RICERCA ITALIANA     

Equazioni di Kolmogorov

Scuola Normale Superiore di Pisa

Abstract

Il progetto riguarda lo studio di equazioni ellittiche e paraboliche in un numero finito o infinito di variabili e di equazioni differenziali stocastiche ordinarie o alle derivate parziali che come è noto sono problemi strettamente collegati.

Verranno usate tecniche sia deterministiche che stocastiche; la loro interazione permette di ottenere risultati migliori, sotto ipotesi più generali, rispetto alla letteratura corrente.

In particolare, saranno studiati operatori differenziali lineari ellittici (anche degeneri) K con coefficienti illimitati e le corrispondenti equazioni di Kolmogorov du/dt = Ku, verranno studiate esistenza e unicità di misure invarianti per i relativi semigruppi di transizione, e proprietà di tali semigruppi e dei loro generatori in spazi L ^p rispetto a misure invarianti. Verranno inoltre studiate varianti nonlineari delle equazioni di Kolmogorov ed i corrispondenti sistemi stocastici "forward-backward". <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Giuseppe Da Prato Scuola Normale Superiore di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'obiettivo del programma di ricerca è lo studio di equazioni di Kolmogorov in dimensione finita o infinita, e di problemi connessi.

Le equazioni di Kolmogorov sono equazioni differenziali alle derivate parziali deterministiche, motivate e legate strettamente a equazioni di evoluzione stocastiche. La teoria generale di queste ultime, mentre risulta ormai molto ben sviluppata in dimensione finita, è tuttora largamente aperta in dimensione infinita. Fa quindi parte degli scopi principali di questo programma lo studio di equazioni di evoluzione stocastiche in spazi di Hilbert infinito dimensionali. Fra queste, particolare attenzione sarà dedicata a modelli matematici di interesse, come equazione di Burgers, sistemi di reazione-diffusione, equazioni di Navier-Stokes, equazioni di Volterra stocastiche.

Sia in dimensione finita che infinita, oltre a problemi di esistenza e unicità di soluzioni di equazioni di Kolmogorov, ci occuperemo di proprietà di regolarità di tipo sia analitico che stocastico, di esistenza e unicità di misure invarianti e di proprietà asintotiche dei semigruppi di transizione associati, tra cui l'ergodicità.

L'aspetto centrale del programma è l'interazione fra metodi deterministici e metodi stocastici, che è naturale dato lo stretto legame fra le equazioni di Kolmogorov e le equazioni differenziali stocastiche che le generano. Generalmente, sia tecniche deterministiche che tecniche stocastiche possono essere usate nello studio di equazioni di Kolmogorov, e danno risultati complementari. In questo contesto, sono di importanza fondamentale l'apporto di competenze diverse (deterministiche e stocastiche) da parte dei ricercatori coinvolti, e la possibilità di interazione fra questi ultimi.
In effetti i ricercatori coinvolti costituiscono la grande maggioranza, se non la totalità, dei matematici italiani che svolgono attività di ricerca su equazioni di Kolmogorov, e collaborano già da tempo sui temi di ricerca di questo progetto, come documentano le numerose pubblicazioni in collaborazione, sia all'interno di ciascuna unità locale che fra membri di unità diverse.

Nonostante l'intensa attività di ricerca della comunità matematica internazionale di questi ultimi anni sull'argomento, molti problemi restano ancora aperti, vedi la descrizione del programma di ricerca. Riteniamo quindi che le competenze dei ricercatori coinvolti nel progetto, unite alla possibilità di continuare la collaborazione fra loro e con studiosi di livello internazionale attraverso scambi di visite e partecipazioni a convegni, possano dare un valido contributo alla loro soluzione. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Consideriamo una classe di equazioni differenziali stocastiche, del tipo



dove H è uno spazio di Hilbert di dimensione finita o infinita, b è un'applicazione definita in un sottoinsieme D(b) di H con valori in H, s è un'applicazione definita in un sottoinsieme D(s) di H con valori in L(H) e W(t) è un moto Browniano cilindrico in H definito in uno spazio probabilizzato (O,F,P).
Tali equazioni includono equazioni alle derivate parziali della fisica matematica perturbate da rumore, come ad esempio equazioni di reazione-diffusione, di Navier-Stokes e di Burgers stocastiche, in cui H è abitualmente uno spazio di tipo L ² e b è un operatore differenziale dato da ?X + F(X,?X), con F nonlineare. Alcune varianti di (1) modellizzano anche equazioni di Volterra perturbate da rumore, vedi [CDP], [BF], [BT].

La teoria generale su equazioni del tipo (1) in dimensione finita ha avuto origine molti anni fa, è ben sviluppata e comprende una letteratura enorme. Citiamo ad esempio le monografie [SV,K,M] a cui rimandiamo per le ricche bibliografie. La teoria quando H ha dimensione infinita è più recente; studi considerati ormai classici sono ad esempio [Pa,Ro,DPZ1,DPZ2,AR,MR].

Se il problema (1) è ben posto, si definisce il semigruppo di transizione



nello spazio delle funzioni reali continue e limitate in H. È noto che, posto u(t,x) =P(t)f(x), risulta formalmente che u è soluzione del problema di Cauchy di tipo parabolico



dove K, detto operatore di Kolmogorov, è l'operatore differenziale del secondo ordine definito da



e l'equazione u _t=K u è detta equazione di Kolmogorov. In questo contesto, i problemi naturali e di attuale interesse sono i seguenti.


(i) STUDIO DIRETTO DELL'EQUAZIONE STOCASTICA (1) CON METODI PROBABILISTICI.

Basi di partenza per le nostre ricerche sono risultati recenti su equazioni stocastiche a derivate parziali.
Per quanto riguarda modelli espliciti di interesse citiamo [C2] sulla stabilizzazione mediante rumore di equazioni di reazione-diffusione instabili, [CF] su equazioni delle onde smorzate e loro convergenza all'equazione del calore al tendere a zero del coefficiente della derivata seconda, [FR,HM,MiRo] su equazioni della fluidodinamica in due o tre dimensioni spaziali. Per quanto riguarda queste ultime, il ben noto problema dell'unicità della soluzione debole di equazioni di Navier-Stokes deterministiche
si ritrova con difficoltà analoghe nel caso stocastico. Tuttavia, il fatto che in dimensione finita i risultati di unicità per equazioni differenziali stocastiche siano più forti che per le analoghe equazioni deterministiche (vedi ad es. [SV]) giustifica l'attenzione che ultimamente è stata dedicata a questioni di buona posizione per le equazioni di Navier-Stokes stocastiche, vedi ad es. [DPD,FR].

Una volta risolto il problema (1) e definito il semigruppo di transizione P(t), occorre studiare il suo legame con il problema (3). In dimensione finita, semigruppi ed equazioni di evoluzione possono essere ambientati in vari spazi funzionali: spazi di funzioni continue o hölderiane, spazi L ^p rispetto alla misura di Lebesgue o a misure di Lebesgue con peso, spazi di Sobolev ecc. In dimensione infinita non esiste un analogo della misura di Lebesgue. Un ambiente naturale è lo spazio delle funzioni reali continue e limitate su H, dove è stata sviluppata una teoria per l'equazione del calore, l'equazione di Ornstein-Uhlenbeck, e loro perturbazioni con nonlinearità regolari e limitate, vedi [DPZ3] e la sua bibliografia. In questo spazio P(t) non è fortemente continuo; si definisce comunque il suo generatore infinitesimale



su un dominio costituito da funzioni f per cui tale limite puntuale esiste. È stato poi studiato il legame del generatore con l'operatore differenziale K definito da (4).

Le informazioni ottenute sulla soluzione di (1) sono poi usate per studiare la (3) sotto vari aspetti: esistenza, unicità, regolarità e comportamento qualitativo delle soluzioni. Vedi ad es. le monografie [C1,DPZ1,DPZ2].


(ii) STUDIO DEL PROBLEMA (3) (o delle corrispondenti equazioni ellittiche ?f - Kf = g, con Re ? > 0, dato lo strettissimo legame fra queste e problemi di Cauchy parabolici) con metodi analitici, anche quando non si sa risolvere direttamente la (1).

È da notare il fatto che la vastissima tradizionale letteratura sui problemi di Cauchy per equazioni paraboliche lineari in aperti di R ^N riguarda soprattutto equazioni non degeneri e con coefficienti limitati, ma imporre che nell'equazione (1) b e s siano limitate, e s sia non degenere, è una restrizione troppo forte. Per esempio, il sistema lineare X' = Ax in R ^N perturbato da rumore bianco dà luogo all'operatore di Ornstein-Uhlenbeck



mentre il sistema del secondo ordine X" = AX + BX' in R ^N perturbato ancora da rumore bianco, dopo essere stato riscritto canonicamente come un sistema del primo ordine in dimensione 2N, dà luogo all'operatore ellittico degenere



Un'altra importante classe di operatori ellittici degeneri provengono da equazioni stocastiche in R^N per cui esiste un insieme chiuso e convesso C tale che per ogni x in C la soluzione X(t,x) appartiene quasi certamente a C per ogni t positivo. In questo caso, l'operatore di Kolmogorov associato K è necessariamente degenere sulla frontiera di C, vedi [DPF]. Appartengono a questa classe problemi di dinamica delle popolazioni, in cui C è un simplesso [FV,CC].

Solo ultimamente è stata sviluppata una teoria per operatori con coefficienti illimitati, che abbraccia anche casi in cui K è un operatore ellittico degenere. Vedi le monografie [BL] in dimensione finita, [DP] in dimensione infinita. Si tratta comunque di un settore di ricerca ancora largamente aperto.

Una volta risolta la (3), si usa la soluzione e le sue proprietà per provare che la (1) ha una soluzione debole nel senso delle martingale o anche in un senso più debole. Vedi [AR,R,DPD]. Un nuovo approccio alla teoria generale è stato proposto in [RS].


(iii) STUDIO DELLE PROPRIETÀ ASINTOTICHE DI P(t), quali convergenza all'equilibrio ed ergodicità.

Un caso particolarmente interessante è quando esiste il limite



(indipendente da x) dove µ è una misura invariante, ossia tale che



per ogni t positivo e per ogni f continua e limitata. Vedi [DPZ2,DP,FM,HM].

Esistenza e unicità di misure invarianti sono problemi non banali. L'esistenza è spesso provata con l'ausilio del teorema di Krylov-Bogoliubov, vedi le referenze in [DP], ma in certi casi (per esempio, per le equazioni con riflessione, vedi [Z1]) sono necessari metodi più sofisticati. Per quanto riguarda l'unicità un metodo classico consiste nel dimostrare che il semigruppo P(t) è irriducibile e ha la proprietà di Feller forte, e di usare il teorema di Doob, vedi [PZ] (e [FM] per l'equazione di Navier-Stokes). Un metodo che recentemente ha dato notevoli risultati è quello del "coupling", il risultato più importante ottenuto è il recente lavoro [HM] che include anche una bibliografia esaustiva.

Il ruolo delle misure invarianti non è legato solo al comportamento asintotico, ma anche al fatto che operatori differenziali con coefficienti illimitati si ambientano con difficoltà in spazi L ^p rispetto ad altre misure. Anche in dimensione finita, quando H=R ^N, non esistono risultati di buona posizione per il problema (3) in spazi L ^p rispetto alla misura di Lebesgue se i coefficienti del drift hanno crescita molto più che lineare (per es. quadratica) per |x| tendente all'infinito, e s=I.
Invece, in spazi L ^p rispetto a misure invarianti P(t) risulta essere un semigruppo di contrazione, e il suo generatore infinitesimale è m-dissipativo. La caratterizzazione del dominio del generatore come (un sottospazio di) uno spazio di Sobolev rispetto alla misura invariante è un problema interessante e ancora largamente aperto. Più in generale, dato uno spazio di Banach X, la caratterizzazione del dominio del generatore di P(t) in X è un problema delicato. Per il momento, la maggior parte dei risultati sono in dimensione finita, vedi [DPL,CMG,MPRS,L].


(iv) EQUAZIONI DI KOLMOGOROV NON LINEARI E CONTROLLO STOCASTICO

Abbiamo finora considerato la classica relazione che vi è fra equazioni stocastiche e equazioni deterministiche di evoluzione, che sono per loro natura lineari. Tuttavia è importante notare come siano disponibili metodi probabilistici anche per lo studio
di equazioni di Kolmogorov nonlineari, quali l'equazione



dove F è una funzione reale definita su H × R × H. In questo caso la (1) è sostituita dal sistema "forward-backward" di due equazioni in tre incognite (X,Y,Z)



col vincolo che (X,Y,Z) devono essere processi adattati al moto browniano W. Sotto ipotesi ragionevoli si dimostra che Y(t) è deterministica, e formalmente coincide con la soluzione u(t,x) di (5).

I problemi suddetti sono stati studiati e sono largamente aperti sia quando H ha dimensione finita che infinita. Vedi [PP] per la dimensione finita, [FT1] per la dimensione infinita.

Alcuni dei problemi aperti di interesse per la ricerca sono: (a) regolarità e dipendenza differenziabile della soluzione rispetto ai dati, sotto condizioni generali di risolubilità del sistema “forward-backward”, vedi [BH,BDHPS]; (b) sistemi “forward-backward” con coefficienti random o dipendenti da tutta la traiettoria passata (lo studio dell'equazione di Kolmogorov non lineare corrispondente deve ancora essere effettuato anche nel semplice caso di un'equazione di Riccati a coefficienti aleatori); (c) studio del sistema “forward-backward” con ulteriori restrizioni sulla soluzione (X,Y,Z). Ciò conduce a nuovi problemi con ostacolo di dimensione infinita.
Altri problemi collegati a questi riguardano controllo ottimo e viabilità delle soluzioni. <<<