)

* Caos e Meccanica Statistica

La meccanica statistica descrive le proprieta' macroscopiche di sistemi a tanti gradi di liberta'. La connessione tra il livello microscopico e quello macroscopico e' fornito dall'ipotesi ergodica che permetterebbe, se valida, di intepretare in modo fisicamente soddisfacente gli ensemble statistici [b.1]. D'altra parte e' chiaro che nei sistemi reali non e' quasi mai valida l'ipotesi ergodica (almeno in senso strettamente matematico) e molte questioni sia tecniche che concettuali sono ancora da chiarire[b.2,b.3]. Particolarmente rilevante e' la comprensione del ruolo giocato dai fattori seguenti: caos deterministico [b.4,b.5], procedure di "proiezione" o "coarse-graning"[b.6], tanti gradi di liberta' [b.7,b.8], tempi di osservazione e metastabilita' [b.7,b.8,b.9].
Esempio di sistemi in cui queste problematiche sono rilevanti: a) sistemi con molti gradi di liberta' e molte scale temporali caratteristiche (in questi casi le informazioni fornite dagli indicatori dinamici "tradizionali" risultano molto parziali [b.10,b.3]), b) sistemi che pur tecnicamente non caotici mostrano comportamemti irregolari [b.7], c) sistemi con stati discreti (ad esempio gli automi) [b.11].

* Problemi computazionali in meccanica statistica

Praticamente tutti i sistemi interessanti hanno una natura a multiscala, ad esempio nel clima sono coinvolti fenomeni che spaziano da tempi caratteristici dell'ordine del secondo alle migliaia di anni [b.12], analogamente per le proteine si va da tempi caratteristici dell'ordine di 10^{-15} secondi al secondo [b.13]. Un approccio numerico ingenuo richiederebbe l'utilizzo di passi di integrazione estremamente piccoli (per adeguarsi al fenomeno a scala piu' veloce), cosa ovviamente impraticabile. E' quindi inevitabile il ricorso a tecniche analitiche e/o numeriche opportune che permettano il superamento di tale problema. Un caso, storicamente importante (per il moto Browniano) e' un sistema costituito da particelle di massa diversa su una catena unidimensionale; ovviamente le particelle pesanti hanno un moto "lento"[b.14,b.8]. Questa e' una situazione interessante da diversi punti di vista: a) e' necessaria una descrizione di tipo multiscala b) l'esponente di Lyapunov (essendo una proprieta' globale) non descrive il "moto lento".

* Interazione proteina-proteina e proteina-peptide.

La comprensione del comportamento delle proteine sia durante il folding sia durante l'attivita' biologica richiede l'impiego di tecniche di simulazione a risoluzione atomica computazionalmente costose. Le attuali capacita' di calcolo limitano l'applicabilita' di questi metodi allo studio di proteine relativamente piccole o a processi che durano solo alcuni nanosecondi. Per aggirare il problema si riduce la complessita' delle simulazioni, semplificando la descrizione della biomolecola ed eliminando molti dettagli nelle interazioni chimiche. Il nostro scopo sara' di applicare (ed eventualmente generalizzare) alcuni modelli [b.13,b.15,b.16] semplificati ma realistici di proteine allo studio dell'interazione tra proteine-proteine e proteine-peptidi. I processi di legame che conducono alla formazione di complessi molecolari sono alla base di molte funzioni proteiche ed enzimatiche [b.17] e la loro descrizione rimane uno dei punti cruciali delle attuali ricerche in campo biochimico e biologico. La descrizione dei complessi molecolari coinvolge molteplici e complementari aspetti chimico-fisici e strutturali delle proteine. In tale ambito, il nostro aproccio riguardera' l'impiego delle metodologie della meccanica statistica dei sistemi complessi e della fisica computazionale [b.18,b.19] piu' adatte al problema.

* Estrazione di informazioni rilevanti

Se la disponibilita' di una enorme mole di dati, nei piu' diversi ambiti e discipline (si pensi ad esempio alle serie temporali di sistemi dinamici, al genoma e alle sequenze proteiche o al linguaggio), rappresenta un notevole progresso, cio' rende ancora piu' urgente e cruciale lo sviluppo di metodi automatizzati per l'estrazione d'informazioni. Recentemente e' stato introdotto un nuovo metodo per l'estrazione di informazione codificata sotto forma di sequenze di caratteri [b.20,b.21,b.22]. Il metodo consiste nell'utilizzare metodi basati su algoritmi di compressione, per stimare la quantita' di informazione contenuta o condivisa da diverse sequenze. Con questo metodo e' stata definita una misura di tra coppie di generiche sequenze di caratteri. A partire dalla valutazione di una distanza informatica tra coppie di sequenze di caratteri, il metodo permette di: 1) effettuare il riconoscimento del contesto di sequenze; 2) costruire una classificazione gerarchica di un corpus di sequenze (ad esempio organizzare le sequenze in alberi); 3) costruire motori di ricerca basati sulle relazioni di contiguità tra sequenze. I risultati preliminari ottenuti hanno avuto un notevole impatto e sono stati oggetto di molti editoriali delle principali riviste scientifiche.

* Comunicazione e auto-organizzazione in sistemi biologici, tecnologici e sociali

In molti sistemi (biologici, tecnologici o sociali) un problema cruciale e' quello della comunicazione tra i diversi componenti (agenti). Il sistema di comunicazione degli agenti non e' predeterminato ma emerge spontaneamente dalle interazioni degli agenti tra loro e con l'ambiente esterno. E' importante studiare come la comunicazione possa emergere, quali diversi sistemi di comunicazione siano possibili e quali siano i prerequisiti per il loro sviluppo. Inoltre e' importante chiedersi quali tipi di funzioni siano rese possibili a livello collettivo dai diversi sistemi possibili di comunicazione e il ruolo della topologia delle interazioni tra gli agenti. Esempi di sistemi che rispondono ai requisiti appena delineati spaziano dai semplici sistemi di comunicazione negli animali, al linguaggio umano, fino alla comunicazione tra agenti biologici o tra gli elementi di sistemi tecnologici. E' evidente l'importanza di definire un ambito matematico dove questi problemi possano essere definiti, formalizzati e risolti.

c) MATERIALI GRANULARI e DISORDINATI (Unita' 1,2,3)

c.1 Materiali granulari

I mezzi granulari rientrano solo parzialmente negli ambiti della meccanica statistica d'equilibrio e dell'idrodinamica. La loro dinamica costituisce un problema molto complesso fuori dall'equilibrio che suscita nuove problematiche ed apre nuove sfide sia dal punto di vista teorico sia da quello sperimentale. La possibilita' stessa di costruire in maniera coerente una meccanica statistica per tali sistemi e' controversa. In generale i mezzi granulari non possono essere descritti come sistemi d'equilibrio ne' dal punto di vista configurazionale ne' dal punto di vista dinamico. Essi sono tipicamente considerati come sistemi non termici poiche' la loro energia termica e' talmente piccola rispetto ad altri contributi energetici (ad esempio l'energia potenziale) che, di fatto, la si puo' trascurare e dire che i mezzi granulari sono virtualmente sistemi a temperatura nulla.

La nostra attività teorica si e' concentrata in passato particolarmente in due direzioni: (i) lo studio dei modelli fondamentali dei cosiddetti "gas granulari" [c.1.1,c.1.2,c.1.7,c.1.10]; (ii) lo studio delle proprietà vetrose e di risposta in mezzi granulari densi e l'individuazione di ensemble statistici per descrivere la loro dinamica fuori dall'equilibrio [c.1.3-c.1.6,c.1.8-c.1.9].

All'attivita' teorica e' stata affiancata un'attivita' sperimentale in due direzioni: (i) la misura di proprieta' di risposta in mezzi granulari densi, quasi-liquidi e fluidificati (mediante pendoli di torsione immersi nel granulare) da confrontare con i risultati teorico-numerici (condotta in collaborazione con il politecnico di Losanna); (ii) un dispositivo sperimentale di nuova concezione montato presso l'ISC-CNR con il quale e' in corso la misura delle proprieta' d'attrito di un mezzo granulare sottoposto a sforzi di taglio.

c.2. Isteresi nei ferromagneti disordinati

Nonostante l'abbondanza di studi sull'isteresi ferromagnetica [c.2.1], molte questioni importanti rimangono aperte, per l'assenza di una teoria che possa spiegare il comportamento macroscopico osservato in termini della microstruttura del materiale. L'isteresi e' un fenomeno complesso fuori dall'equilibrio dovuto alla presenza di stati metastabili. Nonostante i progressi considerevoli nella comprensione dei sistemi puri, caratterizzati da una struttura energetica relativamente semplice (doppia buca), la situazione in presenza di disordine strutturale, che porta ad un panorama di energia libera complesso, e' meno chiara. Molte leghe ferromagnetiche, usate in applicazioni tecnologiche, mostrano una microstruttura disordinata, ad esempio policristalli con assi di anisotropia casuali o materiali amorfi con sforzi interni congelati. I recenti progressi nella comprensione dell'isteresi e del rumore nei materiali magnetici sono stati ottenuti usando modelli di spin con disordine [c.2.2] e modelli di dinamica di parete di dominio. Il problema corrispondente deve ancora essere esplorato nel caso dei film sottili.

c.3 Crescita di superfici

Il problema dell'instabilita' della crescita di una superficie vicinale [c.3.1] e' stato studiato dal punto di vista teorico mediante simulazioni Monte Carlo da Krug e Schimschak [c.3.2] per un modello unidimensionale nel limite in cui la barriera energetica per la diffusione tra layer e' infinita. In tale limite la crescita step-flow e' metastabile. Nello stesso limite e' stato utilizzato l'approccio analitico di Cahn-Hilliard per la nucleazione in miscele binarie. Piu' recentemente [c.3.3] il problema e' stato studiato con un approccio di campo medio in cui si e' fatta l'assunzione che il nucleo critico (la piu' piccola fluttuazione sufficiente per distruggere la metastabilita') ha una taglia indipendente dalla barriera Ehrlich-Schwoebel. Ne consegue che per piccoli valori della barriera esisterebbe un regime in cui la crescita di tipo step-flow e' stabile, ovvero la superficie si mantiene piatta indefinitamente.

d) NETWORKS (Unita' 1)

Le reti complesse si incontrano in molti settori e presentano proprieta' statistiche comuni, ad esempio l'invarianza di scala della distribuzione del numero di vicini dei nodi. Recentemente ci si e' resi conto che la teoria classica dei cosiddetti grafi random mal si applicava alle cosiddette reti complesse (biologiche, sociali o tecnologiche). Si e' dunque assistito ad una intensa attivita' di ricerca volta alla formulazione di modelli teorici che riproducano accuratamente le proprieta' delle reti reali con ipotesi sufficientemente semplici e generali (aleatorieta', leggi di evoluzione dipendenti dal grado o da proprieta' intrinseche dei nodi, o opportune combinazioni di questi principi) da potersi applicare a contesti diversi [d.1].

L'interesse specifico per la topologia delle reti complesse e' sorto anche in settori teorici piu' tradizionali come la diffusione [d.7], i sistemi di spin [d.8] o la percolazione, dove l'interesse e' su che tipi di cambiamenti la topologia puo' indurre in fenomeni e sistemi altrimenti ben conosciuti [d.2][d.3]. Lo sviluppo di questa nuova teoria delle reti complesse ha inoltre ravvivato l'interesse della comunita' scientifica nei confronti di algoritmi capaci di predire o misurare proprieta' statistiche di particolare interesse. Le conoscenze acquisite con gli strumenti della fisica statistica negli ultimi anni hanno creato un terreno fertile per lo sviluppo di approcci nuovi a problemi, come il 'clustering' [d.4][d.5] e l' 'information mining'. <<<