RICERCA ITALIANA     

Modelli ed applicazioni della monotonia generalizzata

Università degli Studi di Brescia

Abstract

Le tematiche che verranno affrontate nel progetto di ricerca riguardano vari aspetti teorici, computazionali ed applicativi relativi alla monotonia generalizzata, alle disequazioni variazionali e ai problemi di equilibrio. Il programma si presenta vasto e articolato e si può idealmente suddividere in uno studio di carattere teorico ed in un successivo riscontro dei risultati a livello applicativo e a livello algoritmico.
La fase di studio teorico si può riassumere schematicamente nel modo seguente:
- Studio e caratterizzazione di funzioni aventi mappe gradienti monotone generalizzate
- Studio dei modelli di equilibrio generalizzato e rapporto con le disequazioni variazionali
- Studio della dualità per disequazioni variazionali vettoriali

Per quanto riguarda lo studio algoritmico, verranno studiati metodi risolutivi per varie classi di problemi sia scalari sia bicriteria, in particolare:
- Problemi con funzioni obiettivo frazionarie generalizzate e quadratiche moltiplicative
- Problemi di ottimizzazione bilivello
- Problemi bicriteria con funzione obiettivo avente mappa gradiente monotona generalizzata.

Ampio spazio è anche dedicato alle applicazioni dei risultati conseguiti da un punto di vista teorico, tra cui l’analisi del mercato liberalizzato dell’energia elettrica e l’indagine di equilibri in problemi di trasporto. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Elisabetta Allevi Università degli Studi di BRESCIA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Negli ultimi decenni lo studio dei metodi e dei modelli di programmazione matematica per l’analisi dei problemi di equilibrio ha suscitato un vasto interesse sia dal punto di vista teorico sia dal punto di vista applicativo (per i riferimenti bibliografici si veda il punto 2.2 “Base di partenza scientifica nazionale ed internazionale”). In tale studio si ritrovano problematiche relative sia all’ottimizzazione sia alla teoria delle disequazioni variazionali, problematiche che risultano tra loro strettamente connesse. In particolare, le disequazioni variazionali consentono di trattare situazioni reali più complesse rispetto a quelle che rientrano negli schemi classici dei problemi di ottimizzazione. Lo sviluppo della teoria delle disequazioni variazionali ha seguito tappe analoghe a quelle della teoria dell’ottimizzazione: inizialmente risultati in forma scalare, solo recentemente, per meglio adattare i modelli a contesti in cui le grandezze che compaiono sono per loro natura vettoriali, si è passati ad una formulazione di tipo vettoriale. Come nel caso dell’ottimizzazione, tale estensione si presta a diverse formulazioni legate, ad esempio, a diversi concetti di ordine o alla possibilità di privilegiare un obiettivo rispetto ad un altro.
Le diverse competenze scientifiche dei proponenti il progetto concorrono in modo complementare allo studio dei problemi di equilibrio, sia dal punto di vista dell’ottimizzazione matematica sia dal punto di vista delle disequazioni variazionali. Inoltre l’analisi di tali tematiche trova un denominatore comune nella monotonia generalizzata, che ha stimolato la collaborazione tra i proponenti il progetto.
Tradizionalmente lo studio dei problemi di ottimizzazione e delle disequazioni variazionali è stato effettuato tramite l’analisi di problemi convessi o monotoni; poiché queste ipotesi di regolarità si sono rivelate spesso troppo restrittive, in problemi applicativi sia dell’Economia che della Ricerca Operativa, l’attenzione si è rivolta alla ricerca di definizioni più deboli di tali proprietà, mettendo in evidenza lo stretto legame tra disequazioni variazionali e monotonia generalizzata.

Un primo obiettivo è lo studio della monotonia generalizzata al fine di determinare nuove classi di mappe monotone generalizzate che consentano di proporre nuovi metodi sequenziali sia per problemi scalari che per problemi sequenziali.
Un obiettivo parallelo del progetto è un’indagine teorica ed applicativa delle disequazioni variazionali vettoriali, con proprietà di monotonia generalizzata, e più in generale disequazioni variazionali che coinvolgono multi-funzioni definite su sottospazi non necessariamente reali, al fine di formulare modelli più generali di quelli presenti in letteratura.
Tali estensioni dell'ordine di monotonia consentono di stabilire nuovi risultati di esistenza e di unicità per le corrispondenti disequazioni variazionali definite su strutture partizionate, ossia su prodotti cartesiani, che consentono di sviluppare nuovi metodi risolutivi efficienti e specializzare tali risultati a problemi di disequazioni variazionali miste.
Il progetto di ricerca può essere apprezzato per le potenziali molteplici applicazioni delle tematiche affrontate, dei metodi e dei modelli sviluppati, in particolare per l’indagine dell’equilibrio del traffico su una rete di trasporto, di problemi di equilibrio oligopolistico, nonché per l’analisi del mercato liberalizzato dell’energia elettrica al fine di ridurre in modo significativo i costi reali di ristrutturazione. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Da vari decenni, la monotonia generalizzata costituisce un’area di ricerca particolarmente attiva che coinvolge studiosi di varie discipline tra le quali una menzione particolare spetta all’ottimizzazione e all’economia matematica. La monotonia generalizzata è apparsa come il naturale complemento della convessità generalizzata, tenuto conto anche delle applicazioni alle disequazioni variazionali ed ai problemi di equilibrio.
Mentre nel passato la monotonia generalizzata e la convessità generalizzata sono state sistematicamente studiate in modo indipendente, solo recentemente si sono trovate forti interrelazioni tra esse che hanno permesso di ottenere risultati sull’una tramite le proprietà dell’altra.
Tale interrelazione è testimoniata dalla ricca varietà di argomenti affrontati nei recenti volumi [Eberhard A. et al. Eds. (2005): “Generalized Convexity, Generalized Monotonicity and Applications”, Hadjisavvas et al. Eds. (2005): “Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity”].
I modelli di tipo variazionale, che coinvolgono in particolare le disequazioni variazionali ed i problemi di equilibrio, rappresentano una grande varietà di problemi matematici utili nella rappresentazione di molte situazioni reali (Aubin, 1993). In letteratura sono stati indagati vari aspetti, sia teorici che computazionali ed applicativi, delle disequazioni variazionali e dei problemi di equilibrio.
Da un punto di vista teorico particolare attenzione hanno ricevuto lo studio della esistenza delle soluzioni in ipotesi di monotonia, di compattezza o di coercività e l’analisi delle sensitività in presenza di perturbazioni (Harker, Pang, 1990). Parallelamente è stata sviluppata l’indagine di metodi e di algoritmi risolutivi finalizzati a possibili applicazioni, quali ad esempio, lo studio dell’equilibrio su una rete di trasporti, o, più in generale, in un sistema economico o finanziario (Nagurney, 1993 ).
Lo sviluppo di disequazioni variazionali (VI) a dimensione finita, generalizzazione di un problema complementare non lineare (NCP), parte nei primi anni ’60 e fornisce un ampio sistema unificante per lo studio di problemi di ottimo e di equilibrio. Un’interessante rassegna delle prospettive di evoluzione del VI/NCP si può trovare in Facchinei, Pang (2003).
L’approccio dei modelli di equilibrio è uno dei più utilizzati anche nello studio del mercato elettrico (Smeers, 1997). In alcuni lavori sono stati studiati modelli che forniscono funzioni di equilibrio in assenza di vincoli di trasmissione, in altri sono stati esaminati modelli di equilibrio alla Cournot-Nash con vincoli di trasmissione (Oren et al., 2004). Un’ importante scelta iniziale è l’ipotesi riguardante la possibilità per gli agenti di intervenire nei mercati della trasmissione. L’ipotesi che gli agenti agiscano sui mercati porta a problemi non-convessi con la possibilità di più punti di equilibrio [Oren, 1997; Cardell, Hitt e Hogan, 1997; Luo, Pang e Ralph, 1996].
D’altro canto, se il maggior obiettivo del modello è di considerare il comportamento dei produttori nel mercato dell’energia, l’ipotesi che gli agenti agiscano come compratori nel mercato della trasmissione consente di formulare tali modelli in termini di problemi di complementarietà o di disequazioni variazionali [Daxhelet e Smeers, 2001; Hobbs, 2001; Smeers e Wei, 1997].
Inoltre nei modelli citati le condizioni del primo ordine per tutti i produttori possono essere aggregate con quelle dei proprietari delle linee di trasmissione e l’equilibrio può essere formulato come un problema di complementarietà. In questo campo vi sono numerosi problemi aperti come la creazione di un efficace pool per investigare problemi di grandi dimensioni.
La formulazione delle disequazioni variazionali e dei problemi di equilibrio è stata data inizialmente in forma scalare. Successivamente si è passati a una formulazione di tipo vettoriale, percorrendo tappe analoghe a quelle dell’ottimizzazione (Giannessi, 1980). Tale estensione si presta a diverse formulazioni sia in dimensione finita che infinita. Nel primo caso si può ridurre il problema vettoriale a una sequenza di problemi scalari, evidenziando una gerarchia fra gli obiettivi; in entrambi i casi, la soluzione può essere definita utilizzando diversi concetti di ordine.
Nell’intento di indebolire le condizioni classiche per l’esistenza delle soluzioni, ipotesi chiave risulta essere la generalizzazione della monotonia. Negli ultimi due decenni numerosi lavori riguardanti questi concetti e le loro applicazioni ai problemi variazionali e di equilibrio sono comparsi su riviste internazionali (Avriel et al., 1988, Hadjisavvas et al., 2005).
Per quanto riguarda le proprietà di monotonia generalizzata, sono stati ottenuti criteri per la monotonia generalizzata di mappe affini [si veda ad esempio Hadjisavvas et al. Eds. (2005)] e recentemente in [Cambini A., Martein L. and Schaible S. (2005.a)(2005.b)] è stato evidenziato come la trasformazione di Charnes-Cooper ed una sua generalizzazione hanno la proprietà di conservare sia la pseudoconvessità della funzione che la pseudomonotonia della mappa gradiente.
Ricordando che le funzioni pseudomonotone ammettono punti di ottimo (minimo e/o massimo) su punti estremi della regione ammissibile, si rileva come la monotonia generalizzata occupi una posizione importante nella programmazione matematica anche dal punto di vista algoritmico, permettendo la determinazione di vari metodi sequenziali atti a risolvere problemi frazionari generalizzati.
In particolare, la risoluzione di alcune classi di problemi frazionari generalizzati è stata affrontata da vari autori con tecniche diverse. Ai fini di questo progetto si segnalano i lavori [De Angelis et al. (1997), Gomez M.A.(2001)].
Tra i vari approcci presenti in letteratura ne esiste uno di tipo parametrico basato sul concetto di “soluzione ottima di livello” introdotto in [Cambini A and L.Martein (1986)] e recentemente utilizzato per la risoluzione di problemi quadratici [Cambini R. and C.Sodini (2002) e (2003)]; i risultati ottenuti in termini di efficienza algoritmica e di limitazione degli errori numerici evidenziano la presenza di ulteriori spazi di indagine sia di tipo teorico che di tipo implementativo.
L'importanza della programmazione frazionaria generalizzata ed in particolare della programmazione quadratica frazionaria e moltiplicativa è testimoniata dalle numerose applicazioni in campo economico-aziendale tra le quali ricordiamo la DEA (data envelopment analysis), [si veda ad esempio Cooper W.W., et al. (2004)], la tax programming [Yitzakhi S. (1982)], la logistica ed i modelli di allocazione [si veda ad esempio Barros A.I. (1998)], la teoria del rischio e del portafoglio. <<<