RICERCA ITALIANA     

ANALISI NELLE SPAZIO DELLE FASI PER EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI

Università di Pisa

Abstract

Lo studio delle equazioni alle derivate parziali (EDP) ha visto negli ultimi decenni un grande sviluppo sia dal punto di vista della teoria sia da quello delle applicazioni. Notevole parte di questo sviluppo è dovuto alla cosiddetta analisi nello spazio delle fasi o analisi microlocale. L'idea di fondo, posta al crocevia tra l'analisi armonica, l'analisi funzionale, la meccanica quantistica e l'analisi algebrica, è che un gran numero di fenomeni dipendono congiuntamente da posizione e frequenza e possono quindi essere ben compresi e descritti nello spazio delle fasi. Con l'introduzione dell'analisi nello spazio delle fasi, all'inizio degli anni '70, sono stati messi in evidenza molti problemi comuni ad argomenti della teoria delle EDP tradizionalmente distinti, come ad esempio le equazioni ellittiche e le equazioni iperboliche, e la teoria delle EDP è stata "geometrizzata", ponendo l'accento sulle sue proprietà di natura invariante. Vari strumenti sono stati introdotti, e lo sviluppo di questi strumenti è ancora un campo attivo di ricerca ed è uno degli obiettivi scientifici del presente Programma.
I ricercatori facenti parte di questo Programma, pur non occupandosi tutti dei medesimi problemi e pur nella varietà degli argomenti studiati, condividono tematiche generali e metodi riconducibili all'ambito dell'analisi microlocale e hanno avuto ed hanno tra loro stretti rapporti scientifici, come testimoniato da numerose pubblicazioni in collaborazione.
I principali temi oggetto del Programma possono essere così raggruppati:
A) stime di Carleman: problemi di unicità e problemi di controllo;
B) problema di Cauchy per equazioni e sistemi iperbolici;
C) operatori iperbolici a coefficienti poco regolari, o rapidamente oscillanti; problemi di scattering;
D) problemi di ipoellitticità e di locale risolubilità;
E) problemi di analisi microlocale e calcolo pseudodifferenziale.
Per ognuno di questi temi, partendo da un lato dai classici e fondamentali risultati esistenti e dai più recenti progressi ottenuti in campo internazionale, e dall'altro dalle ricerche svolte precedentemente dai partecipanti al Programma, spesso in collaborazione con studiosi stranieri di altissima qualificazione scientifica, si intende approfondire lo studio di alcuni argomenti particolarmente interessanti e significativi al fine di ottenere nuovi risultati e nuove interpretazioni delle teorie esistenti.
In particolare per il punto A) si vogliono studiare l'unicità della soluzione del problema di Cauchy per operatori iperbolici o per campi vettoriali a coefficienti poco regolari, l'unicità per operatori singolarmente principalmente normali e la forte unicità per operatori ellittici di ordine superiore, questioni di controllabilità e osservabilità e loro applicazioni, in particolare alle equazioni di Hamilton-Jacobi ed infine argomenti di analisi qualitativa per equazioni di evoluzione.
Per il punto B) si vuole studiare il problema di Cauchy per operatori debolmente iperbolici del secondo ordine o di ordine superiore, scalari e vettoriali e le condizioni di Levi per sistemi iperbolici a caratteristiche multiple.
In C) si vuole studiare l'effetto di perdita di regolarità delle soluzioni del problema di Cauchy per operatori strettamente o debolmente iperbolici a coefficienti poco regolari o rapidamente oscillanti ed infine problemi connessi di scattering per equazioni delle onde.
In D) si intende affrontare da un lato lo studio della ipoellitticità analitica e Gevrey per operatori somme di quadrati, anche nel caso di una degenerazione di ordine infinito, e dall'altro il problema della locale risolubilità per operatori non di tipo principale e per sistemi.
In E) infine si vogliono considerare stime dal basso tipo Fefferman-Phong per sistemi sotto opportune condizioni geometriche, le seconde iperfunzioni con applicazioni ad operatori microiperbolici, i punti critici del funzionale di Ginzburg-Landau e la teoria spettrale su varietà riemanniane non compatte. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Ferruccio Colombini Università degli Studi di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'ultimo mezzo secolo ha visto un impressionante sviluppo della teoria delle equazioni alle derivate parziali (EDP). Questo rapido sviluppo è stato reso possibile dalla stretta relazione tra tale teoria e vari campi della matematica, in particolare la geometria differenziale, la topologia differenziale, l'analisi complessa, l'analisi armonica, la teoria dei gruppi di Lie da un lato, e con problemi di fisica matematica e fisica teorica come la teoria della diffrazione e rifrazione delle onde elettromagnetiche, la teoria dello scattering, la meccanica hamiltoniana e lagrangiana dall'altro.
La geometria simplettica unitamente al metodo WKB (o metodo dell'ottica geometrica) ha avuto una considerevole influenza sui recenti sviluppi nella teoria delle EDP lineari. La teoria lineare a sua volta ha fornito metodi innovativi nello studio delle EDP non lineari, come ad esempio nello studio del flusso di fluidi compressibili e incompressibili, delle equazioni di Eulero, delle leggi di conservazione.
Uno dei più potenti strumenti della teoria delle EDP lineari è la trasformata di Fourier che è strettamente legata alle struttura degli spazi euclidei.
L'analisi nello spazio delle fasi o analisi microlocale fornisce un'opportuna estensione dell'analisi di Fourier a varietà più generali. Tale estensione ha portato a:
- il calcolo pseudodifferenziale (in particolare nella sua formulazione di Weyl) e i suoi raffinamenti basati sulla decomposizione di Littlewood-Paley;
- gli operatori paradifferenziali, che estendono gli operatori pseudodifferenziali ad equazioni nonlineari e permettono una profonda analisi delle singolarità delle soluzioni;
- gli operatori integrali di Fourier e i loro collegamenti con la geometria simplettica.
Tali argomenti sono ampiamente presentati ad esempio nel fondamentale testo [H].
Il presente Programma di Ricerca si pone come principale obiettivo lo studio e l'approfondimento di alcuni temi tipici dell'analisi microlocale e di sue applicazioni a varie problematiche riguardanti le EDP. Tale studio verrà condotto sia all'interno delle singole unità di ricerca, sia in collaborazione tra membri delle diverse unità, sia infine in collaborazione con altri studiosi, soprattutto stranieri, alcuni dei quali di elevatissima qualificazione scientifica.
Si vuole qui dare particolare enfasi all'importanza dei contatti scientifici tra i partecipanti al Programma e i loro collaboratori italiani e stranieri al fine di perseguire l'obiettivo detto. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Come esposto al punto 2.1, l'analisi nello spazio delle fasi ha permesso negli ultimi decenni una profonda comprensione di alcuni fondamentali aspetti della teoria delle EDP. Le tematiche di ricerca del presente Programma, sviluppate all'interno delle tre unità, e i metodi utilizzati possono essere ricondotti nel quadro sopra descritto. Tra tali tematiche si possono evidenziare i seguenti principali argomenti (i numeri in parentesi tonda si riferiscono alle pubblicazioni elencate al punto 1.9 mentre gli acronimi in parentesi quadre si riferiscono alle pubblicazioni elencate al punto 2.2.a).

A) STIME DI CARLEMAN: PROBLEMI DI UNICITA' E PROBLEMI DI CONTROLLO
Le stime di Carleman, stime integrali con peso per soluzioni di EDP, sono state fin dal loro primo utilizzo il pricipale strumento per lo studio dell'unicità della soluzione del problema di Cauchy. Fondamentali risultati su questo argomento sono i teoremi di Calderón e di Hörmander [H, Cap. 28]. In particolare il secondo risultato citato mette in evidenza la relazione tra l'unicità nel problema di Cauchy e proprietà geometriche degli operatori e della superficie dei dati iniziali, definendo le nozioni di principale normalità e forte pseudoconvessità. Recentemente in (26) è stata introdotta la più debole condizione di singolare principale normalità, ottenendo risultati di unicità per operatori soddisfacenti questa nuova condizione e aventi caratteristiche semplici. A questo fine è stata provata una nuova diseguaglianza di tipo Fefferman-Phong per operatori pseudodifferenziali a metrica localmente temperata in (27).
Da altro punto di vista i risultati di Calderón ed Hörmander presumono sui coefficienti degli operatori considerati condizioni di regolarità come ad esempio la lipschitzianità nel caso di operatori del secondo ordine ellittici o iperbolici. A partire da un controesempio dato in [CJS2], in cui viene costruito un operatore iperbolico del secondo ordine a coefficienti non lipschitziani non avente la proprietà dell'unicità, si sono recentemente forniti in (16) e in [D] 2 nuovi controesempi più precisi dal punto di vista della regolarità dei coefficienti, rispettivamente per il caso iperbolico e per quello ellittico.
Il rapporto tra unicità della soluzione e regolarità dei coefficienti è stato studiato anche nel caso degli operatori parabolici retrogradi nel recente lavoro [DP] dove si è fornita una condizione necessaria e sufficiente legata al modulo di continuità dei coefficienti.
Anche per il problema della continuazione unica per operatori ellittici il metodo delle stime di Carleman si è rivelato di fondamentale importanza; si vedano ad es. i recenti [Tt], [KT], in cui strumenti tipici dell'analisi microlocale vengono utilizzati per ottenere nuovi risultati di continuazione unica per operatori a coefficienti poco regolari e per operatori di Schrödinger con potenziale singolare. Recentemente in (21) e (25) è stato trattato il caso di operatori ellittici di ordine superiore e in (3) e (4) è stato trattato il caso dei potenziali nelle classi di Gevrey.
Altra problematica molto interessante anche per le sue applicazioni è quella dell'unicità delle soluzioni di campi vettoriali a coefficienti non regolari. Il lavoro fondamentale in questo campo è [DL] che tratta il caso dei coefficienti W^{1,1}. Nei recenti lavori (19) e (6) si è studiato il caso dei coefficienti funzioni BV, che appare essere il caso più interessante per le applicazioni in fluidodinamica, mentre in [CLR] si è considerata l'equazione del trasporto per campi vettoriali a variazione limitata e si è costruito, partendo dal fondamentale lavoro di Aizenman, un esempio di non unicità per campi a coefficienti L^infty.
Infine, come è noto, le stime di Carleman, in particolare con peso singolare, sono un potente strumento nello studio di problemi di contollabilità e osservabilità per EDP di tipo parabolico e iperbolico. Alcuni risultati di osservabilità e controllabilità per sistemi di EDP sono stati ottenuti in [Al] e [AT].
Problema non lontano dai precedenti è quello della ricerca di insiemi invarianti e lo studio della loro struttura topologica per equazioni di evoluzione. A tale scopo sono stati elaborati strumenti sofisticati, quali l'indice di Leray-Schauder, l'indice di Morse, l'indice di Conley etc. In [Pr1] si è individuata una condizione sufficiente a garantire l'asintotica compattezza delle traiettorie di un'equazione parabolica semilineare su un dominio illimitato. Il caso di un'equazione non autonoma di tipo parabolico, con coefficienti quasi periodici e rapidamente oscillanti nel tempo è stato considerato in [AP] e [Pr2].

B) PROBLEMA DI CAUCHY PER EQUAZIONI E SISTEMI IPERBOLICI
Il problema di Cauchy per operatori iperbolici è stato oggetto di studio da parte di numerosissimi autori. Citiamo ad es. i testi [H], [I] per una panoramica sull'argomento. Un tema molto interessante è lo studio del problema di Cauchy per equazioni o sistemi debolmente iperbolici, dato che in tal caso la buona posizione del problema non è in generale assicurata, a differenza di quanto accade nel caso strettamente iperbolico. Particolare attenzione è stata dedicata al legame esistente tra lo spazio funzionale nel quale il problema di Cauchy risulta ben posto e la struttura delle radici caratteristiche del simbolo principale dell'operatore da un lato, il comportamento dei termini di ordine inferiore sull'insieme caratteristico dall'altro (condizioni di tipo Levi). Questo significa che la buona posizione in C^infty, nelle classi di Gevrey o nelle analitiche richiede diverse condizioni sulle radici e sui termini di ordine inferiore. Si vedano a questo proposito i lavori [Br], [IP]. Il cosiddetto metodo dell'energia approssimata in funzione della variabile duale csi, è stato introdotto alcuni anni fa in [CDS] e [CJS1]. Recentemente, adattando tale metodo, in (23) sono stati ottenuti risultati per operatori scalari del secondo ordine con radici caratteristiche che degenerano di ordine finito. Ben poco è noto per operatori di ordine superiore. In (24) si tratta il caso di operatori omogenei di ordine maggiore o uguale a 3, mentre le condizioni di Levi per un operatore scalare del terzo ordine con varietà caratteristica non involutiva sono studiate in [BB1], [BB2].
Per quanto riguarda i sistemi, alcuni risultati sono contenuti in (22) per il caso 2 per 2; precisamente si mostrano per tale caso i legami tra la uniforme diagonalizzabilità e la buona posizione in C^infty del relativo problema di Cauchy. Sempre per tali sistemi, ma con coefficienti dipendenti solo dal tempo, L.Mencherini, in un suo recente lavoro, ha semplificato la condizione necessaria e sufficiente data da T.Nishitani per la buona posizione del problema di Cauchy.
Per il caso di sistemi iperbolici a caratteristiche di molteplicità costante citiamo il lavoro [TV] in cui vengono date condizioni invarianti che sono necessarie e sufficienti affinché il problema di Cauchy sia ben posto, in C^infty e negli spazi di Gevrey, per diverse classi di sistemi.
Per quanto riguarda il problema di sistemi debolmente iperbolici a molteplicità variabile, è noto che la situazione è notevolmente più complessa che nel caso scalare: le condizioni di Levi possono coinvolgere il simbolo principale (fatto che non si verifica mai nel caso scalare) e non si conosce l'analogo delle condizioni necessarie di annullamento di Ivrii-Petkov. Qualche risultato è stato ottenuto (vedi [BN1]) in questa ultima direzione per sistemi del primo ordine, esprimendo delle condizioni necessarie alla Ivrii-Petkov tramite un tipo di determinante non commutativo del sistema associato a sviluppi rispetto a un grande parametro. Il caso ora più interessante è quello in cui il rango del sistema non sia massimale, dato che nel caso di rango massimale l'insieme completo di condizioni di annullamento di Levi sono state date in [BBB]. Allo stato attuale si conoscono condizioni di Levi per sistemi di primo ordine di rango arbitrario, ma che "essenzialmente" consistono solo di vincoli lineari nei termini d'ordine inferiore; per analogia si potrebbe dire che sono l'analogo delle condizioni di Ivrii-Petkov sul simbolo sottoprincipale.

C) OPERATORI IPERBOLICI A COEFFICIENTI POCO REGOLARI, O RAPIDAMENTE OSCILLANTI; PROBLEMI DI SCATTERING
Strettamente legata alla problematica suesposta è quella dello studio del problema di Cauchy per operatori strettamente o debolmente iperbolici a coefficienti poco regolari, o rapidamente oscillanti. In questo caso lo spazio funzionale in cui il problema è ben posto è legato alla regolarità dei coefficienti. Tale studio, iniziato nei succitati lavori [CDS] e [CJS1] per il caso di coefficienti hölderiani, è stato recentemente ripreso in (12), (14) e (15), dove si considerano operatori a coefficienti singolari in un punto e/o rapidamente oscillanti. In questo caso gli spazi funzionali in cui il problema è ben posto sono legati al grado di singolarità ed alla velocità di oscillazione dei coefficienti. Tali risultati, ottenuti per coefficienti dipendenti dalla sola variabile temporale, sono stati parzialmente estesi in [Ci] al caso di coefficienti dipendenti da tutte le variabili ed applicati da Kajitani e Satoh allo studio dell'equazione di Kirchhoff. Analoghi risultati sono stati ottenuti in (11) per operatori di tipo Schrödinger a coefficenti poco regolari. Il caso di operatori del secondo ordine a coefficienti non regolari in tutte le variabili è stato considerato nei lavori (29), [CM] e [DKR]. Partendo da tali risultati, sono stati costruiti vari esempi che provano l’ottimalità dei risultati positivi raggiunti, e si è così in particolare stimata la “perdita di derivate” che subisce la soluzione; vedi (2), (8), [C], [HR].
Lo studio del comportamento delle soluzioni di equazioni iperboliche a coefficienti oscillanti porta naturalmente al problema dello scattering per l'operatore delle onde, o più in generale, per operatori iperbolici; si può considerare il caso del potenziale periodico in t, e nullo fuori di un compatto nella variabile x, oppure quello di coefficienti della parte principale periodici in t, e costanti fuori di un compatto nella variabile x. Citiamo a questo riguardo il classico volume [LP], il volume [Z] che mostra legami con la teoria del controllo e dell'osservabilità, ed il recente lavoro [BP], da cui si vede chiaramente il legame con lo studio degli esempi di operatori iperbolici a coefficienti oscillanti esposti prima.

D) PROBLEMI DI IPOELLITTICITA' E DI LOCALE RISOLUBILITA'
E' noto da tempo che gli operatori ipoellittici possono non essere analitici ipoellittici. Ci sono interessanti risultati di Treves e Tartakoff in questo contesto. Recentemente Treves ha formulato una congettura estremamente interessante in [Te]. Su questa congettura hanno lavorato e lavorano numerosi ricercatori, quali Hanges, Himonas, Cordaro e Christ. In [BT1], [BT2] e [BT3] si sono descritti alcuni fenomeni su classi particolari di somme di quadrati, caratterizzando la soglia Gevrey ottimale per l'ipoellitticità. I metodi impiegati consistono nel dedurre stime a priori microlocali; ciò viene fatto usando come punto di partenza le stime di Hörmander e di Rotschild-Stein.
L'ipoellitticità per operatori somme di quadrati di campi vettoriali che degenerano di ordine infinito su una sotto varietà di co-dimensione uno al di fuori della varietà di degenerazione dove l'ipotesi di rango di Hörmander è soddisfatta è stata provata in un recente lavoro [Mu2], utilizzando una stima di tipo logaritmico-Sobolev.
Al problema della ipoellitticità è strettamente connesso quello della locale risolubilità. Citiamo i fondamentali lavori [NT1] e [NT2]. Si veda poi la trattazione in [H, Cap. 26] e i recenti lavori di Lerner e Dencker. Tutti questi risultati si riferiscono a operatori differenziali o pseudodifferenziali di tipo principale. Per operatori non di tipo principale sono noti soltanto alcuni esempi di mancata locale risolubilità dovuti a Kannai, Ivrii, Gilioli e Treves (vedi [K], [GT]). Recentemente in [CPT] è stata data una condizione (Psi*) che generalizza la condizione (Psi) di Nirenberg e Treves al caso di operatori non di tipo principale; per far ciò si è data una nozione più generale di curva bicaratteristica e si è dimostrato che la condizione (Psi*) è necessaria per la locale risolubilità per un operatore non di tipo principale in R^2.

E) PROBLEMI DI ANALISI MICROLOCALE E CALCOLO PSEUDODIFFERENZIALE
Un problema particolarmente interessante in analisi microlocale e nelle applicazioni alle EDP è quello della ricerca di stime dal basso, tipo stime di Fefferman-Phong per operatori pseudodifferenziali a simbolo non-negativo (si veda [H, Cap. 18] per una trattazione di questo problema). Il punto di partenza dell'attività di ricerca in questo campo è lo studio dei "lower bounds" sia nel caso scalare sia per sistemi, nonché lo studio delle condizioni algebriche e geometriche, nello spazio delle fasi, che implicano le stime dal basso. Tali condizioni sono a loro volta connesse a condizioni spettrali per opportuni sistemi differenziali test a coefficienti polinomiali (si veda ad es. [PP1] e [PP2]). A questo problema è legata l'esigenza di studiare lo spettro di un tale tipo di operatori in termini della geometria dello spazio delle fasi ed eventualmente in termini di simmetrie. Il problema rilevante è definire una geometria dello spazio delle fasi che tenga conto sia del simbolo del sistema che della struttura vettoriale del sistema stesso.
Anche se apparentemente lontano, è invece intimamente legato a questo problema quello di poter esprimere una funzione non negativa come somma di quadrati, o come quadrato, di funzioni di una certa regolarità (vedi i recenti lavori (13), [Bo], [ST] e (1)).
Un altro argomento riguarda le seconde iperfunzioni, spazi di funzioni generalizzate introdotte da Kashiwara e Kawai usando una costruzione simile alla costruzione introdotta da Sato. Esse si sono dimostrate un mezzo utile nello studio degli operatori differenziali a caratteristiche di molteplicità variabile e degli operatori di tipo Fuchs. Il punto di partenza della teoria è la nozione di microfunzione dipendente in modo olomorfo da parametri. Tutti i fenomeni di propagazione (microlocale) delle singolarità analitiche delle soluzioni di EDP lineari con coefficienti analitici possono essere spiegati in termini di risultati su microfunzioni con parametri analitici reali. Tuttavia molti aspetti della teoria delle microfunzioni con parametri olomorfi (o reali analitici) sono stati compresi di recente o ancora mancano di una adeguata spiegazione. Su questo argomento si vedano i lavori [LOT1] e [LOT2].
Un ulteriore argomento riguarda il funzionale di Ginzburg-Landau, che rappresenta un modello matematico nello studio di materiali superconduttori. L'esistenza di punti critici per il funzionale di Ginzburg-Landau è strettamente collegata alle proprietà topologiche e geometriche del dominio. Recentemente in [Mu1] è stata provata l'esistenza di punti critici modulo trasformazioni di gauge nel caso di due dimensioni.
Un ultimo argomento è quello dell'esistenza di un legame tra la geometria di un dominio o più in generale di una varietà Riemanniana e lo spettro dell'operatore di Laplace su tale varietà. Il problema è particolarmente complesso nel caso delle varietà non compatte. Un esempio di una varietà Riemanniana noncompatta per la quale lo spettro dell'operatore di Laplace-Beltrami sulle p-forme è puramente puntuale è dato in [An]. <<<