RICERCA ITALIANA     

Analisi Armonica

Scuola Normale Superiore di Pisa

Abstract

Scopo del progetto è lo studio di problemi di analisi armonica che appaiono in diversi contesti ma fortemente interconnessi tra loro in diversi modi: motivazioni, tecniche e metodologie. Molti dei problemi da studiare riguardano le proprietà di limitatezza di vari tipi di operatori, come a integrali singolari e oscillanti, funzioni massimali, moltiplicatori spettrali. L'origine di questi operatori può rintracciarsi nelle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa, nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi, nei problemi di sommabilità di sviluppi in autofunzioni, nella teoria dei semigruppi fortemente continui, in teoria dell'approssimazione e in analisi numerica. Essi sono definiti in spazi Euclidei, su varietà con diverse proprietà metriche o topologiche, o su strutture discrete, come grafi o "buildings". L'analisi in tempo-frequenza, includendovi le ondine, entrano in questo quadro sia come strumento che come oggetto di studio di per sé. Queste varie situazioni, diverse come possono sembrare, sono tuttavia fortemente legate tra loro. Membri delle varie unità di ricerca collaborano con varie interazioni sui diversi obiettivi.
Il programma consiste delle seguenti sezioni e sottosezioni:

1. ANALISI DI FOURIER

1.a. Sommabilità di serie e integrali di Fourier ed espansioni in autofunzioni; fenomeno di Gibbs
1.b. Distribuzioni di punti di reticoli in insiemi convessi
1.c. Funzioni massimali e integrali singolari

2. ANALISI SU GRUPPI DI LIE E SPAZI OMOGENEI

2.a. Analisi spettrale di Laplaciani e sub-Laplaciani invarianti: moltiplicatori e metodi di sommabilità
2.b. Integrali singolari, immersioni di Sobolev, spazi di Hardy
2.c. Proprietà geometriche di gruppi nilpotenti
2.d. Analisi di Fourier non commutativa

3. ONDINE

3.a. Analisi multi-risoluzione e frames
3.b. Formule riproducenti

4. ANALISI ARMONICA SU STRUTTURE DISCRETE

4.a. Analisi sferica su alberi e building
4.b. Analisi di funzioni armoniche su alberi e building
4.c. Geometria integrale su alberi e building
4.d. Rappresentazioni di gruppi discreti

5. METODI DI ANALISI ARMONICA IN ALTRE AREE DELLA MATEMATICA

5.a. Analisi complessa
5.b. Disuguaglianza di indeterminazione
5.c. Analisi sullo spazio di Gauss
5.d. Equazioni alle derivate parziali
5.e. Analisi su varietà Riemanniane
5.f. Problemi di evoluzione <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Fulvio Ricci Scuola Normale Superiore di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

L’evoluzione dell’Analisi Armonica ha visto una enorme espansione delle sue finalità, del suo impatto in altre aree della matematica, del suo ambito di applicazione, dei metodi matematici richiesti nella ricerca. Questo progetto contiene molti apetti del risultato di questa evoluzione, così come si sono sviluppati in Italia negli ultimi decenni.
L’articolazione del programma scientifico che presentiamo non corrisponde a una netta divisione in aree separate, e il materiale avrebbe potuto essere organizzato in forme diverse. In particolare, molti temi sono comuni a varie sezioni e riflettono l’espressione di un comune punto di vista in contesti diversi. Elenchiamo i seguenti:
-metodi di sommabilità e convergenza per tipi diversi di espansioni appaiono tanto nel contesto classico dell’analisi di Fourier quanto su gruppi di Lie e per espansioni in autofunzioni di tipo generale;
- le condizioni classiche di Mihlin-Hörmander per la limitatezza L^p dei moltiplicatori di Fourier appare continuamente nell’analisi spettrale di operatori differenziali in contesti diversi;
- allo stesso modo, integrali singolari, funzioni massimali a gli altri strumenti classici della teoria di Calderón-Zygmund pervadono diverse aree di ricerca, producendo anche un feed-back sugli aspetti di teoria della misura che le sono propri;
- la connessione tra analisi di Fourier e analisi del comportamento al bordo di funzioni olomorfe e armoniche, nata con i lavori di Hardy e Littlewood, è presente in varie forme nel contesto classico, sugli spazi simmetrici, su strutture discrete come alberi e building;
- il teorema di restrizione per la trasformata di Fourier in R^n di Stein e Tomas ha generato una varietà di risultati che stanno svolgendo un ruolo crescente nella teoria delle EDP.

Il gruppo di ricercatori coinvolto in questo progetto ha una lunga tradizione di interazioni scientifiche e di collaborazione congiunta. L’incontro annuale degli analisti armonici italiani (detto “convegnetto”) ha raggiunto la 27esima edizione nel 2007. Al tempo stesso, collaborazioni e interazioni con matematici che lavorano in altri campi si è sviluppata negli anni a livello nazionale e internazionale. I “convegnetti” sono sempre più caratterizzati dalla partecipazione di colleghi interessati da diversi punti di vista ai recenti sviluppi dell’analisi armonica. Questo ha dato origine a nuovi indirizzi di ricerca.
Noi crediamo che la coesione di questa parte della comunità matematica abbia un valore tanto maggiore in quanto proviene da un genuino interesse scientifico negli sviluppi del campo in tutte le sue direzioni. Il presente progetto include ricercatori con diversi livelli di esperienza e diversi ruoli guida. Insieme a matematici esperti con una loro visibilità internazionale, c’è un numero rilevante di giovani ricercatori universitari, borsisti post-doc e studenti di dottorato. Attribuiamo una grande importanza alla promozione di intensi contatti tra le diverse generazioni e alla formazione dei giovani alla ricerca. Ogni unità destinerà una parte consistente del suo budget ad assegni di ricerca per i più giovani.

Indichiamo i principali obiettivi di ogni sezione del programma. Una descrizione più dettagliata è contenuta alla voce “Articolazione del progetto” e nei modelli B delle varie unità.


1. ANALISI DI FOURIER

- Migliorare la comprensione della convergenza di serie e integrali di Fourier e di altre espansioni in autofunzioni. Per serie di Fourier, i problemi si pongono in dimensioni maggiori di uno (convergenza q.o., fenomeno di Gibbs).
- Usare metodi di analisi di Fourier per raffinare la comprensione del comportamento asintotico della distribuzione di reticoli di punti interi in successioni crescenti di convessi di R^n che invadono l’intero spazio.
- Raffinare la conoscenza delle migliori costanti in disuguaglianze massimali.
- Migliorare la conoscenza delle stime L^p per operatori a integrali singolari, al di là della teoria di Calderón-Zygmund.

2. ANALISI SU GRUPPI DI LIE E SPAZI OMOGENEI

- Migliorare la comprensione delle stime L^p per moltiplicatori spettrali di Laplaciani e sub-Laplaciani, estendendo l’analisi a operatori che agiscono su forme differenziali e a famiglie commutative di operatori.
- Estendere ai gruppi nilpotenti la teoria degli integrali singolari a più parametri.
- Estendere o raffinare disuguaglianze classiche in R^n (immersioni di Sobolev, Moser-Trudinger, ecc.) nel contesto dei gruppi nilpotenti e delle varietà CR.
- Migliorare la comprensione di specifici aspetti della teoria geometrica della misura e della geometria conforme su gruppi di Carnot.
- Sviluppare aspetti della trsformata di Fourier sferica su spazi simmetrici e coppie di Gelfand.

3. ONDINE

- Discutere gli aspetti teorici riguardanti l'esistenza di basi di ondine o frames soddisfacenti particolari proprieta' e la loro possibile associazione ad una AMR (analisi multi-risoluzione).
- Sviluppare un quadro teorico che comprenda la maggior parte dei sistemi noti, utilizzando la rappresentazione metaplettica come strumento unificante.


4. ANALISI ARMONICA SU STRUTTURE DISCRETE

- Migliorare la conoscenza della trasformata sferica su alberi e building.
- Estendere il teorema di Fatou locale e altre proprietà della convergenza non tangenziale al bordo al contesto degli alberi non omogenei e ai building.
- Sviluppare la geometria integrale su alberi omogenei.
- Generalizzare alcune proprietà recentemente osservate nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi liberi.


5. METODI DI ANALISI ARMONICA IN ALTRE AREE DELLA MATEMATICA

- Discutere questioni classiche della teoria degli spazi di Hardy di funzioni olomorfe per altri spazi di funzioni.
- Estendere a dimensioni più alte lo studio della convergenza tangenziale al bordo lungo opportune regioni di approccio.
- Migliorare la conoscenza del nucleo di Bergman e delle proprietà del proiettore di Bergman sul “worm domain” in più variabili complesse.
- Usare analisi microlocale e operatori integrali di Fourier per raccordare due diversi approcci all’analisi degli isomorfismi biolomorfi di varietà complesse proiettive.
- Estendere ad altre disuguaglianze, come quella di Hardy, un approccio generale alle disuguaglianze di indeterminazione associate a semigruppi ultracontrattivi.
- Sviluppare la teoria H^1-BMO per misure “non-doubling”, e in particolare alla misura di Gauss.
- Studiare stime forti p-p e deboli 1-1 per le trasformate di Riesz associate a operatori di Ornstein-Uhlenbeck non simmetrici.
- Applicare metodi di analisi armonica per ottenere stime per soluzioni di EDP (regolarità Gevrey per le equazioni di Kac e di Boltzmann, stime di Sobolev massimali per l’equazione di Schrödinger, stime di Strichartz per equazioni dispersive in spazi di modulazione).
- Studiare proprietà spettrali di operatori di Schrödinger su varietà Riemanniane con curvatura prescritta.
- Confrontare il comportamento del moto Browniano su un dominio di Lipschitz con quello della passeggiata aleatoria sui suoi punti interi. <<<

Risultati parziali attesi

Alcuni dei compiti descritti sopra sono la continuazione di lavori precedenti, e i ricercatori coinvolti sono giunti a uno stadio in cui è possibile formulare una congettura o una domanda precisa e lavorare direttamente su quella. Per altri compiti, la ricerca è a un livello iniziale e il primo lavoro da fare è capire dove siano i punti cruciali, quali tecniche siano richieste, o quale tipo di risultato generale sia ragionevole cercare. Una terza categoria di compiti consiste nel trovare nuovi approcci a certi risultati o teorie.

Esempi della prima categoria sono 1.a.4, 1.a.5, 1.c.2, 2.a.1, 2.a.2, 2.b.1, 2.d.1, 3.b.1, 4.a.1, 4.a.2, 4.b.1, 4.d.1, 5.c.3. I risultati attesi possono essere desunti dalle presentazioni dei compiti nella Parte 13 di questo modello e nei modelli B.
Esempi della seconda categoria sono 1.a.2, 1.c.1, 2.a.3, 2.a.4, 2.b.2, 2.c.1, 2.d.2, 3.a.1, 4.b.2, 5.a.1, 5.a.2, 5.c.1, 5.c.2, 5.d.2, 5.d.3.
Ricadono nella terza categoria 1.b.1, 4.c.1, 4.d.2, 5.a.4.
In ogni caso, in matematica si può congetturare, piuttosto che "predire", quale possa essere il risultato, e non si è mai sicuri che una congettura sia corretta finché non si sia ottenuta una dimostrazione completa. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Presentiamo la base di partenza scientifica per i diversi temi del progetto. La bibliografia di ogni sezione contiene alcune recenti pubblicazioni dei membri del progetto rilevanti per il tema specifico.
Ulteriori riferimenti bibliografici si trovano nelle parti B delle varie unità.
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1. ANALISI DI FOURIER

1.a. Sommabilità di integrali e serie di Fourier e di sviluppi in autofunzioni; fenomeno di Gibbs.

La dimostrazione di convergenza quasi ovunque di serie di Fourier sul cerchio è dovuta a Carleson e Hunt per le funzioni L^2 e a C. Fefferman per le funzioni L^p con p&gt;1.
Molti problemi sono aperti per dimensioni più alte, dove è molto importante la scelta della successione delle somme finite approssimanti.
Il problema della convergenza delle serie di Fourie si estende in maniera naturale agli integrali di Fourier e agli sviluppi in autofunzioni nei problemi di Sturm-Liouville (così come agli sviluppi associati all'analisi spettrale di operatori differenziali su gruppi di Lie).
Il fenomeno di Gibbs per le serie e gli integrali di Fourier è ben compreso in una variabile, ma presenta molti aspetti difficili e interessanti in più variabili.

E. Prestini, Canad. J. Math. 58 (2006), 154-179
E. Prestini, Acta Math. Sinica 22 (2006), 251-260
L. Colzani, Trans. AMS 358 (2006), 5501-5521
L. Brandolini, L. Colzani, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 29 (2000), 611-638
L. De Michele, D. Roux, Proc. AMS 134 (2006), 3561-3566
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1.b. Distribuzione di punti interi in insiemi convessi

L'analisi di Fourier ha un ruolo importante in numerosi problemi combinatori, come lo studio delle irregolarità di distribuzione in più variabili con particolare riguardo ai corpi convessi. E' ormai noto che lo studio di questi problemi è equivalente allo studio del decadimento medio della trasformata di Fourier.

L. Brandolini, L. Colzani, G. Travaglini, Ark. för Mat. 35 (1997), 253-275
G. Travaglini, in Fourier An. and Convexity, 2004, Birkhauser, 245-268
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1.c. Funzioni massimali e integrali singolari

Come abbiamo già osservato prima, gli integrali singolari e le funzioni massimali sono fonte costante di problemi in contesti sia classici sia attuali. Un problema classico è quello di determinare la migliore costante per alcuni operatori (Hardy-Littlewood, trasformate di Riesz etc.). E' noto che uno strumento molto utile è testare l’operatore su funzioni con speciali simmetrie. E' quindi naturale porsi il problema dell'analisi delle relazioni tra gli operatori massimali e gli operatori di riordinamento simmetrico.
Un altro proble ma è la combinazione della teoria degli integrali singolari lungo curve e superfici con quella degli integrali singolari “a più parametri” (modellata sulla trasformata multipla di Hilbert), un argomento che ha visto recenti sviluppi.

F. Ricci, E. Stein, Ann. Inst. Fourier Gren. 42 (1992), 637-670.
A. Nagel, F. Ricci, E. Stein, J. Funct. Anal. 181 (2001), 29-118.
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2. ANALISI SU GRUPPI DI LIE E SPAZI OMOGENEI

2.a. Analisi spettrale di laplaciani invarianti e sublaplaciani: moltiplicatori e metodi di sommazione.

La combinazione di proprietà spettrali generali di operatori differenziali ellittici e ipoellittici con strumenti provenienti dall'analisi di Fourier non commutativa permette uno studio dettaglaito di laplaciani e sublaplaciani su gruppi di Lie e su spazi omogenei.
Uno dei punti chiave è determinare condizioni su un moltiplicatore m che garantiscano la limitatezza L^p di m(L), per un operatore differenziale autoaggiunto L come sopra. Un lavoro recente ha esteso l'analisi ad operatori che agiscono su forme differenziali e a moltiplicatori congiunti per famiglie commutative di operatori. Un problema connesso è la determinazione di stime ottimali L^p-L^2 per proiezioni spettrali relative a (famiglie di) operatori con spettro discreto.

L. Colzani, C. Meaney, E. Prestini, Proc. AMS 134 (2006), 1651-1660
W. Hebish, G. Mauceri, S. Meda, Math. Z. 251 (2005), 899-927
M.Vallarino, J. Lie Th. 17 (2007), 163-189
D. Müller, M. Peloso, F. Ricci, GAFA 17 (2007), 887-935
H. Koch, F. Ricci, St. Math. 180 (2007), 103-110
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2.b. Integrali singolari, immersioni di Sobolev, spazi di Hardy.

Due nuovi argomenti riguardanti gli integrali singolari sono piuttosto recenti: l'estensione di Hebish-Steger della decomposizione di Calderón-Zygmund agli spazi con misura “non-doubling” e la teoria a più parametri (menzionata in 1.c) degli integrali singolari su gruppi di Lie nilpotenti. Alcune questioni discusse nella precedente sezione sono strettamente connesse con questi argomenti.

W. Hebish, T. Steger, Math. Z. 245 (2003), 37-61
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2.c. Proprietà geometriche di gruppi nilpotenti.

I gruppi di Carnot sono divenuti un argomento importante in teoria geometrica della misura. Recentemente molto lavoro è stato svolto per adattare metodi e fatti validi in R^n a questi modelli di geometrie sub-riemanniane. I problemi includono disuguaglianze isoperimetriche, proprietà delle geodetiche, mappe quasi conformi e rigidità. Altre nozioni geometriche (come la nozione di “curvatura rotazionale” di Phong e Stein) provengono dall'analisi armonica.

M. Cowling, F. De Mari, A. Korányi, H. Reimann, Geom. Ded. 11 (2005), 65-86
A. Ottazzi, Math. Z. (in stampa)
N. Arcozzi, D. Morbidelli, Comm. Math. Helv. (in stampa)
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2.d. Analisi di Fourier non commutativa.

Un'altra linea di problemi proviene da questioni intrinseche alla nozione di trasformata di Fourier non commutativa, o a nozioni ad essa connesse, come quella della trasformata sferica su uno spazio simmetrico o su una coppia di Gelfand più generale. In quest'ultimo contesto si presentano due “casi estremi”: da una parte gli spazi simmetrici a dall'altra i gruppi nilpotenti che ammettono un'algebra commutativa di funzioni K-invarianti rispetto a qualche gruppo K di automorfismi. Per gli spazi simmetrici i metodi sono classici, ma presentano ancora problemi aperti. Per i gruppi nilpotenti con un “buon” K, sono state trovate interessanti analogie con il comportamento della trasformata di Fourier ordinaria.

F. Astengo, B. Di Blasio, F. Ricci, J. Funct. Anal. 251 (2007), 772-791
R. Camporesi, Proc. AMS 134 (2006) 2649-2659
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3. ONDINE

3.a. Analisi multi-risoluzione e “frames”.

Le ondine sono diventate uno strumento molto importante in matematica applicata. La loro particolarità di fornire un efficiente compromesso tra localizzazione contemporaneamente in tempo
e frequenza le rende molto utili nella compressione di segnali, immagini, etc. Allo stesso tempo, la
teoria delle ondine pone interessanti domande che sono proprie della “matematica pura”. Alcune di
tali problematiche consistono nel determinare quali basi di ondine e “frames” sono associate ad una analisi multi-risoluzione.

M. Salvatori, P.M. Soardi. J. Approx. Th. 127 (2004), 61-73
M. Salvatori, P.M. Soardi, J. Fourier Anal. Appl. 8 (2002), 269-290
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3.b. Formule riproducenti

Le ondine forniscono formule di decomposizione e ricostruzione di funzioni. Questo procedimento è stato formalizzato, da membri delle unità di Genova e Torino, in termini di "sottogruppi riproducenti" di un gruppo simplettico G. Un sottogruppo di Lie H di G è detto sottogruppo riproducente se la formula integrale della risoluzione dell'identità per funzioni L^2 associate ad H è debolmente convergente a F, per ogni F in L^2. La ricerca e caratterizzazione di sottogruppi riproducenti di G recupera ondine, Gabor “frames” e le cosiddette “shearlets”.

E. Cordero, F. De Mari, K.Nowak, A. Tabacco, J. Fourier Anal. Appl. 12 (2006), 157-180
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4. ANALISI ARMONICA SU STRUTTURE DISCRETE

4.a. Analisi sferica su alberi e building.

Gli alberi omogenei sono una sorta di analogo discreto degli spazi simmetrici non compatti di rango uno. Questa affermazione è motivata da analogie geometriche, in termini di crescita di volume, proprietà delle geodetiche (opportunamente definite) e degli orocicli. E’ un fatto interessante che le analogie geometriche abbiano parallele analogie analitiche. Una di esse è che le funzioni radiali su un albero omogeneo ammettano una trasformata di Fourier sferica così come le funzioni radiali su uno spazio iperbolico. I building affini sono strutture geometriche-combinatorie che, per i gruppi di matrici p-adiche, svolgono lo stesso ruolo che gli spazi simmetrici giocano per i gruppi di matrici reali semisemplici. Un notevole sviluppo dell'analisi di queste strutture è stato sviluppato in Italia da membri di varie unità.

A. M. Mantero, A. Zappa, J. Geom. Anal. 10 (2000), 339-363
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4.b. Analisi di funzioni armoniche su alberi e su building.

Nello spirito descritto sopra, fatti classici riguardanti la convergenza al bordo e altre proprietà delle funzioni armoniche di uno spazio simmetrico danno origine a questioni naturali su alberi omogenei. Nozioni come la convergenza non tangenziale ha una sua interpretazione in questo nuovo contesto. Questo tipo di problemi è stato ampiamente studiato. L'analisi può essere estesa ad alberi non omogenei e a building, dove i metodi devono essere adattati alla geometria meno uniforme dello spazio sottostante.

Atanasi, L., Picardello, M., Trans. AMS, (in stampa)
F. Di Biase, M. Picardello, Math. Z. 218 (1995), 253-272
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4.c. Geometria integrale su alberi e building.

Metodi di geometria integrale sono stati impiegati ampiamente nell'analisi su spazi simmetrici, a cominciare da lavori di Gelfand, Graev, Vilenkin e Pyatetskii-Shapiro. Ci sono stati progressi recenti nell'estensione di questi metodi sugli alberi.

E. Casadio-Tarabusi, S. Gindikin, M. Picardello, Diff. Geom. Appl. 19 (2003), 295-305
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4.d. Rappresentazioni di gruppi discreti.

La teoria delle rappresentazioni di gruppi su spazi di Hilbert infinito-dimensionali pone difficili problemi riguardanti le strutture proprie dell’analisi funzionale. I gruppi liberi con un numero finito di generatori hanno una struttura molto ricca e sono particolarmente interessanti da questo di vista.
Passando a gruppi finiti, un fatto interessante è che gli argomenti principali della teoria delle rappresentazioni di alcune classi di tali gruppi possano essere letti nel linguaggio dell'analisi armonica.

G. Kuhn, T. Steger, J. Funct. Anal. 179 (2001), 1-17
T. Ceccherini-Silberstein, F. Scarabotti, F. Tolli, Harmonic Analysis on Finite Groups. Representation theory, Gelfand pairs and Markov chains. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press (in stampa).

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5. METODI DELL'ANALISI ARMONICA IN ALTRE AREE DELLA MATEMATICA

5.a. Analisi complessa.

L'interazione tra analisi complessa e analisi armonica ha una lunga storia. Per una ampia classe di spazi di funzioni in una variabile, questioni riguardanti il comportamento al bordo, descrizione di successioni interpolanti, insiemi eccezionali, operatori di Toeplitz, proiezioni di Cauchy e di Bergman, appartengono ad entrambe le aree. Passando a più variabili, alcuni di questi problemi assumono nuovi aspetti e ne sorgono di nuovi. Per esempio, problemi su domini pseudoconvessi in C^n e in varietà CR hanno motivato in gran parte i recenti sviluppi della teoria di Calderón-Zygmund e della geometria subriemanniana.

N. Arcozzi, R. Rochberg, E. Sawyer, Proc. Topics in Complex Analysis and Operator Theory, (2006), 141-148
F. Di Biase, A. Stokolos, O. Svensson, T. Weiss, Ann. Acad. Sc. Fenn. 31 (2006), 47-59
A. Bonami, M. Peloso, F. Symesak, J. Geom. Anal. 11 (2001), 363-397
R. Paoletti, Adv. in Math. 197 (2005), 523-553
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5.b. Disuguaglianze di indeterminazione.

Le formulazioni classiche del principio di indeterminazione sono espresse in termini di relazione tra le concentrazioni vicino a punti fissati di una funzione in una variabile e della sua trasformata di Fourier. La disuguaglianza di Heisenberg-Pauli-Weyl è stata estesa ad altri contesti in varie forme. Risultati recenti mostrano che forme dello stesso principio valgono in situazioni molto generali, purché si sostituisca la concentrazione della trasformata di Fourier con la concentrazione spettrale relativa ad un dato operatore autoaggiunto.

P. Ciatti, F. Ricci, M. Sundari, Adv. in Math. (in stampa)
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5.c. Analisi sullo spazio di Gauss.

Una teoria dello spazio di Hardy H^1 e dello spazio BMO con proprietà simili a quella euclidea è stata sviluppata su spazi di tipo omogeneo da Coifman e Weiss. Più recentemente, spazi di funzioni ad oscillazone media limitata sono stati introdotti su spazi metrici di misura non di tipo omogeneo, e più specificatamente su R^d munito di una misura di Radon non negativa ed eventualmente “non-doubling”. In un lavoro recente Mauceri e Meda hanno definito spazi H^1 e BMO di tipo differente sullo spazio di Gauss, che si adattano meglio all'analisi degli integrali singolari di Ornstein-Uhlenbeck. La loro definizione è basata sul lavoro di A. Ionescu relativo a BMO su spazi simmetrici di tipo non compatto e rango uno.

J. García-Cuerva, G. Mauceri, S. Meda, P. Sjögren, J.L. Torrea, J. London Math. Soc. 67 (2003), 219–234
G. Mauceri, S. Meda, to appear in J. Funct. Anal. (in stampa)
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5.d. Equazioni alle derivate parziali.

L'estensione a paraboloidi, coni e iperboloidi del teorema di restrizione di Stein-Tomas per la trasformata di Fourier sulla sfera di R^n ha portato R. Strichartz ad introdurre nuove stime per le soluzioni delle equazioni delle onde, di Schrödinger e di Klein-Gordon. L'impatto delle stime dispersive e di Strichartz è stato enorme sia nella teoria lineare sia in quella non lineare delle EDP.

G. Gigante, F. Soria, Int. Math. Res. Not. 24 (2002), 1275-1293
G. Furioli, E. Terraneo, Comm. Cont. Math. 5 (2003), 349--367
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5.e. Analisi su varietà riemanniane.

Il tipo di analisi di laplaciani e sub-laplaciani presentata nella sezione 2 mostra come metodi dell'analisi armonica possono rispondere a questioni riguardanti oggetti analitici definiti in termini della geometria dello spazio. Questo può essere fatto solo in casi speciali, quando la geometria è invariante per l'azione di un gruppo di Lie. D’altra parte questi casi, come gli spazi simmetrici, possono essere paradigmatici per geometrie più generali. Problemi su classi speciali di varietà riemanniane che saranno studiate in questo progetto riguardano la teoria spettrale degli operatori di Schrödinger e il “principio del supporto compatto” per l'operatore di Laplace-Beltrami L. Questo principio può essere espresso come segue: “ogni funzione non negativa che soddisfa la disequazione Lu&gt;f(u) al di fuori di un compatto di R^n, e che tende a zero all'infinito, ha supporto compatto”. La validità di questo principio può essere messa in relazione con altre proprietà, quali il Principio di Massimo forte.

S. Pigola, M. Rigoli, A. Setti, Mem. AMS 822 (2005), 1-99
S. Pigola, M. Rigoli, A. Setti, J. Funct. Anal. 229 (2005), 424-461
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5.f. Problemi di evoluzione.

Semigruppi di evoluzione e passeggiate aleatorie sono già apparse in sezioni precedenti. Problemi di evoluzione di tipo differente, in forma sia probabilistica sia deterministica non lineare, saranno studiati in questo progetto.

N. Varopoulos, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 139 (2005), 161-180
N. Varopoulos, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 337 (2003), 615-618
M. Bonforte, G. Grillo, Discr. Cont. Dyn. Syst. (2007), 130-137 <<<