RICERCA ITALIANA     

Metodologie avanzate per il controllo di sistemi ibridi

Università degli Studi di Cagliari

Abstract

Il principale obiettivo di questo progetto è quello di riunire 5 unità di ricerca italiane che lavorano attivamente nell'area dei sistemi ibridi (HS: hybrid systems). Gli HS costituiscono un settore di grande interesse per l'Automatica, poiché stanno divenendo il paradigma scientifico per affrontare in modo sistematico il problema dell'analisi, della modellazione, della simulazione, della sintesi e della ottimizzazione dei sistemi embedded, quando i controllori digitali agiscono con i sistemi fisici. Il progetto focalizzerà le comuni attività di ricerca verso un singolo obiettivo: derivare nuove metodologie avanzate per il controllo degli HS, con una particolare enfasi sull'ampia classe dei sistemi a commutazione.

Il progetto è strutturato in 5 workpackage tecnici (WP) che coprono i principali temi di interesse nell'ambito del controllo degli HS. Ogni WP è ulteriormente strutturato in attività dedicate a classi speciali di modelli o a particolari aspetti del problema affrontato nel relativo workpackage.

WP1 è dedicato all'uso di tecniche di ottimizzazione nel controllo. Questo approccio si è dimostrato particolarmente proficuo per il controllo di un'ampia classe di problemi che possono essere modellati come HS, ma numerosi problemi sono tuttora aperti e necessitano di essere risolti. Il WP consiste di 3 attività relative a diversi modelli ibridi: modelli ad evoluzione temporale, modelli guidati da eventi e modelli stocastici.

WP2 è relativo al controllo ottimo degli HS. Il controllo ottimo è un problema classico, nonostante ciò la comunità scientifica è ancora ben lontana dall'avere una soluzione generale e completa nel caso di HS. Numerosi e interessanti approcci sono stati proposti in questo ambito. Tra questi i più promettenti sono quelli che mirano a determinare una legge di controllo ottimo in retroazione sullo stato. WP2 riguarda proprio la determinazione di politiche di controllo ottimo in retroazione dello stato ed è diviso in 3 attività rivolte ad affrontare tale problema rispettivamente nell'ambito dei sistemi a commutazione, degli automi ibridi e dei sistemi con ingressi quantizzati.

WP3 studia una proprietà fondamentale dei sistemi ibridi dinamici: la stabilità. Il principale obiettivo è quello di derivare un opportuno insieme di condizioni per imporre la stabilità asintotica e strutturale a due classi di sistemi ibridi: i sistemi a commutazione e i sistemi a commutazione markoviana. Le condizioni derivate saranno usate per la sintesi di nuovi controllori stabilizzanti per tali classi di sistemi.

WP4 è dedicato a 3 diversi problemi nel caso di HS in cui solo dati ingresso/uscita sono disponibili dal processo ibrido. WP contiene 3 attività che riguardano: il progetto di osservatori per sistemi a commutazione, l'identificazione e l'uso degli osservatori nel ciclo di retroazione.

WP5 sarà infine incentrato su problemi di rilievo industriale a cui le metodologie sviluppate nel corso del progetto verranno applicate. Le due principali aree applicative identificate sono: il controllo automotive e il controllo di reti.

La particolare competenza di ciascuna unità di ricerca è necessaria per il raggiungimento degli obiettivi che ogni WP si è prefissato. Per questa ragione, le diverse unità di ricerca contribuiranno agli stessi WP scambiandosi mutue competenze in modo critico, costruttivo e collaborativo. Per ciascun WP verrà scelto un coordinatore che monitorizzi l'avanzamento dei risultati e che suggerisca possibili forme di integrazione dei risultati prodotti da ciascuna unità.

Tutte le unità di ricerca saranno infine coinvolte in due WP aggiuntivi: WP0 relativo alla gestione del progetto e WP6 dedicato alla disseminazione dei risultati.

Infine, il team del progetto sarà ulteriormente arricchito dalle collaborazioni internazionali con partner non italiani con i quali le diverse unità hanno già stabilito attive linee di ricerca sugli HS. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Alessandro GIUA Università degli Studi di CAGLIARI

Obiettivo del Programma di Ricerca

Le recenti innovazioni tecnologiche hanno portato ad un sempre crescente interesse nello studio dei sistemi ibridi (HS). La peculiarità degli HS è l'interazione tra le dinamiche tempo-continue (governate da equazioni differenziali o alle differenze), e le dinamiche discrete e le regole logiche (descritte da logiche temporali, macchine a stati finiti, condizioni if-then-else, eventi discreti, etc.).

Il dominio di ricerca degli HS sta attirando un numero sempre crescente di ricercatori, come testimoniato dal numero di sessioni al riguardo che sono state organizzate negli ultimi anni nelle principali conferenze nell'ambito dell'Automatica (come la IEEE Conf. on Decision and Control, l'IFAC Word Congress), e dal numero rilevante di lavori che sono stati pubblicanti nelle riviste leader del settore (quali, IEEE Trans. on Automatic Control, Automatica). Il crescente interesse per gli HS sia nel mondo accademico sia nel mondo dell'industria è motivato non solo da problematiche di natura teorica, ma anche dalla loro capacità di modellare, analizzare e sintetizzare controllori nelle più svariate aree applicative.

Tuttavia, le dinamiche ibride sono spesso così complesse che un controllore in retroazione soddisfacente non può essere sintetizzato usando strumenti analitici simili a quelli relativi ai sistemi lineari o a certe classi di sistemi non lineari discontinui. Tecniche di progetto di tipo euristico d'altro canto richiedono procedimenti per tentativi, con conseguenti onerose operazioni di verifica e si rivelano pertanto spesso inadeguate. Come conseguenza il controllo dei sistemi ibridi è un'area di ricerca tuttora largamente inesplorata.

Questo progetto ha tre principali obiettivi.

O1 - Coordinare e integrare l'attività di ricerca di un gruppo di cinque unità di ricerca italiane che stanno attivamente lavorando nell'ambito degli HS.

Le unità di ricerca che partecipano al progetto costituiranno un primo nucleo che aiuterà a stabilire una duratura comunità di autorevoli ricercatori a livello italiano nel dominio degli HS. Questa è una necessità profondamente sentita e nessun altro progetto COFIN dedicato agli HS è attualmente attivo. A questo proposito è importante sottolineare che quattro tra le cinque unità di ricerca (SI, CA, MI and AQ) sono anche parte attiva della rete di eccellenza europea "HYCON - Hybrid Control: Taming Heterogeneity and Complexity of Networked Embedded Systems (http://www.ist-hycon.org). HYCON sostiene l'integrazione a livello europeo delle attività di ricerca nell'ambito degli HS e questo faciliterà la disseminazione dei risultati ottenuti a livello internazionale. Si noti, tuttavia, che una rete di eccellenza non sostiene in modo diretto ne l'attività di ricerca, ne l'integrazione a livello nazionale.

Diverse strutture di modelli di HS sono state proposte nella letteratura: ogni classe di HS è solitamente appropriata per la risoluzione di particolari problemi. Al momento, questa moltitudine di modelli è inevitabile. Vi è tuttavia una famiglia di modelli che ha ricevuto molta attenzione come testimoniato dalle centinaia di articoli scientifici e dai recenti libri di ricerca dedicati a questo argomento: questa ampia classe di modelli è nota come " switched systems" (sistemi a commutazione) e può essere considerata come un modello di base.

Il progetto focalizzerà le comuni linee di ricerca sulla famiglia dei sistemi a commutazione. Ciò costituirà un passo importante per farlo diventare un modello di riferimento, di cui si sente grande bisogno. Ciò inoltre consentirà non solo di comparare fra loro i risultati delle varie unità, ma anche di integrare fra loro gli approcci sviluppati nei diversi workpachages.

O2 - Sviluppare nuove metodologie avanzate per il controllo dei sistemi ibridi.

Sviluppare metodologie di controllo estendendo precedenti approcci e esplorando nuove direzioni di ricerca è l'obiettivo centrale del progetto. I risultati attesi in termini di approcci di analisi e di controllo saranno pubblicati negli atti di congressi internazionali e su riviste.

Due workpackage all'interno del progetto sono rivolti allo sviluppo di nuove procedure di controllo basate su due degli approcci più generali e più rilevanti che siano apparsi nella letteratura: il controllo attraverso l'ottimizzazione e il controllo ottimo. Altri due workpackage saranno invece dedicati all'analisi della stabilità, all'osservabilità e all'identificazione. Queste tecniche saranno comunque orientate a problemi di controllo quali il progetto di leggi di controllo stabilizzanti, l'uso di osservatori nel ciclo di retroazione, etc.

La particolare competenza di ciascuna unità di ricerca è necessaria per il raggiungimento degli obiettivi dei diversi workpackage. Per questa ragione, diverse unità di ricerca contribuiranno a ciascuno dei workpackage, scambiandosi le proprie competenze in modo critico, costruttivo e collaborativo.

O3 - Mostrare che le metodologie sviluppate nell'ambito del progetto possono essere applicate a problemi di rilievo industriale.

Nel corso del progetto diverse applicazioni saranno prese in esame; tali applicazioni sono state la principale motivazione per molte delle attività di ricerca proposte. Tuttavia, essenzialmente su due aree applicative sarà focalizzato l'interesse, sia come conseguenza del loro notevole rilievo industriale sia perché diverse unità di ricerca hanno già maturato una buona esperienza in tali contesti. Tali aree sono il controllo automotive e il controllo delle reti. Diverse applicazioni in questi ambiti saranno prese in esame, quali il controllo delle sospensioni, il controllo motore, il controllo di reti wireless, e la modellazione e il controllo di reti TCP/IP. I tool sviluppati per l'analisi, la simulazione e il controllo di tali sistemi saranno poi resi disponibili alla comunità scientifica. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La peculiarità dei sistemi ibridi (HS: hybrid systems) è l'interazione tra le dinamiche tempo-continue (regolate da equazioni differenziali o alle differenze), e le dinamiche discrete e le regole logiche (descritte da logiche temporali, macchine a stati finiti, condizioni if-then-else, eventi discreti, etc.). Diverse strutture di modelli sono apparse nella letteratura [1,2,3]: ciascuna classe di HS è di solito efficace per la risoluzione di un particolare problema, e i vari modelli appaiono molto diversi tra loro. Vi è tuttavia una famiglia di modelli che ha ricevuto particolare attenzione come testimoniato dalle centinaia di articoli scientifici e dai recenti testi di ricerca [4,5] ad essa dedicati: questa ampia classe è nota come ''switched systems" (sistemi a commutazione) e può essere considerata in un certo senso come un modello di base. Ciò giustifica la particolare attenzione che in questo progetto verrà ad essa rivolta.

L'interesse crescente per gli HS sia nel mondo accademico che nel mondo dell'industria è motivato non solo da questioni teoriche, ma essenzialmente dalla capacità di tali sistemi di modellare, analizzare e sintetizzare controllori in una grande varietà di aree applicative, che includono i sistemi automotive [7] e i problemi di reti TCP/IP [8]. Un controllore in retroazione per un sistema dinamico ibrido è un algoritmo che prende decisioni in linea in modo automatico, che continuamente osserva il comportamento del sistema e reagisce in base a questo con una propria decisione, al fine di verificare le specifiche e gli eventuali vincoli. Le dinamiche ibride sono spesso così complesse che un controllore in retroazione soddisfacente non può essere sintetizzato usando strumenti analitici, come accade per i sistemi lineari o per certe classi di sistemi non lineari discontinui. Approcci di tipo euristico richiedono solitamente procedure di verifica e correzione, e sono anche onerosi sia dal punto di vista dei costi che del tempo; sono infine spesso inadeguati per far fronte in modo soddisfacente alla complessità dei problemi di controllo ibridi. Come conseguenza il controllo degli HS è un'area di ricerca tuttora largamente inesplorata ed è pertanto potenzialmente proficuo continuare la ricerca in questo ambito, coordinando lo sforzo di diversi gruppi di ricerca verso un obiettivo comune.

Nel seguito richiameremo i principali contributi relativi al controllo degli HS. Tale rassegna è strutturata in diverse parti, che corrispondono alle principali aree di interesse all'interno del progetto, così da rende la presentazione più agevolmente leggibile.


CONTROLLO PREDITTIVO

Le tecniche di controllo basate sull'ottimizzazione hanno la capacità di fornire algoritmi in grado di prendere decisioni in tempo reale che permettono ai sistemi dinamici complessi di esibire determinate prestazioni soddisfacendo al contempo dei vincoli prefissati. Il controllo predittivo (MPC: model predictive control) appartiene alla categoria delle tecniche di controllo basate sull'ottimizzazione. L'MPC è un approccio diffuso per il controllo di sistemi multivariabili altamente complessi [9]. In ogni istante di campionamento viene calcolata una sequenza di controllo su un orizzonte temporale finito che massimizzi un indice di costo e che soddisfi determinati vincoli sull'ingresso e sull'uscita. Solo il primo campione della sequenza ottima determinata è poi applicato al sistema nel presente istante di tempo. Nel successivo istante un nuovo problema di controllo ottimo, basato su nuove misure dello stato, è risolto su un orizzonte temporale traslato.
I primi approcci MPC hanno avuto origine nei primi anni novanta, p.e., si veda l'algoritmo CRHPC [10]. In seguito molti problemi che riguardano lo sviluppo di algoritmi MPC sono stati proposti [11].

Quando l'algoritmo MPC è basato su un modello lineare soggetto a vincoli lineari sull'ingresso e/o sulle variabili di stato e la prestazione desiderata è espressa usando una funzione di costo quadratica, il problema di ottimizzazione risultante è un problema di programmazione quadratica (QP) che con gli strumenti attuali di calcolo può essere risolto in modo efficiente. Il MPC basato su QP è stato applicato in migliaia di applicazioni industriali e il toolbox per MATLAB, MPC, è oggi anche disponibile [12].

Benchè risolutori QP estremamente efficienti siano ora disponibili, allo scopo di spingere le tecniche di controllo basate sull'ottimizzazione verso quelle applicazioni in cui le capacità di calcolo in linea sono molto limitate o la frequenza di campionamento è molto elevata, negli ultimi anni diversi ricercatori hanno studiato le tecniche di programmazione quadratica multiparametrica (mpQP) [13,14]. L'mpQP consiste nel caratterizzare la soluzione di un programma matematico dove la funzione di costo e/o i vincoli dipendono da alcuni parametri in funzione dei parametri stessi. In tale caso il controllo MPC può essere implementato tramite una tabella indicizzata di guadagni lineari di controllo.

Le strategie di controllo descritte finora sono basate su modelli deterministici di sistemi dinamici ibridi. La letteratura sugli HS stocastici è invece piuttosto scarsa, a parte i risultati in [15,16].

CONTROLLO OTTIMO

Il controllo ottimo è un argomento centrale nell'Automatica e molti contributi relativi alla determinazione di leggi di controllo ottimo per gli HS sono stati proposti negli ultimi anni. Molti autori hanno considerato formulazioni del problema molto generali e hanno derivato solo condizioni necessarie per l'ottimo, mentre ben pochi algoritmi pratici sono stati dati. Inoltre, lo svantaggio di tali tecniche risiede nel fatto che di solito esse non forniscono una soluzione in forma chiusa, anche nel caso semplice in cui i sottosistemi siano lineari e stazionari e l'indice di costo quadratico. Pertanto il problema può tuttora considerarsi aperto.

Per gli HS a tempo-continuo, condizioni generali per l'esistenza di leggi di controllo ottimo sono discusse in [17]. Condizioni necessarie per l'ottimo di una traiettoria di un sistema a commutazione sono state derivate usando il principio del massimo in[18,19] per una sequenza fissata di lunghezza finita. La programmazione dinamica convessa può essere usata per approssimare leggi ottime di controllo ibrido e per calcolare limiti inferiori e superiori del costo ottimo [20]. La decomposizione gerarchica [21] può essere usata per dividere l'intero problema di controllo ottimo in più sottoproblemi più piccoli. L' approccio basato sulla parametrizzazione degli istanti di commutazione proposto in [22] presenta notevoli difficoltà computazionali quando il numero delle commutazioni a disposizione diviene elevato. In [23] il principio del massimo è stato applicato ad un sistema embedded regolato da una variabile logica e un controllo continuo; la legge di controllo fornita è a ciclo aperto, e alcune condizioni necessarie e sufficienti per l'ottimo sono state derivate. In [24] gli autori hanno risolto un problema LQR ad orizzonte temporale finito le cui soluzioni sono fortemente dipendenti dalle condizioni iniziali, fornendo così soluzioni a ciclo aperto.

Un problema generale nel quale una soluzione in retroazione dello stato per un problema di controllo ottimo può essere ottenuta, è stato presentato in [25,26]. Il modello considerato è un sistema a commutazione con dinamiche lineari e stazionarie autonome. Un problema di controllo ottimo ad orizzonte temporale infinito è stato preso in esame: il costo sulla evoluzione continua è un costo quadratico standard e un costo associato alle commutazioni può anche essere aggiunto. Le variabili decisionali sono gli istanti di commutazione e la sequenza delle dinamiche attive. In [27], sotto l'ipotesi che le dinamiche siano Hurwitz, questa procedura è stata estesa al caso di un numero infinito di commutazioni.

STABILITÀ E STABILIZZAZIONE

Un altro importante problema che è ancora aperto nella teoria dei sistemi ibridi è lo studio della loro stabilità. Molti dei risultati proposti sono basati sull'uso delle funzioni multiple di Lyapunov [28,29,30,31] ma in tutti questi casi gli approcci considerati hanno dato solo condizioni sufficienti per la stabilizabilità asintotica.

Condizioni necessarie e sufficienti sono date in [32] per sistemi a commutazione con solo due dinamiche nel caso in cui l'indice di prestazione sia la stabilità quadratica. L'importanza di tale proprietà è che essa richiede per sistemi incerti una funzione di Lyapunov quadratica che garantisce la stabilità asintotica per tutte le incertezze in considerazione, ed è perciò una sorta di stabilità robusta anche se di solito essa richiede il soddisfacimento di condizioni più restrittive [33]. In [34], mediante un approccio di tipo geometrico, gli autori sono stati in grado di ottenere condizioni necessarie e sufficienti per la stabilizzabilità asintotica dei sistemi a commutazione con un numero arbitrario di sistemi lineari stazionari instabili del secondo ordine. Quando il sistema è asintoticamente stabilizzabile, essi hanno anche fornito un approccio per il calcolo di una legge stabilizzante.

Il problema di stabilizzare un sistema a commutazione lineare con dinamiche instabili può essere ridotto al problema di risolvere un insieme di diseguaglianze quadratiche. Questo è un approccio molto interessante, ma porta ad un problema non convesso (perciò fornisce solo condizioni sufficienti) quando il numero dei sottosistemi è maggiore di 2. Inoltre molte delle soluzioni proposte si basano su metodi LMI o BMI, che divengono computazionalmente onerosi quando il numero di dinamiche cresce [35]. Recentemente in [36] è stato affrontato il problema della risoluzione di diseguaglianze quadratiche attraverso un algoritmo iterativo che sfrutta un metodo di tipo gradiente sull'energia e funzioni di Lyapunov multimodali.

In [37,38] nuove strategie di commutazione sono state fornite per una classe particolare di sistemi a commutazione attraverso la definizione delle diseguaglianze di Lyapunov-Metzler per sistemi lineari e affini.

Un altro importante problema aperto nella teoria degli HS è lo studio delle cosiddette biforcazioni discontinue. Si è infatti scoperto che gli HS possono esibire biforcazioni che sono dovute unicamente alla loro natura discontinua e che possono causare l'improvvisa perdita di stabilità strutturale delle loro soluzioni [39]. Questo è un problema rilevante per la sintesi di strategie di controllo per tali sistemi, dato che le perturbazioni parametriche o esterne possono causare la scomparsa improvvisa di soluzioni asintotiche desiderate del sistema a ciclo chiuso [40].

Una formulazione rigorosa del problema e una prima serie di risultati per il caso degli HS planari è stata presentata in [41]. Si sono studiate 2 classi di fenomeni: le transizioni degli equilibri di confine e le biforcazioni di sfioramento dei cicli limite. La prima classe di fenomeni ha luogo quando un equilibrio appartenente ad uno degli iperpiani di discontinuità nello spazio di stato viene perturbato. Nel caso dei cicli limite, è stato dimostrato che essi perdono la loro stabilità strutturale quando diventano tangenti ad uno degli iperpiani di discontinuità nello spazio di stato [39,42].

Un altro fenomeno peculiare degli HS è la presenza di fenomeni Zeno, ovvero di traiettorie caratterizzate dall'accumulazione di un numero infinito di commutazioni in tempo finito come ad esempio il chattering in sistemi meccanici con impatti [2]. Recentemente, è stato congetturato che punti di Zeno possano essere loro stessi coinvolti in una nuova classe di biforcazioni portando essi stessi a perdite della stabilità strutturale dell'evoluzione del sistema. L'analisi dei fenomeni Zeno e delle biforcazioni cui essi possono dare luogo è oggi un importante problema nell'ambito dell'Automatica.

L'analisi delle biforcazioni può essere usata per la sintesi di strategie di controllo [39,43]. Un metodo di controllo in tal senso è stato proposto in [44]. L'idea principale è quella di progettare un controllore ibrido per sistemi continui non lineari che sfrutta la presenza di biforcazioni discontinue nel sistema controllato. Il controllore può essere progettato in modo tale da garantire che il sistema a ciclo chiuso venga posto vicino ad un fenomeno di biforcazione discontinua desiderato.

CONTROLLO QUANTIZZATO

Si parla di controllo quantizzato quando la variabile di controllo o di misura di un sistema può solo assumere valori in un insieme finito. Ciò accade tutte le volte che si utilizza un elaboratore digitale come controllore, ma tale limitazione è anche spesso dovuta a vincoli tecnologici intriseci sugli organi di attuazione/misura o all'esigenza di ridurre la banda del canale di trasmissione dei dati. Il fatto che il controllo (o la misura) assuma un numero finito di valori genera problemi teorici interessanti [45], soprattutto con riferimento alla stabilità e alla stabilizzazione [46,47,48] e in molti casi il concetto di stabilità asintotica va sostituito da quello di stabilità pratica.

SISTEMI A COMMUTAZIONE MARKOVIANA

Riguardo ai modelli stocastici di sistemi a commutazione, è interessante il caso in cui i sottosistemi siano lineari e invarianti nel tempo e il segnale di commutazione sia generato da una catena di Markov. Tali modelli vengono chiamati sistemi a commutazione markoviana, o Markov Jump Linear Systems (MJLS), e giocano un ruolo importante nella descrizione di fenomeni economici, biologici e nelle reti di trasmissione [6,M31].

Riguardo alla teoria della stabilità degli MJLS sono state introdotte varie nozioni di stabilità, quali la stabilità in media quadratica, la stabilità dei momenti e la stabilità quasi certa [M32]. Mentre per la caratterizzazione della stabilità quadratica esistono metodi efficienti, lo studio della stabilità quasi certa (che talora riveste maggiore importanza pratica) non ha finora portato alla formulazione di criteri necessari e sufficienti di facile verifica [M33,M34].


IDENTIFICAZIONE

Gli algoritmi per la modellazione di sistemi a partire da dati sperimentali hanno svariate applicazioni sia in ambito ingegneristico sia in discipline quali la medicina, l'economia e la biologia dove spesso risulta difficile derivare modelli di fenomeni a partire da principi primi.

Negli ultimi anni sono stati proposti vari algoritmi per l'identificazione degli HS, capaci di ricostruire sia le differenti modalità di funzionamento di un processo che la legge di commutazione tra esse. Indipendentemente dalle tecniche adottate, le procedure proposte hanno i seguenti obiettivi comuni: 1) classificare i dati sperimentali attribuendoli ai diversi sottomodelli; 2) stimare tutti i sottomodelli affini; 3) ricostruire le regioni poliedrali che determinano la commutazione tra i vari sottosistemi. I metodi proposti in [49,50,51] forniscono una stima del numero di differenti modalità di funzionamento del sistema. La principale limitazione delle suddette procedure è costituita dalla ricostruzione delle regioni nello spazio dei regressori, solitamente fatta attraverso algoritmi di pattern recognition.

OSSERVATORI

Un altro importante aspetto legato al controllo dei sistemi è la piena accessibilità dello stato. Questa non è sempre realizzabile nelle applicazioni pratiche, pertanto l'osservabilità e la sintesi di un osservatore per gli HS è un problema fondamentale tuttora aperta che verrà affrontato nell'ambito del progetto. Gli osservatori per sistemi ibridi, a commutazione, o a struttura variabile, sono spesso necessari quando si ha a che fare con sistemi non lineari sui quali agiscono disturbi. Il progetto dell'osservatore può essere cruciale nelle applicazioni pratiche allo scopo di sviluppare un controllo faul-tolerant. In [52], nuove definizioni di osservabilità e detectabilità sono state proposte per una classe di HS, ma ulteriori approfondimenti sono necessari per sviluppare una teoria completa. <<<