RICERCA ITALIANA     

Equazioni alle derivate parziali-Analisi microlocale analitica e Gevrey

Università degli Studi di Padova

Abstract

Il programma nel suo complesso è lo studio geometrico delle equazioni alle derivate parziali mediante l'impiego del metodo microlocale e cioè delle trasformazioni simplettiche e degli operatori pseudodifferenziali. I temi principali sono l'analisi nonlineare, (risolubiltà e regolarità in classi Sobolev/Gevrey di sistemi a caratteristiche multiple, buona positura del problema di Cauchy per sistemi debolmente iperbolici), gli operatori di Schrödinger generalizzati, l'estensione olomorfa e la decrescenza di soluzioni di EDP, il problema dei moti non stazionari di fluidi con frontiera libera, la teoria del potenziale per il problema di evoluzione di Stokes, la teoria spettrale, le proprieta` di continuita` e compattezza degli operatori di localizzazione nella trasformata di Gabor, le stime Gevrey ottimali per le soluzioni divergenti di EDP singolari, l'analisi algebrica (stack analitici per l'analisi microlocale), l'analisi complessa e la geometria CR (sistema CR tangenziale, dischi analitici in spazi simplettici, separata analiticita'), la geometria integrale (il teorema di Morera in piu' variabili complesse). <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Giuseppe Zampieri Università degli Studi di PADOVA

Obiettivo del Programma di Ricerca

PROGRAMMA GENERALE
Risolubilità e regolarità Sobolev e Gevrey per equazioni a caratteristiche multiple, analisi degli operatori di Schrödinger generalizzati, teoria del potenziale e stabilita' non lineare in fluidodinamica, trasformata di Radon-Penrose, geometria complessa e CR, campi vettoriali reali/complessi.
UNITA' DI TORINO
Il primo argomento e' quello della decrescita esponenziale e del prolungamento analitico analizzato mediante le classi di Gelfand-Shilov, l'analogo analitico-Gevrey delle classi di Schwartz. E' questo un tema comune anche alle unita' di Ferrara e di Cagliari. In questo ambito si studiano le soluzioni delle equazioni di Schroedinger, le soluzioni tipo "onda viaggiante", e si effettua l'analisi di Fourier in teoria dei segnali con una nozione molto generale di operatori di localizzazione o filtri. Generalizzazione del Teorema di Nirenberg-Treves sulla risolubilità locale di operatori lineari di tipo principale. Il proposito è di ottenere delle generalizzazioni ad operatori la cui parte principale è un prodotto di termini soddisfacenti la condizione di Nirenberg-Treves. L'obiettivo specifico è di provare un teorema di risolubilità per classi Gevrey con indice prossimo ad 1. Altro obiettivo è di applicare metodi microlocali allo studio asintotico dello spettro di operatori di tipo Schrödinger. Si intende anche stabilire una teoria degli operatori pseudodifferenziali su varieta' di tipo wedge. Tema di rilievo e` inoltre l'analisi dei segnali mediante i parametri tempo-frequenza e lo studio della trasformata di Gabor ad essa collegata. Un ultimo obiettivo e` quello di stabilire teoremi di esistenza di soluzioni per equazioni della fluidodinamica ed altre equazioni con applicazioni fisiche in presenza di termini non-lineari molto generali.
UNITA' DI FERRARA
Teoremi di ipoellitticità analitica, Gevrey e differenziabile per equazioni lineari e semilineari a caratteristiche multiple. Condizioni di Levi per equazioni iperboliche a caratteristiche di molteplicita' variabile. Blow-up di soluzioni di sistemi debolmente iperbolici. Buona positura del problema di Cauchy per sistemi iperbolici a caratteristiche doppie. Buona positura per equazioni non-Kovalewskyane generalizzate di tipo Schrödinger. Sistemi a molteplicità variabile, criteri di regolarita` analitica per somme di quadrati nel caso Levi-degenere. Studio dei fluidi con frontiera libera, stime di Schauder-Solonnikov in problemi non lineari. In relazione con le classi di Gelfand-Shilov sopra-citate, si tratta l'analisi degli operatori SG e dei relativi problemi iperbolici.
UNITA' DI CAGLIARI
Regolarità decrescenza ed estendibilita' olomorfa di soluzioni di equazioni alle derivate parziali con cofficienti polinimiali o analitici. Stime per composizioni non-lineari in spazi di Banach per l'analisi di spazi di Gevrey anisotropi. Buona-positura del problema di Cauchy in tali classi. Risolubilita` e regolarita` di EDP a caratteristiche multiple. Risolubilita` e stime Gevrey ottimali per soluzioni divergenti di EDP singolari.
UNITA' DI PADOVA
Risolubiltà del sistema CR con regolarità fino al bordo per domini debolmente q-pseudoconvessi e per “wedges” di C^N. Estensione di funzioni CR su wedges in varieta` di tipo finito mediante dischi analitici singolari al bordo. Applicazione delle trasformazioni simplettiche alla teoria dei dischi analitici e, in particolare, dei dischi stazionari. Teoremi di Paley-Wiener nella trasformata di Radon: geometria CR nella caratterizzazione dell'immagine. Criteri di analiticita` per funzioni analitiche lungo famiglie di dischi. Dischi estremali nel teorema di Morera in piu' variabili complesse. WKB analisi globale su varieta' simplettiche complesse, algebroidi e moduli di deformazione-quantizzazione, ind-fasci e sistemi olonomi irregolari, trasformate di Fourier e Laplace per funzioni olomorfe temperate, trasformazioni integrali per fasci e D-moduli (quasi-) equivarianti. In tutti questi argomenti si intende applicare il metodo delle trasformazioni simplettiche e della loro quantizzazione (o trasformazione integrale associata). Altri strumenti sono le stime L^2 ed il metodo più classico della rappresentazione integrale per le soluzioni del sistema CR. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

2.2 Base di partenza scientifica nazionale o internazionale


Testo italiano
Ambito della ricerca
GENERALE
L'attività di ricerca delle quattro unità associate si inquadra nel filone dello studio geometrico delle equazioni alle derivate parziali. Tale studio ha avuto inizio negli anni 70 ad opera di Sato, Treves, Baouendi, Hörmander, Henkin... ed è attualmente sia una materia ricca nella cultura matematica sia un campo attuale di ricerca avanzata. L'idea di base che soggiace a tutta la teoria è l'analisi delle soluzioni dei sistemi di equazioni differenziali attraverso l'indagine della loro varietà caratteristica. Questo punto di vista appartiene alle correnti più avanzate ed attuali della ricerca scientifica in cui convergono contributi provenienti dalle aree più diverse; l'analisi di Fourier e gli operatori pseudodifferenziali, la propagazione delle singolarità per le soluzioni delle equazioni lineari e non, la geometria simplettica reale/complessa, le trasformazioni simplettiche ed integrali, la teoria dei D-moduli, l'analisi complessa. Da una parte l'enorme progresso recente della geometria simplettica ha fornito la forma canonica delle varieta` caratteristiche. Dall'altra la teoria della "quantizzazione" ha permesso di associare alle trasformazioni simplettiche un'"azione" sulle soluzioni dei sistemi differenziali che rende possibile la loro riduzione ai modelli canonici. Le aree di interesse delle tre unità possono essere così sintetizzate.
UNITA' DI TORINO
Analisi Microlocale Gevrey per equazioni alle derivate parziali lineari e non lineari. Le tecniche dell'Analisi Microlocale (operatori pseudo-differenziali, operatori integrali di Fourier, fronti d'onda) sono applicate per le classi di Gevrey. In tale ambito funzionale, risultati di esistenza e regolarità sono stati ottenuti per problemi non risolubili o non ben-posti nell'usuale ambito degli spazi di Sobolev e delle distribuzioni di Schwartz. Altro tema di rilievo e' l'analisi tempo-frequenza. Questa può essere pensata come analisi microlocale diretta ad applicazioni in Teoria dei Segnali. In tale ambito gli operatori pseudo-differenziali vengono riscritti come operatori anti-Wick, e detti anche operatori di Toeplitz-Daubechies, od operatori di localizzazione. Altro tema e' costituito dagli operatori su varieta` con singolarita`. Un calcolo pseudo-differenziale generale per operatori su varietà con singolarità coniche, o spigoli, è stato proposto in questi ultimi anni da Schulze (Univ. Potsdam). E` stato approfondito lo studio degli operatori pseudo-differenziali SG, globalmente definiti su varietà non compatte "ad uscita conica". Infine si sono trattati gli operatori di Weyl-Hormander e la teoria spettrale. Utilizzando il calcolo di Weyl-Hormander, si sono ottenuti risultati sull'asintotica spettrale, in particolare per operatori di Schrodinger di tipo multi-quasi-ellittico, e positivita' e si e' considerata una classe generale di operatori pseudo-differenziali L^p continui, con applicazione alle equazioni multi-quasi-ellittiche nonlineari. L'Unità ha rapporti di scambio sistematico con l'Università di Wuhan (R.P. Cina) e con l'Accademia delle Scienze bulgara di Sofia.
UNITA' DI FERRARA
Anzitutto e' stato trattato il problema di Cauchy. Largo spazio e` stato dato allo studio della buona-positura, per equazioni e sistemi iperbolici, per equazioni non Kovalewskiane, per sistemi sovradeterminati; questo in vari spazi funzionali: Gevrey, Sobolev, Gelfand-Shilov, ed altri spazi. In particolare sono state stabilite, per coefficienti regolari e non, le condizioni di Levi per equazioni e sistemi iperbolici con molteplicita` costante non lineari, non Kovalewskiani, con coefficienti non regolari rispetto alla variabile tempo. Nel caso dei sistemi sovradeterminati sono state ottenute condizioni per la buona positura che riguardano la geometria degli insiemi su cui si assegnano i dati di Cauchy ed in cui si cercano le relative soluzioni. Altro tema di studio e' stato quello della risolubilita`. Nell'ambito del problema di Cauchy per sistemi sovradeterminati sono state ottenute delle condizioni necessarie e/o sufficienti per l'esistenza di soluzioni in vari spazi funzionali generalizzando dei risultati di Hormander, mediante lo studio di principi di Phragmen-Lindelof. Si e' trattata anche la propagazione delle singolarita` analitica per equazioni iperboliche non lineari con condizioni di Levi. Risultati relativi a blow-up e formazione di singolarita` sono stati ottenuti nell'ambito dei sistemi debolmente iperbolici non lineari. Si sono studiate infine le equazioni della fluidodonamica. E' stata studiata la buona positura per il problema di moti non stazionari di fluidi con frontiera libera trattando prevalentemente problemi di buona positura per equazioni che reggono moti newtoniani e non newtoniani. Particolare attenzione e` stata posta al problema di Stokes, ottenendo, tramite trasformata di Fourier ed operatori pseudo-differenziali, delle stime delle soluzioni in spazi di Holder e Sobolev. Si e' inoltre costruita una teoria del potenziale per il problema di Stokes di evoluzione in domini arbitrari con frontiera compatta e C^2-regolare, e trovata una soluzione esatta per il sistema di Stokes non stazionario con condizioni al bordo non omogenee, in domini non convessi con frontiera regolare. Cio' appare costituire un modello adeguato a descrivere il flusso sanguigno nelle arterie. Sono stati poi affrontati: il problema dell'esistenza di moti stazionari di fluidi comprimibili, la stabilità della quiete per il problema di Benard nell'approssimazione di Boussinesq, l'esistenza globale di moti non stazionari in condotti con frontiera elastica. Per tali problemi Solonnikov ha introdotto stime di tipo Schauder. E' stata infine individuata una teoria del potenziale per problemi con frontiera libera, che consente di determinare stime precise sulla soluzione. L'Unità intrattiene rapporti sistematici di collaborazione con l'Università di Wuhan (R.P. Cina) e con l'Accademia delle Scienze bulgara di Sofia.
UNITA` di CAGLIARI
Analisi delle risolubilta` e ipoellitticita` differenziabili e Gevrey delle soluzioni di EDP a caratteristiche multiple. Regolarita` globale delle soluzioni di equazioni semilineari. EDP con degenerazioni e singolarita` analizzate mediante operatori pseudodofferenziali a coefficienti periodici, condizioni Diofantee di tipo Gevrey, forme canoniche di Jordan. Propagazione di singolarita` per equazioni non lineari e soluzioni globali per quelle lineari. Collaborazioni sistematiche con l'Accademia delle Scienze bulgara di Sofia, l'Universita` di Shanghai Tong (Cina) e l'Universita` di Hiroshima (Giappone)
UNITA' DI PADOVA
Il gruppo sviluppa ricerche nell'area dell'analisi complessa, teoria analitica delle E.D.P. (ipoellitticita`, risolubilita` e regolarita` di campi vettoriali e di sistemi a caratteristiche semplici) geometria integrale, trasformazioni simplettiche e integrali, mappe CR. Sono stati impiegati i metodi della geometria simplettica e delle trasformazioni canoniche negli argomenti piu' classici della risolubilita' del sistema di Cauchy-Riemann tangenziale, dei campi vettoriali reali/complessi, dei sistemi a caratteristiche semplici, del teorema di Morera in piu' variabili complesse. Piu` in dettaglio ecco gli argomenti trattati. Ipoellitticita` di campi vettoriali che soddisfano a condizioni del tipo di Hormander, ipoellitticita` massimale e stime subellittiche per il sistema di Cauchy-Riemann tangenziale. I metodi impiegati sono quelli della rappresentazione integrale di Henkin e delle stime L^2 di Hormander. Estensione di funzioni e mappe CR. Si e` considerato il problema di estensione di mappe biolomorfe fra "wedges" di C^N mediante la teoria dei dischi "stazionari" (o estremali nel senso della metrica di Kobayashi). Metodo fondamentale e' la teoria microlocale dei dischi analitici attaccati a varieta` R-Lagrangiane in spazi simplettici complessi. Altro strumento di rilievo e' la recente teoria dei dischi analitici con singolarita' al bordo sviluppata all'interno dell'unita'. Con questo strumento si stanno provando risultati di estensione di funzioni CR nelle direzioni in cui puntano i commutatori iterati di campi olomorfi ed antiolomorfi. Si sta' inoltre mettendo a punto una teoria di dischi analitici attaccati a strutture "quasi-complesse" per ottenere la generalizzazione a questo ambito dei teoremi di estensione precedentemente ottenuti. Altri temi sono la q-pseudoconvessita` debole di domini di C^N e regolarita` al bordo del sistema di Cauchy-Riemann, propagazione di estendibilita` a "wedges" di funzioni CR, principi di rigidita' "di tipo Cartan" per mappe olomorfe con punto fisso al bordo, teorema dell'"edge of the wedge" in presenza di singolarita`, analiticita` di funzioni separatamente analitiche. Si e' inoltre fatto un uso innovativo della metrica di Kobayashi nel problema dell'estensione olomorfa di funzioni definite su ipersuperficie convesse. Nel campo dell'analisi algebrica si intendono utilizzare alcuni metodi recentementi mutuati dalla geometria algebrica: topologie di Grothendieck e stack. Lavori di Kashiwara e Kontsevich hanno mostrato come in campo complesso l'analisi globale di sistemi microdifferenziali o WKB richiedano l'uso della nozione di stack. Nello studio degli opertatori differenziali a singolarita' irregolari, la nozione di topologia di Grothendieck ha consentito di trattare in modo funtoriale alcuni spazi funzionali di natura non locale, come le distribuzioni temperate. Nell'ambito delle trasformazioni integrali e' di nuovo la nozione di stack che consente di trattare in modo naturale il caso equivariante. Rapporti di collaborazione sistematica sono intrattenuti con il RIMS - Kyoto Univ. (Giappone), l'Univ. Paris VI (Francia), l'Univ. dell'Illinois di Urbana-Champaign (U.S.), il Trinity College di Dublino (Irlanda), l'Univ. Bar Ilan di Tel Aviv (Israele). <<<