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PROGRAMMA DI RICERCA

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Unità di Ricerca
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Bibliografia
The following text is a partial bibliographical account of recent publications due to authors enrolled in the program. The quoted papers are representative of the research themes to be considered by the project as well as of the actual interest and experience in the field of the people involved. Each section of the bibliography corresponds to a research section of the project, (bearing the same letter and approximately the same title). The research sections of the project are described more in detail in 2.4.
Reading the text could be the more appropriate and helpful method for detecting the background of the project as well as its objectives and the possible evolution.
REMARKS The bibliography mainly refers to the last four years. For each section the number of references has been limited to about 10. The name of a coauthor which is not taking part to the project is followed by *.

-A- CURVES AND THEIR MODULI SPACES
[1] A.BRUNO, A.VERRA: M_15 is rationally connected, in Projective Varieties with unexpected properties 51-65, W. de Gruyter Berlin (2005)
[3] L.CAPORASO,E.SERNESI: Characterizing curves by their odd theta characteristics. J. Reine Angew. Math. 562, 101-135 (2003)
[4] L.CAPORASO, C.CASAGRANDE: Combinatorial properties of stable spin curves, Commun. Algebra 31,, 3653-3672 (2003)
[5] L.CAPORASO, C.CASAGRANDE, M.CORNALBA*: Moduli of limit roots of line bundles on a curve, to appear in Transactions of AMS (2006)
[6] L.CAPORASO: Neron models over moduli of stable curves, arXiv e-preprint AG0502171 (2005)
[7] L.CAPORASO, E.ESTEVES*: On Abel maps of stable curves, ArXiv e-preprint AG0603476 (2006)
[8] L.CAPORASO 'On certain uniformity properties of curves over function fields', Compositio Mathematica v.130 1-19 (2002)
[9] F.FLAMINI, A.KNUDSEN, G.PACIENZA*: Singular curves on a K3 surface and linear series on their normalizations", arXiv e-preprint AG/0505266, (2005),
[10] A.VERRA: The unirationality of the moduli space of curves of genus 14 and lower, Compositio Math. 141, 1425-1444 (2005)


-B- CURVES, JACOBIANS AND ABELIAN VARIETIES
[1] E. ARBARELLO*, I. KRICHEVER*, G.MARINI: Characterizing Jacobians via flexes of the Kummer variety, Mathematical Research Letters, 13 (2006), 109-123.
[2] U. BRUZZO, D. HERNANDEZ-RUIPEREZ*, Semistability vs. nefness for (Higgs) vector bundles, to appear in Diff. Geom. Appl. (2006)
[3] A. COLLINO, N. FAKHRUDDIN*, Indecomposable higher Chow cycles on Jacobians, Mathematische Zeitschrift, 240, 111-139 (2002)
[4] V. KANEV: Hurwitz spaces of quadruple coverings of elliptic curves and the moduli space of abelian threefolds A_3(1,1,4)$}, Math. Nachrichten 278 154--172 (2005)
[5] G. PARESCHI, M.POPA*: Regularity on abelian varieties II: basic results on linear series and defining equations , J. Algebraic Geom. 13 (2004), 167--193.
[8] G. PARESCHI, M.POPA*: Castelnuovo theory and the geometric Schottky problem, ArXiv e-preprint AG/0407370
[9] G. PARESCHI, M.POPA*: M-regularity and the Fourier-Mukai transform, preprint math.AG/0512645
[10] R.SCHOOF Abelian varieties over Q with bad reduction in one prime only Compositio Math. vol. 141 847-868 (2005)
[11] A.VERRA, B.VAN GEEMEN*: Quaternionic Pryms and Hodge classes, Topology 42, 35-53 (2003)


-C-MODULI OF STABLE MAPS AND GROMOV-WITTEN INVARIANTS
[1] K.BEHREND*, B. FANTECHI B: The intrinsic normal cone, Inventiones Math. 128 45-88 (1997)  
[2] K BEHREND*, B. FANTECHI: Symmetric obstruction theories and Hilbert schemes of points on threefolds, preprint math.AG/0512556.
[3] V. BRAUN*, P. CANDELAS*, A. GRASSI, X. DE La OSSA*, Dualities between N=1 theories to appear in Comm. Math Physics (2006)
[4] B. FANTECHI, L GOETTSCHE: Orbifold cohomology for global quotients, Duke Math J vol 117,2003, 197-227.
[5] B. FANTECHI B., R. PANDHARIPANDE*: Stable maps and branch divisors. Compositio Math. 130 345-364 (2002)
[6] A.GRASSI, D.MORRISON*: Group representations and the Euler Characteristic of elliptically fibered Calabi-Yau threefolds, {math.AG/0005196}, Jour. of Alg. Geom., 12}, (2003) 321-356.
[7] M.GRASSI: Self-dual manifolds and mirror symmetry for the quintic threefold, Asian J. of Math. 9 (2005).
[8] T.R. RAMADAS: The Harder-Narasimhan Trace and Unitarity of the KZ/Hitchin Connection, to appear in Annals of Mathematics

-D- ALGEBRAIC SURFACES AND THEIR MODULI SPACES
[1] A. CALABRI*, C. CILIBERTO, M. MENDES LOPES*: Even sets of four nodes on rational surfaces", Mathematical Research Letters., 11 (2004), 799-808.
[2] A. CALABRI*, C. CILIBERTO, M. MENDES LOPES*: On the classification of numerically Godeaux surfaces with an involution, Transactions of the AMS.
[3] A. CALABRI*, C. CILIBERTO, F.FLAMINI, R. MIRANDA*: On the K^2 of degenerations of surfaces and the multiple point formula, to appear on Annals of Mathematics (2006), 1--43.
[4] F. GALLUZZI, G. LOMBARDO, Correspondences between K3 surfaces, with an appendix by I. Dolgachev, Michigan Math. J. (52), 267-277, 2004.
[5] C.GASBARRI, M. MCQUILLAN: Roth's theorem for ruled surfaces, Amer. J. Math. 127 (2005), no. 3, 471--492.
[6] C. HACON*, R. PARDINI: Birational characterization of products of curves of genus 2. Math. Res. Letters 12 (1) (2005). pp. 129-140 ISSN: 1073-2780
[7] M. MENDES LOPES*, R. PARDINI: The classification of surfaces with p_g=0, K^2=6 and non birational bicanonical map. Math. Annalen 329 535-552 (2004)
[8] M. MENDES LOPES*, R. PARDINI: A new family of surfaces with p_g=0 and K^2=3. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 37 pp. 507-531
[9] R. PARDINI: The Severi inequality K^2>= 4chi for surfaces of maximal Albanese dimension, Inventiones Math. 153 669-672 (2005)


-E- BIRATIONAL GEOMETRY AND HIGHER DIMENSIONAL CLASSIFICATION
[1] M.BELTRAMETTI*, M.L.FANIA, A.SOMMESE* : A note on P^1-bundles as hyperplane sections, Kyushu Journal of Mathematics 59 301-306(2005)
[2] M.BERTOLINI*, M.L.FANIA: Low degree threefolds in P^6, Math. Nachrichten 278, 17-33 (2005)
[3] C.CILIBERTO, M.MELLA, F,RUSSO*: Varieties with one apparent double point, J. Alg. Geom. 13 475-512 (2004)
[4] C.CILIBERTO, F.RUSSO*: Varieties with minimal secant degree and linear systems of maximal dimension on surfaces", Advances in Math., 200 (1) 1-50 (2006)
[5] A.CORTI*, M.MELLA: On the birational geometry of quartic 3-folds I, Amer. J. Math. 126 (2004) 739-761
[6] M.MELLA On the birational geometry of quartic 3-folds II: the importance of being Q-factorial, Math. Ann. 330 (2004) 107-126
[7] P.SUPINO, G.CASNATI: Construction of threefolds with finite canonical map Glasg. Math. J. 44 65-79 (2002)



-F- PROJECTIVE GEOMETRY AND SPECIAL PROJECTIVE EMBEDDINGS
[1] E.ARRONDO*, M.L.FANIA: 'Evidence to subcanonicity of codimension two subvarieties of G(1,4)', International J. of Math., 17 157-168 (2006)
[2] V.BEORCHIA, C.CILIBERTO, V.DI GENNARO: Canonical map of low codimensional subvarieties, J. Pure and Appl. Algebra, 197, (2005) 183-212
[3] E.BALLICO, C.FONTANARI: A Terracini lemma for osculating spaces with applications to Veronese surfaces, J. Pure Appl. Algebra 195 (2005), 1-6.
[5] L.CHIANTINI, C.CILIBERTO**: The classification of defective threefolds, in Projective Varieties with unexpected properties 131-176, W. de Gruyter Berlin (2005)
[6] Ph. ELLIA, C. FOLEGATTI: On the canonical map of smooth surfaces in P4, Commun. Algebra 32, No.2, 707-713 (2004).
[7] A.F.LOPEZ, Z.RAN*, 'On the irreducibility of secant cones and an application to linear normality', Duke Math. J., 117 (2003), no. 3, 389-401.
[8] L.MANIVEL*, E.MEZZETTI: On linear spaces of skew-symmetric matrices of constant rank. Manuscripta Math. 117 (2005), no. 3, 319—331
[9] M.ROGGERO, P.VALABREGA: The speciality lemma, rank 2 bundles and Gherardelli-type theorems for surface in P^4, Comp. Math., 139, 2003, 101-111.
[10] E.SERNESI: Deformations of Algebraic Schemes, Grudlehren der Mathematischen Wissenschaft vol. 334 300 pages Springer Berlin (2006)
Parole Chiave
CURVA, SUPERFICIE ALGEBRICA, VARIETA' ABELIANA, SPAZIO DEI MODULI, MAPPE STABILI, SPAZIO DI MORI, RAZIONALMENTE CONNESSO, MAPPA BIRAZIONALE, SECANT VARIETY

Geometria delle varieta algebriche e dei loro spazi di moduli

Università degli Studi Roma Tre
Abstract
Il programma di ricerca si inserisce in un tema centrale nell'evoluzione della conoscenza matematica, vale a dire lo studio delle varieta' definite da un sistema di equazioni polinomiali. Con il nome di Geometria Algebrica questo tema ha percorso tutta la storia matematica del Novecento sviluppandosi per onde successive: la scuola italiana di Castelnuovo, Enriques e Severi, le congetture di Weil, gli EGA di Grothendieck e Dieudonne', il riaffermarsi dei temi classici nell'ultimo quarto del secolo scorso, i poderosi sviluppi in Aritmetica e Teoria dei Numeri, fino alla piu' generale fioritura di risultati ed applicazioni molteplici della nostra storia piu' recente.
In tutta questa vicenda il contributo italiano e' sempre stato notevole e spesso di assoluto rilievo. Oggi la ricerca italiana nel campo della Geometria algebrica rappresenta, per il nostro paese e per la comunita' scientifica internazionale, una risorsa di speciale importanza. Il programma intende fondarsi su questa risorsa ed utilizzare le sue riconosciute capacita' di produrre risultati eccellenti per qualita' e rilievo. Piu' particolarmente esso fara' riferimento alle positive esperienze di ricerca conseguite dai precedenti programmi PRIN 'Geometria delle Varieta' Algebriche', sviluppatisi nel corso degli anni avendo come oggetto ricerche collocate nello stesso campo.
Il filo principale che unifichera' tutto il lavoro sara' la nozione di varieta' algebrica, prevalentemente definita su un campo algebricamente chiuso e completa. In natura le varieta' algebriche si distribuiscono in famiglie e sono dotate di invarianti, di tipo coomologico e numerico, che caratterizzano l'appartenenza ad una famiglia. Lo studio delle famiglie porta all'analisi dei relativi spazi di parametri e dei loro quozienti rispetto ad opportune relazioni di equivalenza, come l'equivalenza birazionale o l'equivalenza per isomorfismi biregolari. I problemi di classificazione birazionale delle varieta' algebriche, la nozione di spazio dei moduli e l'analisi dei vari tipi di invarianti appartengono, come e' ben noto, a quest'ordine di idee. Altrettanto ben collegati a questi temi sono la teoria delle deformazioni di una varieta' algebrica da un lato e lo studio delle stesse mappe birazionali dall'altro.
Un altro aspetto fondamentale relativo alle stesse tematiche riguarda la natura proiettiva degli oggetti considerati: in molti casi si tratta di famiglie di varieta' immerse in uno stesso spazio proiettivo. E' quindi cruciale comprendere le proprieta' di una immersione proiettiva: proprieta' differenziali degli spazi secanti e tangenti, proprieta' algebriche dell' ideale omogeneo, proprieta' riguardanti lo schema di Hilbert e le possibili degenerazioni della varieta' immersa. Piu' in generale lo studio delle immersioni apre ad ulteriori indagini che vanno da questioni come la congettura di Hartshorne allo studio di varieta' e costruzioni speciali, proprie della geometria algebrica classica.
Le interazioni delle precedenti tematiche con altri campi di ricerca sono particolarmente fruttuose, oltreche ricche di storia e di cultura, per quanto riguarda la fisica teorica e la teoria delle stringhe da un lato e per quanto riguarda l' aritmetica e la teoria dei numeri dall'altro. Il programma sviluppera' il proprio lavoro di ricerca facendo riferimento al quadro generale appena descritto e curando attentamente queste ultime interazioni.
I temi principali di ricerca su cui collaboreranno le 5 unita' del programma possono essere cosi' riassunti:

-curve e loro spazi di moduli
-curve, jacobiane e varieta' abeliane
-moduli di mappe stabili e invarianti di Gromov-Witten
-superfici algebriche e loro spazi di moduli
-geometria birazionale delle varieta` algebriche e classificazione
-geometria delle immersioni proiettive e studio di varieta' speciali

Sono previsti 4 assegni annuali (70000 euro) per i migliori giovani post-doc interessati a collaborare al programma. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Alessandro Verra Università degli Studi ROMA TRE
Obiettivo del Programma di Ricerca
Questo progetto si propone di ottenere una serie di risultati originali, di notevole eccellenza e rilievo, in uno dei campi di ricerca di maggiore importanza per l`evoluzione delle conoscenze matematiche, vale a dire nel campo della Geometria Algebrica. L'obiettivo principale sul quale verranno a convergere e ad amalgamarsi gli interessi e le competenze specifiche dei partecipanti al progetto sara' dunque lo studio generale delle varieta' algebriche, ed in particolare dei loro spazi di moduli. Il lavoro di studio e di ricerca sara' effettuato utilizzando tutti i principali punti di vista e mediante l'uso di strumenti diversi e complementari, messi a disposizione dalle cinque unita' del progetto. Sono inoltre prevedibili, come parte degli obiettivi del programma, applicazioni ed interazioni con il campo della fisica teorica (teoria delle stringhe e congettura di Witten generalizzata) da un lato e da un altro lato con l’aritmetica e la teoria dei numeri.
Una caratteristica del programma sara' la focalizzazione sugli esempi e sugli oggetti geometrici concreti. In particolare il programma rivolgera' un' attenzione speciale allo studio diretto di quelle varieta' e di quegli spazi di moduli che sono di cruciale interesse per lo sviluppo delle conoscenze in geometria algebrica. Tali oggetti costituiranno il filo conduttore ed il quadro generale di riferimento per le varie sezioni in cui e' articolato il programma. Su di essi convergera' il lavoro comune, sviluppato da tutti i punti di vista: geometria birazionale e metodi di classificazione in dimensione qualsiasi, tecniche della geometria algebrica proiettiva e proiettivo-differenziale, studio degli spazi di moduli delle varieta' algebriche e dei loro invarianti, studio delle famiglie di curve su una varieta', studio di proprieta' enumerative e di proprieta' coomologiche, studio delle proprieta' di natura aritmetica, studio delle relazioni con la geometria simplettica e la fisica, eccetera.
Il programma cerchera' di ottenere risposte concrete e risolutive su numerosi problemi cruciali aperti, puntando di conseguenza ad un significativo aumento delle conoscenze nel settore. Il conseguimento di obiettivi di questo tipo non e' una novita' per i partecipanti al progetto, che hanno gia' raggiunto risultati ben visibili ed ampiamente riconosciuti a livello internazionale, nel corso di precedenti collaborazioni all'interno di programmi nazionali od europei del tutto simili a quello che viene qui presentato.
Il progetto si fonda sul patrimonio scientifico attuale, e sulla grande tradizione, della Scuola italiana di Geometria Algebrica. Esso punta ad utilizzare e ad organizzare al meglio una parte importante delle notevoli risorse umane presenti in questo settore della ricerca nazionale. Infine la speciale attenzione del progetto verso gli studiosi giovani e meritevoli costituisce un investimento ed un obiettivo importante per il futuro della ricerca italiana in Geometra Algebrica. In particolare i giovani saranno coinvolti anche con assegni e contratti per un importo complessivo di circa 70000 euro. <<<
Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
Per valutare la base di partenza scientifica, nazionale ed internazionale, del programma puo' essere utile considerare i seguenti aspetti:
(1)- Stato di avanzamento delle ricerche sulle varieta' algebriche a livello internazionale e situazione italiana.
Questo aspetto e' ben noto ed e' stato sottolineato in altri punti di questa presentazione: la ricerca in geometria algebrica e' di particolare importanza per tutta la matematica ed e' al centro dell'interesse. La situazione italiana e' molto positiva: la scuola italiana di geometria algebrica, le cui forze sono in misura notevole coinvolte nel presente programma, e' uno dei punti di forza di tutta la ricerca internazionale di settore.

(2)- Competenza ed esperienza dei partecipanti rispetto al tipo di ricerche che costituiranno il loro specifico compito.
Sono molto ampi e di primissimo piano i risultati, vecchi e nuovi, gia' ottenuti dai partecipanti al progetto su tutti i temi di ricerca espressi dal programma. Per rendere conto di cio' e' stato preparata una bibliografia di pubblicazioni recenti dei partecipanti. La bibliografia e' allegata nel successivo punto 2.2a.

La lettura della bibliografia e' con ogni probabilita' il modo piu' conveniente per valutare la qualita' e le possibilita' del progetto.

(3)-Capacita' complessiva del progetto per quanto riguarda il coordinamento e la organizzazione delle competenze specifiche dei partecipanti e delle attivita' di collaborazione.
Le capacita' organizzative e di funzionamento del progetto sono state piu' volte sperimentate, dai partecipanti, nel corso di altri progetti nazionali od europei riguardanti la geometria algebrica. In particolare si concludera' nel presente anno un progetto PRIN di ricerca in geometria algebrica che e' all'origine del presente progetto e che ha visto la partecipazione delle persone qui coinvolte. Tale progetto, oltre a produrre risultati di ricerca molto interessanti, ha dimostrato una capacita' ottimale di funzionamento per quanto riguarda la organizzazione scientifica del lavoro dei partecipanti.

(4)-Credito scientifico del pool di forze disponibili al progetto e capacita' di coinvolgere altre realta' di ricerca nazionali ed internazionali.
Il progetto, per il tramite dei suoi partecipanti. si trovera' inserito in una fitta rete di consolidati collegamenti scientifici con i piu' importanti centri internazionali di ricerca in geometria algebrica. Il peso scientifico internazionale del gruppo dei partecipanti al progetto trova conferma, in particolare, nei seguenti dati di fatto:
-i numerosi lavori in collaborazione dei partecipanti con ricercatori stranieri di grande prestigio,
-il coinvolgimento di un rilevante numero di partecipanti nelle iniziative piu' importanti in geometria algebrica, (organizzatori o plenary speakers nei maggiori convegni internazionali del settore, editors e referees per importanti riviste, responsabili di reti di ricerca internazionali). In particolare e' sempre stato molto importante il contributo che molti tra i partecipanti al progetto attuale hanno dato alle principali reti di ricerca europea nel corso degli anni. Tra queste basti citare i precedenti progetti EUROPROJ ed EAGER, ma anche il progetto di geometria e fisica matematica ENIGMA ed il progetto di geometria aritmetica AAG (Arithmetic Algebraic Geometry). <<<