RICERCA ITALIANA     

Equazioni alle derivate parziali e disuguaglianze funzionali: aspetti quantitativi, proprietà geometriche e qualitative, applicazioni.

Università degli Studi di Firenze

Abstract

Il progetto riguarda principalmente i seguenti temi:
1. Disuguaglianze geometriche, quali le disuguaglianze isoperimetriche e le disuguaglianze nella teoria dei corpi convessi, e le disuguaglianze funzionali, incluse le disuguaglianze di simmetrizzazione e di tipo Sobolev.
2. Problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico (secondo e quarto ordine), parabolico (equazione del calore) e misto (ellittico-iperbolico).
La ricerca inerente al primo punto verterà sulle forme ottimali delle disuguaglianze in questione, sull’identificazione di insiemi o funzioni estremali, sulla caratterizzazione dei casi di uguaglianza, sull’analisi di problemi di stabilità. I metodi classici verranno combinati con altri recentemente sviluppati, come le tecniche del trasporto di massa, e con metodi ad hoc. Per quanto riguarda gli argomenti del secondo tema, saranno considerate sia usuali questioni di esistenza, unicità e regolarità, sia proprietà geometriche delle soluzioni, quali le simmetrie, la convessità e la forma degli insiemi di livello.
Le ricerche di cui al punto 1 e punto 2 sono strettamente collegate da diversi punti di vista. Alcune tecniche, quali le simmetrizzazioni o i metodi della teoria della convessità, giocano un ruolo fondamentale nello studio di vari aspetti di entrambe le linee di ricerca. Ci sono inoltre varie influenze reciproche. Le disuguaglianze geometriche e funzionali saranno applicate all’analisi delle equazioni alle derivate parziali. Metodi di EDP saranno applicati alla caratterizzazione delle minimanti di funzionali analitici. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Andrea Cianchi Università degli Studi di FIRENZE

Obiettivo del Programma di Ricerca

L’obiettivo del presente progetto, che riunisce ricercatori con competenze diverse e complementari, è analizzare sia aspetti quantitativi sia proprietà qualitative nella teoria dei problemi variazionali geometrici e funzionali e nella teoria delle EDP. Un leitmotiv del programma è il gusto geometrico delle tecniche utilizzate e dei risultati attesi. Lo studio quantitativo sarà finalizzato alla determinazione degli estremi dei problemi variazionali in questione ed alla dimostrazione di disuguaglianze ottimali e di stime a priori per soluzioni di EDP. L’analisi qualitativa riguarderà l’esistenza e unicità di soluzioni dei problemi in esame, così come le loro proprietà analitiche e geometriche, quali il segno, le simmetrie, la convessità e la forma degli insiemi di livello. Queste linee di ricerca sono strettamente collegate. Da una parte, le stime a priori sono un ben noto strumento chiave nella dimostrazione di risultati di esistenza. Dall’altra, informazioni sulle simmetrie delle soluzioni e sulla loro regolarità sono spesso un indispensabile primo passo per la loro completa caratterizzazione.
I principali obiettivi scientifici possono essere riassunti come segue.

A. PROBLEMI GEOMETRICI E FUNZIONALI

Le disuguaglianze isoperimetriche e di Sobolev sono collegate da risultati di teoria geometrica della misura. Esse sono uno dei campi di ricerca preferiti dal Coordinatore e da diversi Partecipanti al Progetto. Disuguaglianze di questi due tipi saranno studiate soprattutto dal punto di vista della loro forma ottimale.
Saranno studiate disuguaglianze isoperimetriche in spazi non euclidei, come lo spazio di Gauss (o varianti di questo), nel tentativo di caratterizzare gli insiemi estremali o di fornire versioni quantitative che fanno intervenire la distanza dagli estremali. Saranno anche analizzate versioni quantitative delle disuguaglianze classiche di Sobolev e di Hardy. Tecniche di simmetrizzazione giocheranno un ruolo essenziale nelle dimostrazioni. In vista di questo, saranno preliminarmente ottenute versioni quantitative di disuguaglianze fondamentali dei riordinamenti, quali la disuguaglianza di Polya-Szego e quella di Hardy-Littlewood. Metodi di riordinamento, combinati con tecniche di interpolazione, saranno anche utilizzati per la prima volta nella caratterizzazione di disuguaglianze di traccia. Sarà affrontato il problema delle costanti ottimali e della identificazione delle estremali per disuguaglianze di Hardy non standard, con pesi di tipo potenza dipendenti solo da alcune delle variabili. Disuguaglianze di Sobolev di ordine superiore saranno affrontate con metodi di riordinamento non standard combinati con metodi di analisi funzionale non lineare.

La teoria di Brunn-Minkowski, insieme a questioni ad essa collegate, è un altro tema su cui il Progetto si concentrerà. Questa teoria, una branca della teoria della convessità, mette in risalto il ruolo di quantità geometriche associate a convessi di dimensione finita. Oltre a questioni classiche, come i problemi di massimo vincolati per funzionali geometrici, saranno anche esplorati sviluppi più recenti, legati alla geometria stocastica ed alla tomografia geometrica. Ad esempio, saranno studiati funzionali che hanno origine in campo probabilistico, di cui un prototipo è il funzionale di Sylvester. Inoltre, sarà affrontato il problema di stimare il volume di un convesso a partire da un numero finito di misure di sezioni, anche in vista dell’implementazione di algoritmi per applicazioni alla tomografia medica. Un altro problema di ricostruzione, che è aperto da diversi anni e la cui soluzione completa rientra tra gli scopi di questo progetto, è il problema del covariogramma, che consiste nel ricostruire un convesso a partire dal volume delle sue intersezioni con i suoi traslati. In questo ambito verranno utilizzate tecniche di geometria integrale, di movimenti continui di convessi e di simmetrizzazioni ad hoc.

B. EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

Gli aspetti geometrici della teoria delle EDP sono un tema caratterizzante del Progetto. Sarà studiata l’influenza di proprietà geometriche del dominio, quali la convessità o la stellarità, sulla geometria degli insiemi di livello di soluzioni di EDP lineari e non lineari. Saranno condotte ricerche sulla collocazione e l’evoluzione dell’insieme dei punti critici di soluzioni dell’equazione del calore e su proprietà topologiche collegate di autofunzioni del laplaciano per il problema di Dirichlet. Saranno anche analizzati insiemi di punti critici di soluzioni dell’equazione iconale complessa in presenza di indici di rifrazione discontinui. Lo studio di proprietà di simmetria di soluzioni di problemi ellittici e parabolici sovradeterminati rientra tra gli obiettivi del Progetto. Sarà posta attenzione all’equazioni di ordine superiore e, in particolare, a proprietà di segno in EDP ellittiche del quarto ordine soggette ad opportune condizioni al contorno.

Sarà condotta un’analisi quantitativa di soluzioni di EDP ellittiche e paraboliche mediante metodi di riordinamento e altre tecniche geometriche. Metodi di riordinamento, introdotti da un Partecipante al Progetto (G. Talenti), si sono dimostrati un potente strumento nella dimostrazione di stime a priori ottimali per soluzioni di problemi al contorno per equazioni ellittiche e paraboliche del secondo ordine in forma variazionale. Saranno sviluppate nuove tecniche di questo tipo in vista di applicazioni a una gamma di problemi a livello avanzato. Tali problemi includono, tra gli altri, problemi di Dirichlet non lineari con termini del primo ordine, problemi di Neumann in domini irregolari, equazioni non lineari con soluzioni che esplodono alla frontiera, equazioni di Monge-Ampère e, più in generale, equazioni hessiane con termini di ordine inferiore. Saranno anche considerate disuguaglianze di tipo Brunn-Minkowski, per certe funzioni di insieme, quali capacità e autovalori, che hanno natura variazionale e sono collegate in modo naturale alla teoria delle EDP ellittiche. In questo ambito sono coinvolti metodi della teoria della convessità.

Saranno considerate esistenza, unicità e regolarità per soluzioni di EDP. Le equazioni considerate saranno sia lineari che non lineari, del secondo ordine e di ordine superiore, e di tipo ellittico, parabolico o misto ellittico-iperbolico. Certe nozioni di soluzioni generalizzate (soluzioni di entropia, soluzioni rinormalizzate, soluzioni “buone” alla Cafarelli-Fabes-Jensen) saranno utilizzate nello studio di EDP ellittiche e paraboliche con coefficienti non regolari o dati non convenzionali. Le soluzioni di entropia e rinormalizzate saranno applicate a EDP ellittiche variazionali del secondo ordine il cui membro destro ha un basso esponente di sommabilità. Le soluzioni “buone” saranno impiegate per trattare EDP ellittiche lineari del secondo ordine non in forma di divergenza con coefficienti solo misurabili.
Saranno analizzate proprietà di regolarità di equazioni che fanno intervenire campi vettoriali di Hoermander. Saranno studiate, con metodi di analisi funzionale geometrica e non lineare, equazioni di tipo ellittico-iperbolico, il cui prototipo è l’equazione di Tricomi, e che hanno origine da applicazioni quali il flusso transonico di fluidi. In particolare, si dimostreranno stime a priori per problemi lineari utilizzando proprietà di simmetria dell’equazione differenziale su domini stellati e si useranno metodi variazionali per trattare problemi di Dirichlet non lineari.

Il budget sarà usato principalmente per i seguenti scopi:
- Sostenere la collaborazione scientifica tra Partecipanti al Progetto di Unità diverse, e fra Partecipanti al Progetto e matematici italiani e stranieri.
- Finanziare convegni su temi inerenti al Progetto.
- Fornire ai Ricercatori del Progetto i mezzi necessari (riviste scientifiche, libri, calcolatori) per il loro lavoro.
- Fornire borse di studio a qualificati giovani matematici italiani <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Metodi di simmetrizzazione.

Le tecniche di simmetrizzazione, le cui radici affondano nel contributo di Steiner al problema isoperimetrico, si sono dimostrate un potente strumento per affrontare problemi in aree diverse, quali la fisica matematica, la teoria spettrale, l’analisi armonica, la teoria degli spazi di Sobolev e le EDP. Le competenze dei Partecipanti al Progetto vertono principalmente sugli ultimi due temi menzionati. Trattate in modo sistematico da Polya e Szego nel loro libro [PS] e, più recentemente, nella monografia [Ka1], le applicazioni delle simmetrizzazioni (chiamate anche riordinamenti) all’analisi delle disuguaglianze di Sobolev si incontrano a partire dalla fine degli anni ’70 nei lavori di Aubin [Au], Moser [Mo] e Talenti [Ta1]. Il successo di questi metodi, il cui vantaggio principale consiste nel sostituire i problemi n-dimensionali originali con problemi unidimensionali molto più semplice, ha attirato l’attenzione di vari autori, come testimoniato dal complesso dei risultati sui riordinamenti. Tra i risultati più significativi vanno ricordati quelli di Almgren-Lieb [AL], Brothers-Ziemer [BZ], Burchard [Bu], Kawohl [Ka2]. Contributi allo studio di proprietà fini di simmetrizzazioni e dei casi di uguaglianza in fondamentali disuguaglianze per i riordinamenti, nonché le conseguenti applicazioni alle disuguaglianze di Sobolev, sono dovuti al Coordinatore e collaboratori [CCF, C2, CFe, CF, FV].
L’uso di metodi di simmetrizzazione nella ricerca di stime a priori per soluzioni di EDP ellittiche del secondo ordine è stato introdotto in modo sistematico da Talenti circa trenta anni fa, in una serie di lavori iniziata con [Ta2], anche se idee collegate, seppure con un approccio diverso, erano già presenti nel lavoro di Weinberger [We] e tecniche simili erano state sviluppate in modo indipendente da Maz’ya [Maz1], mosse da uno spirito diverso. L’idea di fondo è che la soluzione di ogni problema al contorno, in una certa classe, può essere confrontata con la soluzione (radiale) di un problema opportunamente simmetrizzato, della stessa classe. La flessibilità di questo approccio è provata dalla quantità di varianti e di generalizzazioni che oggi sono presenti in letteratura. Risultati in proposito sono dovuti a Ashbaugh, A. Baernstein, Bandle, Battacharia, Benguria, Brock, Diaz, Kawohl, Kesavan, Lieb, P.L. Lions, Trudinger, Vasquez, Weitsman. Oltre all’opera di Talenti, va ricordato il contributo di altri Partecipanti al Progetto, quali Alvino, V. Ferone (e, in generale, l’Unità di Napoli [ADLT, AFLT, BT]), Bramanti, Pagani ed il Coordinatore. Monografie a cui far riferimento sono [Ba, Ka1]. Una dettagliata esposizione di questi contenuti si trova nel lavoro di rassegna di Trombetti [Tro].
Potente strumento nello studio di problemi del secondo ordine, le simmetrizzazioni possono essere usate anche in alcuni casi di equazioni di ordine superiore, sebbene si presenti un’ulteriore difficoltà: la simmetrizzata di una funzione che appartiene ad uno spazio di Sobolev del secondo ordine (o di ordine superiore) può anche non appartenere allo stesso spazio. In alcuni casi, comunque, questa difficoltà può essere superata combinando tecniche standard di simmetrizzazione con nuovi approcci. Questa strategia è stata recentemente applicata con successo dal Coordinatore [C2] e da Gazzola e collaboratori in [FGW, GGM].

Disuguaglianze isoperimetriche e di Sobolev.
Le disuguaglianze isoperimetriche sono un argomento molto classico. Considerate sin dall’antichità (problema di Didone), in tempi moderni si è avuta una svolta nel loro studio soprattutto grazie al risultato di De Giorgi di una cinquantina di anni fa sulla soluzione completa del problema isoperimetrico n-dimensionale [DeG]. Anziché essere l’atto finale delle ricerche sul tema, il teorema di De Giorgi ha aperto la via a nuove ricerche sulle disuguaglianze isoperimetriche e su varie questioni ad esse collegate. Ad esempio, le disuguaglianze isoperimetriche svolgono un ruolo decisivo in molti procidementi di simmetrizzazione di funzioni. Come messo in luce dalle ricerche di Federer e Fleming e di Maz’ya nei primi anni ’60, le disuguaglianze isoperimetriche sono intrinsecamente legate ad altre importanti famiglie di disuguaglianze di carattere funzionale, quali le disuguaglianze di Sobolev. Introdotti più di settanta anni fa [So], gli spazi di Sobolev costituiscono oggi l’ambiente naturale per molte teorie matematiche, in modo speciale per quella delle EDP. Le ricerche in quest’ultima area hanno contribuito ad approfondire l’analisi degli spazi di Sobolev ed a ottenere ulteriori disuguaglianze del tipo Sobolev, come testimoniato dai lavori in merito di Brezis, Edmunds, Lieb, P.L. Lions, Maz’ya, Nirenberg, Talenti, Triebel, Ziemer, tanto per citare solo alcuni autori. I Partecipanti al Progetto, compreso il Coordinatore, sono interessati sia alle disuguaglianze isoperimetriche sia a quelle di Sobolev. I loro risultati riguardano immersioni non standard [C1], costanti ottimali [AFT, C3], versioni quantitative [EFT, C4] e disuguaglianze di ordine superiore con termini di resto [GG, GGM].

Convessità.
Tra i vari approcci alla geometria convessa, tra cui vanno citati quelli classici dei testi di Eggleston e Valentine, il punto di vista della teoria di Brunn-Minkowski è quello privilegiato nel Progetto. La caratteristica principale di questa teoria, ben esposta nei testi di Bonnesen e Fenchel [BF] e di Schneider [Sch] (si veda anche [GW]), consiste nel ruolo centrale svolto da quantità geometriche (quali il volume, l’area della superficie, lo spessore medio e, più in generale, i quermassintegrals) associate a convessi n-dimensionali. La teoria fonda le proprie origini nei lavori di Minkowski e si è sviluppata in tempi successivi attraverso i contributi classici di Blaschke, A.D. Alexandrov, Bonnesen e Santalò. Il nucleo della teoria è costituito anche da disuguaglianze fondamentali come quella celebre di Brunn-Minkowski (una generalizzazione della disuguaglianza isoperimetrica ricca di conseguenze) e quella ancor più potente di Alexandrov-Fenchel, che costituisce ancora oggetto di ricerche per quanto riguarda la caratterizzazione dell’uguaglianza. Alcuni degli sviluppi più recenti si sono concentrati su problemi legati a sezioni e proiezioni di insiemi convessi, aspetti questi che in termini applicativi costituiscono l’oggetto principale di studio nel campo della tomografia geometrica, a cui è dedicato il libro di Gardner [Gar]. Gli aspetti analitici della geometria convessa sono anche collegati alla teoria locale degli spazi di Banach ed hanno pertanto attirato l’interesse di studiosi quali Bourgain, Lindenstrauss [BL], Milman e Pisier. Un nuovo filone di ricerca, aperto da Lutwak una quindicina di anni fa [Lut1, Lut2, LYZ], è quello della teoria L^p di Brunn-Minkowski: si tratta di una profonda generalizzazione della teoria classica, corrispondente al caso p=1, che risulta essere l’ambito naturale per sviluppare disuguaglianze isoperimetriche affini, come quelle di tipo Sobolev. Partecipanti al Progetto [Ca1, CCG1, CG1, CG4] hanno già dato contributi a queste linee di ricerca e sono impegnati su temi di grande attualità nel settore.

Proprietà geometriche di soluzioni di EDP.
Con questa espressione ci si riferisce, in senso ampio, a certe proprietà qualitative di soluzioni di EDP ellittiche e paraboliche. Si tratta di proprietà globali, quali segno, simmetrie, convessità delle soluzioni, o proprietà dei loro insiemi di livello, quali convessità, stellarità, collocazione di punti critici. Le ricerche su questi temi hanno i loro archetipi nel Teorema nodale di Courant in teoria spettrale, nel Teorema di Serrin sui problemi ellittici sovradeterminati, nei noti risultati di Gidas-Ni-Nirenberg e Berestycki-Nirenberg sulle simmetrie, nei risultati di Payne e collaboratori sulla convessità degli insiemi di livello di autofunzioni e nei risultati di Korewaar sulla convessità di soluzioni. Un classico testo di riferimento su questo argomento è [Ka1]. Tra i contributi recenti, segnaliamo [HHHN, IM, JN, JS, Ni] e quelli dei Partecipanti al Progetto [CS1, AM, MS1].
Un’altra linea di ricerca, legata alla teoria della convessità, riguarda le disuguaglianze di tipo Brunn-Minkowski per quantità di tipo variazionale (come la capacità, gli autovalori principali, la rigidità torsionale) associate a sottoinsiemi dello spazio euclideo n-dimensionale. A partire dal lavoro di Borell [Bo1], vari autori, tra cui Brascamp, Caffarelli, Jerison e Lieb, hanno dato il loro contributo in questo settore. Nuovi contributi sono dovuti a Partecipanti al Progetto [Co, CS2, CP, Gre, Sa1].

EDP ellittiche e paraboliche degeneri.
Una descrizione delle degenerazioni in EDP, alternativa alla condizione A_p di Mukenhoupt, è quella data da Hoermander attraverso i campi vettoriali. Partendo dall’idea di sostituire le usuali derivate parziali con derivate lungo campi vettoriali che soddisfano opportune condizioni, questa teoria risulta essere collegata a quella degli spazi di Carnot-Caratheodory (si veda, ad esempio, [Gr]). Studiati da Stein e dal suo gruppo, i campi vettoriali di Hoermander hanno acquisito popolarità nell’ultima ventina d’anni fra alcuni ricercatori in EDP, compresi matematici italiani (Franchi, Garofalo, Lanconelli, Serapioni). Partecipanti al Progetto (Bramanti, Di Fazio e collaboratori) hanno lavorato su vari aspetti di questa teoria, quali regolarità e stime a priori di soluzioni, esistenza di soluzioni per operatori non in forma di divergenza e proprietà geometriche degli spazi di Carnot-Caratheodory [BB, DZ, Ra].

Soluzioni generalizzate.
Vari modelli matematici di fenomeni fisici, chimici, biologici o di processi stocastici conducono a EDP ellittiche o paraboliche che possono essere affette da irregolarità o nei dati o nei coefficienti dell’operatore differenziale interessato. Per affrontare queste situazioni patologiche si ricorre ad opportune nozioni di soluzioni generalizzate. EDP ellittiche per operatori variazionali con membro destro costituito da una funzione soltanto integrabile, o addirittura da una misura, furono studiate da Stampacchia [St] nel caso lineare attraverso un metodo di dualità. Questo metodo non può essere esteso al caso non lineare, tranne che in alcuni casi particolari, come quelli considerati da Murat. Il caso non lineare è stato affrontato da Boccardo e Gallouet considerando soluzioni nel senso delle distribuzioni, che comunque non sono necessariamente debolmente differenziabili nè uniche. Queste difficoltà sono state superate introducendo due nozioni (equivalenti) di soluzioni: le soluzioni di entropia [BBGGPV] e le soluzioni rinormalizzate [LM]. Queste soluzioni sono state oggetto di numerosi lavori, compresi quelli di Partecipanti al Progetto, relativi a questioni di esistenza, unicità e regolarità [BMMP1, BMMP2, GM].
Difficoltà di natura diversa sorgono quando si devono trattare EDP che non hanno forma di divergenza e hanno coefficienti solamente misurabili. I risultati di maggior rilievo sulle EDP di questo tipo sono la stima di Aleksandrov-Bakelman-Pucci e la versione di Krylov-Safonov della disuguaglianza di Harnack. Un definizione di uso corrente di soluzione in questo contesto, introdotta da Caffarelli-Fabes-Jensen, è quella di “soluzione buona”. Le soluzioni buone sono ottenute come limiti localmente uniformi di soluzioni classiche di equazioni approssimanti con coefficienti regolari. Partecipanti al progetto sono stati coinvolti nello studio di questa classe di EDP per molti anni, e hanno ottenuto svariati risultati ad essa relativi [ArM, BM, PT].

Problemi ellittici di ordine superiore.
EDP di ordine superiore (specialmente del quarto ordine) si presentano in numerosi problemi di fisica matematica e, in particolare, in teoria dell’elasticità. Uno degli esempi più semplici di tale equazione è quella associata all’operatore biarmonico. Nel caso bidimensionale e accoppiato con condizioni al contorno di Stekloff, questa equazione fornisce un modello per la deformazione di una piastra incernierata. Anche per questa equazione molto speciale, non sono ancora note versioni appropriate di proprietà oramai classiche nella teoria delle equazioni del secondo ordine. Per esempio, non è chiaro sotto quali ipotesi questo problema gode della proprietà di conservazione della positività (principio del massimo). Un prima risposta parziale è stata data da Partecipanti al Progetto in [BGM]. In questo stesso lavoro si possono trovare alcuni risultati preliminari su alcuni corrispondenti problemi non lineari a crescita critica in dimensioni superiori, di interesse per applicazioni alla geometria conforme.
Un nuovo approccio, mediante dimostrazioni assistite al calcolatore, è stato recentemente proposto da Partecipanti al Progetto per superare le difficoltà che nell’affrontare equazioni del quarto ordine. Questo approccio è stato già utilizzato per trattare problemi biarmonici con nonlinearità di tipo esponenziale [AGGM], ed è stato già utilizzato per altre equazioni [AKT].

Equazioni di tipo misto.
Lo sviluppo di metodi variazionali e topologici per problemi non lineari di tipo misto ellittico-iperbolico o degenere, al pari dello sviluppo della analisi lineare su cui si poggiano, è un argomento di ricerca fortemente motivato da applicazioni. In effetti, problemi al contorno di tipo misto ellittico-parabolico per equazioni non lineari sorgono in numerosi problemi fisici e geometrici, quali la dinamica transonica dei gas [F], l’ottica non geometrica [MT3], le immersioni isometriche di varietà riemanniane la cui curvatura cambia di segno [L], la geometria proiettiva. Le condizioni al contorno naturali possono essere suddivise in due classi: quelle per le quali il dato al contorno è assegnato su tutta la frontiera sono dette “chiuse” (per esempio, condizioni di Dirichlet e di Neumann), mentre quelle in cui il dato al contorno è assegnato su un sottoinsieme proprio della frontiera sono dette “aperte” (per esempio le condizioni di Tricomi). I problemi con condizioni chiuse alla frontiera sono generalmente sovradeterminati in spazi definiti in termini di regolarità classica e quindi più difficili da trattare. Inoltre, l’applicazione di metodi convenzionali di analisi non lineare per problemi di tipo misto richiede precise informazioni sulla parte lineare che spesso non sono disponibili in letteratura. Partecipanti al Progetto hanno contribuito ad un sviluppo sistematico sia della teoria lineare sia di quella non lineare. In particolare, sono stati dimostrati risultati di esistenza e unicità di soluzioni deboli per problemi con condizioni al contorno sia aperte che chiuse. Sono stati anche considerati principi di massimo, problemi agli autovalori associati ed equazioni non lineari [LP1, LP2, LP3, LMP]. Una caratteristica cruciale in tutti i risultati sono metodi geometrici per ottenere stime a priori e identità che utilizzano un invarianza nella parte lineare (essendo stato calcolato in [LP3] il gruppo di simmetria completo) su domini stellati in senso opportuno. <<<