RICERCA ITALIANA     

Equazioni e sistemi ellittici e parabolici: stime a priori, esistenza e regolarità

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"

Abstract

Il gruppo intende svolgere attività di ricerca scientifica in Analisi Matematica nel campo dedicato alle Equazioni alle Derivate parziali, nei settori
1) Equazioni ellittiche
2) Equazioni paraboliche
3) Sistemi ellittici

Più precisamente, nell'àmbito del programma "Equazioni e sistemi ellittici e parabolici: stime a priori, esistenza e regolarità", le ricerche verteranno sull'esistenza, la sommabilità, la regolarità, l'unicità, le proprietà qualitative e asintotiche delle soluzioni di
• Equazioni ellittiche con dati irregolari
• Equazioni ellittiche con dati regolari
• Equazioni paraboliche con dati regolari ed irregolari
• Equazioni ellittiche e paraboliche con termini d'ordine inferiore
• Funzionali integrali
• Sistemi ellittici <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Lucio Boccardo Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"

Obiettivo del Programma di Ricerca

Nel panorama internazionale della ricerca in Analisi Matematica, giocano un ruolo importante i risultati di esistenza, unicità e regolarità di soluzioni per equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche e paraboliche, di natura variazionale (soluzioni di energia finita, minimi di funzionali integrali del Calcolo delle Variazioni) e non variazionale (soluzioni di energia infinita, funzioni di Green, soluzioni distribuzionali o molto deboli).
Il gruppo di ricerca nazionale composto dalle Unità locali di Firenze, Napoli e Roma, comprende ricercatori che hanno - nel recente passato - ottenuto diversi ed importanti risultati in questi campi, sviluppando contemporaneamente numerose tecniche adattabili ad altri contesti e ad altri problemi, come metodi per ottenere stime a priori, metodi di convergenza debole, forte e quasi ovunque per successioni di problemi approssimanti, definizione di spazi opportuni in cui cercare le soluzioni e definizioni più deboli di soluzione comunque in grado di garantirne l'unicità. Una descrizione dettagliata, e l'inquadramento internazionale, delle ricerche svolte dai membri del gruppo nel passato è contenuta nel successivo punto 2.2 (si veda anche la bibliografia successiva per le referenze a tali lavori).

Numerosi sono i filoni di ricerca che i membri del gruppo intendono seguire nel futuro. Un primo obiettivo è quello di completare alcune delle ricerche svolte in passato - specialmente nell'ambito delle soluzioni di energia infinita (non variazionali) di equazioni nonlineari ellittiche e paraboliche, campo nel quale i tre gruppi hanno ottenuto nel passato numerosi risultati, ma che necessità di ulteriori ricerche per espandere il più possibile la conoscenza di determinati fenomeni (unicità in presenza di bassa regolarità, miglioramento della regolarità della soluzione a partire da ipotesi minimali, dimensione degli insiemi di singolarità della soluzione). Un secondo obiettivo consisterà nello sfruttare le ricerche precedenti per affrontare problemi ulteriori, provenienti da modelli applicativi della fisica e della biologia, quali equazioni con termini di ordine inferiore, sistemi di equazioni con termini a crescita naturale, minimizzazione di funzionali non convessi (o non quasiconvessi), stime di regolarità e comportamento asintotico di soluzioni approssimanti. I diversi settori del progetto di ricerca - in gran parte comuni a più unità locali facenti parte del gruppo nazionale - sono spiegati in dettaglio nel successivo punto 2.3, mentre nel punto 2.4 sono spiegati i compiti delle singole unità relativamente a tali settori.

La ricerca, nella sua interezza, si svolgerà su due livelli: a livello locale, con i ricercatori di ogni singola unità impegnati nello sviluppo di alcuni dei problemi da affrontare; a livello nazionale con incontri bimestrali tra membri delle tre unità per fare "il punto della situazione", confrontare i risultati ottenuti e pianificare sviluppi successivi. Si prevede, inoltre, di organizzare un Convegno Nazionale a metà del secondo anno con l'invito di ricercatori esterni al gruppo per aumentare le conoscenze comuni e offrire una fotografia completa dello "stato dell'arte" delle ricerche. È da notare - tra l'altro - che membri delle varie Unità locali hanno nel passato organizzato diversi Convegni (nel 2000 alcune settimane di studio nell'ambito di un programma INdAM su problemi ad energia infinita, nel 2005 un Incontro internazionale a Cortona) e che è già previsto un Convegno a Cortona organizzato dai tre responsabili del gruppo.

Allo scopo di migliorare non solo la qualità delle ricerche, ma anche il loro inquadramento a livello internazionale, si prevede inoltre di invitare - nelle sedi delle varie Unità locali - diversi ricercatori esterni al gruppo. Sono anche previsti diversi viaggi - in Italia e all'estero - dei membri delle varie Unità locali.

Infine, allo scopo di proseguire la già notevole attività di avviamento alla ricerca di giovani ricercatori, si è pensato di prevedere incontri periodici tra dottorandi e postdoc afferenti ai vari gruppi di ricerca, sotto l'azione di "tutor" locali designati dalle varie Unità al loro interno. Inoltre, per gli evenutali assegnisti di ricerca (assegni da attribuirsi previo concorso) sono previsti soggiorni di breve durata nelle varie sedi locali allo scopo di proseguire le ricerche e di entrare in contatto con i diversi membri delle varie Unità locali. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La tradizione dello studio di problemi differenziali per equazioni e sistemi di tipo ellittico e parabolico è ben consolidata. Le teorie sviluppate in tali ambiti si basano in gran parte sulla nozione di soluzione debole e sull'uso di stime a priori. Il successivo studio della regolarità permette poi di stabilire anche l'esistenza di soluzioni classiche.
Si tratta di questioni centrali dell'Analisi Matematica che risalgono ai classici problemi di Hilbert. La tradizione italiana, in tale ambito, è ben nota alla comunità scientifica internazionale.
Le linee di ricerca sviluppate dai membri del gruppo nazionale si possono suddividere in quattro categorie differenti.

A) Equazioni ellittiche con dati regolari e non
Lo studio delle equazioni ellittiche è stato centrale per i ricercatori delle tre sedi locali. Nel seguito, ricordiamo i principali risultati ottenuti.

A1) Equazioni ellittiche non lineari
La teoria lineare per le equazioni ellittiche è ben consolidata, quella non lineare, di grande attualità sia per gli aspetti teorici che per le molteplici applicazioni, pur molto sviluppata è tuttora in fase di studio.
Ricordiamo che se è un aperto limitato di e A è una matrice ellittica di funzioni in , il problema di Dirichlet lineare


ammette un'unica soluzione debole per f in , per il teorema di Lax-Milgram. A partire da ciò, negli anni '60, due linee di ricerca furono iniziate da Stampacchia [St] e Meyers [M]. La prima tende a indebolire l'ipotesi su f fino a trattare il caso f in L^1 o misura (per lo studio della funzione di Green importante è il caso in cui la misura sia la massa di Dirac) e si trovano soluzioni con gradiente in L^q, per ogni . La seconda concerne il caso di dati in spazi di Sobolev più ampi di . Per f = div(F), F in L^r (con r minore di 2), si trovano soluzioni con gradiente in L^r, purché r sia "vicino a 2". Poiché sia i risultati di Stampacchia che quelli di Meyers sono ottenuti per dualità da teoremi di regolarità ottenuti da loro e da De Giorgi [Dg], essi non possono essere adattati a problemi di Dirichlet non lineari. Inoltre, in entrambi i casi, le soluzioni non hanno energia finita (non hanno gradiente in L^2). Negli stessi anni, James Serrin [Se] diede l'esempio di una matrice M(x) tale che il problema di Dirichlet (1) con f = 0 può avere più di una soluzione con gradiente in L^q, . In altre parole, la perdita di regolarità (ovvero, l'energia non finita) porta alla perdita dell'unicità. Alcune delle ricerche svolte negli anni passati da membri del gruppo nazionale concernono situazioni non lineari che hanno le tre tematiche sopra descritte come radice.

• La prima radice concerne le equazioni ellittiche con dati non regolari. Partendo dai risultati di [St] nel caso lineare e di [BS], [BB], [BBC] nel caso semilineare, lo studio è stato proseguito affrontando problemi di Dirichlet nonlineari (modello è quello con l'operatore p-Laplaciano) a dato misura a variazione limitata in un aperto limitato. Si segnalano, tra gli altri, i lavori [BG1], [BG2], [BM], [BBGGPV], [BGO], [DMOP]. Nell'affrontare tali problemi - nei quali la soluzione non appartiene allo spazio dell'energia - sono state sviluppate numerose tecniche e sono state introdotte due diverse nozioni di soluzione (generalizzazioni del concetto di soluzione distribuzionale) che permettono - in alcuni casi - di "recuperare" l'unicità della soluzione (che non vale per soluzioni non regolari): la soluzione di entropia e quella rinormalizzata.

• La seconda radice concerne lo studio della regolarità di soluzioni "deboli" o "molto deboli". In [IS2], [IS4], è stato affrontato per equazioni di tipo p-armonico, cioè di soluzioni distribuzionali il cui gradiente a priori è integrabile con un esponente minore di quello naturale. Nel caso generale, uno strumento essenziale si è rivelata una proprietà di stabilità della decomposizione di Hodge mostrata in [I] nello studio delle mappe debolmente quasiregolari. Un altro approccio al problema della regolarità delle soluzioni "molto deboli" è quello di Lewis [L]. In tutti questi lavori, viene mostrato che le soluzioni molto deboli, sotto opportune condizioni, sono in realtà soluzioni distribuzionali nel senso usuale. Sono stati introdotti nuovi spazi funzionali, i cosiddetti grandi spazi di Lebesgue L^p) e di Sobolev W^{1,p)} [IS1], [B1997].
Per quanto concerne la regolarità di soluzioni di equazioni e sistemi di tipo ellittico con condizioni di crescita anisotropa, lo studio risale a un ben noto controesempio di [Gi], [Ma4]. Risultati di regolarità con crescite di tipo generale sono stati ottenuti inizialmente in [Ma4] (per stime a priori fini di limitatezza si veda Boccardo, Marcellini e Sbordone [BMS]). Tale studio è continuato da molti autori italiani e stranieri (si veda il libro [Bi] per una bibliografia recente).
La regolarità "ovunque" per soluzioni di equazioni e sistemi differenziali di tipo ellittico è stata studiata in [Ma5], nel caso di funzionali convessi, estendendo un noto risultato di regolarità di [Uh]. Nuovi risultati di regolarità "ovunque" per soluzioni di sistemi ellittici con crescite di tipo generale, che includono sia alcuni casi a crescita lineare, sia crescita polinomiale che esponenziale, sono stati ottenuti in [MarP].

• La terza radice concerne l'unicità ed è stata segnalata insieme con le due precedenti: una questione vicina è quella dello sviluppo dell'interpretazione variazionale. Si segnala sia l'approccio con la teoria dei "minimi deboli", che quello dei T-minimi (di cui si parlerà in seguito).

A2) Equazioni ellittiche in forma implicita
Dacorogna-Marcellini in [DM1], [DM2] hanno ottenuto risultati di rilievo relativi all'esistenza di soluzioni di equazioni e sistemi differenziali del primo ordine, e di ordine superiore, in forma implicita. Il loro metodo è stato applicato nella monografia [DM2] per risolvere (sia pure in casi particolari) il problema delle "buche di potenziale", problema introdotto in [BJ]. Inoltre sono state studiate anche questioni di esistenza per i cosiddetti "valori singolari" della matrice del gradiente di applicazioni vettoriali. Un ambito di applicazione dei risultati di esistenza per equazioni differenziali implicite, è quello di problemi di ottimizzazione scalari non convessi e problemi di ottimizzazione vettoriali non quasiconvessi. Le prime ricerche su problemi variazionali non convessi la cui equazione differenziale di Eulero è alle derivate parziali, sono dovuti a [Ma1]. Per ulteriori ricerche si vedano [MS], [Mas]. Più recentemente si può consultare il lavoro [FFM1], in cui viene messo in evidenza il legame fra regolarità ed esistenza. In questo ambito è opportuno citare anche i lavori [CCG1], [CCG2], [CM].
A partire dalla monografia di Morrey [MO], che ha studiato le proprietà di continuità debole del determinante Jacobiano (definito nel senso delle distribuzioni) di una applicazione u definita in a valori in , ha giocato un ruolo centrale nel calcolo delle variazioni vettoriale (si vedano anche [Ba], [Mu], [IS]). Il ruolo del determinante Jacobiano nello studio di mappe armoniche con singolarità è stato iniziato in [BCL]. Negli ultimi anni vari tentativi sono stati fatti per stabilire le relazioni che intercorrono fra e la "variazione totale" del determinante Jacobiano . Recentemente si è avuto un nuovo impulso al settore di ricerca con i lavori [FFM1], [FFM2], relativi a mappe con singolarità e concentrazione di energia su insiemi di dimensione bassa (un punto isolato, in particolare). I risultati sono in parte sorprendenti; comunque l'approccio in [FMar], [FFM3] era già stato considerato in [Ma3], [GMS], [FMar]. Si vedano anche [Pa], [Muc].

A3) Equazioni non unformemente ellittiche
In connessione con la teoria delle mappe a distorsione finita, negli ultimi anni, è stato affrontato anche lo studio delle soluzioni ad "energia finita" di equazioni ellittiche degeneri di tipo Leray-Lions,


La funzione che misura il grado di degenerazione dell'operatore viene assunta esponenzialmente integrabile, quindi non necessariamente limitata, pertanto le condizioni di crescita dell'operatore indicano che gli spazi naturali per il gradiente di soluzioni ad energia finita sono gli spazi di Orlicz-Zygmund studiati in [FLS], [BFS], [IV], [RR]. Il caso a crescita quadratica è stato studiato da Iwaniec-Sbordone in [IS4]. Nel caso generale si è rivelata fondamentale per lo sviluppo della teoria una stima a priori dimostrata in [IMMP]. Grazie a questa stima, in [IKMS] è stato determinato un modulo di continuità "ottimale" per mappe a distorsione esponenzialmente integrabile che si riferiscono al caso p = N. Nel caso omogeneo, recenti risultati di regolarità per soluzioni locali ad energia finita sono stati ottenuti in [M2], [CMP2]. Un ulteriore campo di ricerca ha riguardato lo studio delle equazioni ellittiche di tipo non variazionale con un operatore differenziale ellittico del secondo ordine a coefficienti BMO.

<strong>B) Equazioni paraboliche con dati regolari e non
Un argomento comune alle tre sedi è quello delle equazioni paraboliche con dati regolari o no. Diamo nel seguito una breve descrizione delle problematiche affrontate negli anni passati.

B1) Dati regolari
La teoria degli operatori ellittici e parabolici con coefficienti illimitati (a partire dagli articoli di Cannarsa e Vespri [CV1], [CV2]) è oggetto di crescente interesse, anche per via della trattazione analitica di equazioni differenziali stocastiche che modellizzano, ad esempio, fenomeni relativi all'economia. Alcuni recenti risultati contenuti in [MPV], [CF] danno risultati di generazione di semigruppo in con descrizione esplicita del dominio e, come conseguenza, l'esistenza di soluzioni di equazioni paraboliche. Per ulteriori sviluppi ricordiamo gli articoli [MPRS], [Ra]. Altri studi nel campo delle equazioni paraboliche sono in [MM], per l'equazione parabolica non lineare della curvatura media assegnata. Questione abbastanza vicina a recenti ricerche di Porzio a Roma da giustificare un tentativo, già iniziato, di interazione fra le due sedi.
Le stime di Harnack paraboliche sono state dimostrate in [Pi], [Had] nel 1954 per l'operatore del calore; tale risultato è stato esteso per soluzioni positive di equazioni paraboliche a coefficienti limitati e misurabili in [Mos]. La dimostrazione data da Moser non si adatta però al caso di operatori tipo p-laplaciano. Nel recente lavoro [DGV] i risultati di Moser sono stati estesi al caso del p-laplaciano (per p maggiore di 2) utilizzando un approccio nuovo. Il caso p minore di 2 è ancora aperto, e sembra richiedere stime precise sulla norma uniforme per soluzioni di equazioni paraboliche singolari.

B2) Dati non regolari <br />Lo studio delle equazioni paraboliche nonlineari con dati misura si è sviluppato a partire da [BG1], [DO], [BDGO1]. Successivamente sono stati affrontati problemi di regolarità delle soluzioni [BDGO2] e il loro comportamento asintotico per t tendente all'infinito [Pe1]. Infine è stata data la definizione di soluzione rinormalizzata per equazioni paraboliche (estendendo il corrispondente concetto "ellittico"), dimostrandone l'esistenza [Pe2].

C) Equazioni ellittiche e paraboliche con termini di ordine inferiore

C1) Termini di ordine inferiore dipendenti dalla soluzione
Ricordiamo che Brezis ([B]) considera un problema di Dirichlet relativo ad un'equazione non lineare con dato in L^1 e dimostra che, sotto opportune ipotesi sulla nonlinearità, esiste una ed una sola soluzione nel senso delle distribuzioni. In un contesto più generale, in cui invece del dato L^1 si considera una misura di Radon, lo stesso risultato rappresenta un teorema di non esistenza. Tale fenomeno si presenta, come chiarito in [BP], quando esiste una precisa relazione tra la nonlinearità dell'equazione e la piccolezza, misurata in termini di una opportuna capacità del secondo ordine, dell'insieme in cui il dato misura è concentrato. Sull'argomento, oltre ai già ricordati contributi di [B], [BP], ricordiamo i lavori [Va], [Ve], [GM]. Nel caso di operatore non lineare,il fenomeno è stato studiato in [OP1], [OP2], dove, per poter assicurare l'unicità delle soluzioni dei problemi considerati, le soluzioni distribuzionali sono state sostituite dalle soluzioni di entropia. In [FP], [F], il risultato di [OP1] è stato rivisitato alla luce della teoria degli spazi di Orlicz. Nel nuovo contesto, le potenze che appaiono nell'equazione e nella nozione di capacità sono sostituite da funzioni di Young. Tale generalizzazione ha permesso di studiare anche i casi limite non contemplati in [OP1].

C2) Termini di ordine inferiore dipendenti dal gradiente della soluzione
Nel caso quasilineare, base di partenza sono i contributi [BG3], [BBM], [BGO2], [OP] (risultati di esistenza e non esistenza di soluzioni nello spazio dell'energia a seconda di quanto la misura è "singolare" rispetto alla p-capacità). Risultati di non esistenza paragonabili a quelli ottenuti in [BGO2], [OP] sono stati ottenuti in [BN] con metodi di rimozione di singolarità. Nel caso in cui non ci sia "condizione di segno", sono stati dimostrati risultati di esistenza di soluzioni limitate sotto ipotesi di regolarità sui dati ([BMP1], [BMP2] per il caso ellittico e [OPo] per quello parabolico), risultati di non unicità nel caso ellittico per dati meno regolari [DGP], esistenza di soluzioni nel caso parabolico [ABOS].

D) Funzionali integrali
Un ultimo argomento affrontato dalle sedi del gruppo nazionale negli anni passati riguarda gli integrali multipli del Calcolo delle Variazioni: descriviamo qui brevemente i risultati ottenuti in tale ambito.

D1) Minimizzazione
Una delle nostre basi è lo sudio dell'esistenza e della regolarità di minimi per funzionali del Calcolo delle Variazioni. La motivazione non è soltanto culturale. Nel nostro ambiente scientifico, le ipotesi di partenza in problemi di equazioni (anche se non equazioni di Eulero-Lagrange di funzionali) sono quelle che che le equazioni di Eulero-Lagrange suggeriscono naturalmente. L'esistenza di soluzioni di sistemi differenziali di tipo ellittico si basano anche sulla semicontinuità inferiore in topologie deboli di spazi di Sobolev. Nel caso vettoriale la condizione naturale è quella della quasiconvessità introdotta in [Mo] e applicata in [Ba] all'elasticità non lineare. Risultati significativi sono stati ottenuti in [AF], [Ma2], [MarS], [FL1], [FL2], [DeCL], [FMas]. Uno dei più noti e classici risultati scalari sulla semicontinuità nella topologia forte di L^1 è contenuto in [Se]; condizioni più generali per la validità di tale risultato sono state recentemente trovate in [GM], [GMM], dando impulso ad una serie di lavori sull'argomento, tra i quali [DeCFV], [FGM]. Nel caso di dati non regolari, quando il funzionale non è definito o non ammette minimo, sono state date opportune definizioni di "minimo" ("minimo debole" e "T-minimo"), dimostrando successivamente teoremi di esistenza e di unicità. Come già ricordato, lo studio della minimizzazione e della regolarità del minimo di funzionali del Calcolo delle Variazioni è anche strettamente collegata alle equazioni ellittiche con termini di ordine inferiore dipendenti dal gradiente.

D2) Comportamento asintotico
Altra radice culturale di questo gruppo e la "gamma-convergenza", una teoria ormai classica, iniziata dal lavoro pionieristico negli anni '70 di Ennio De Giorgi e della sua scuola (Boccardo, Marcellini e Sbordone fra i primi hanno lavorato sull'argomento in [BM], [MS]). Nella sezione locale di Firenze si è continuato a prestare attenzione a tali problemi, riportandovi l'interessamento attuale anche delle altre due sedi. <<<