RICERCA ITALIANA     

Ottimizzazione Nonlineare, Disequazioni Variazionali, e Problemi di Equilibrio.

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"

Abstract

L’Ottimizzazione Nonlineare, le Disequazioni Variazionali, i Problemi di Equilibrio sono argomenti tra di loro correlati, sia dal punto di vista analitico, sia dal punto di vista algoritmico, che ricorrono in ogni contesto in cui è necessario utilizzare strumenti matematici avanzati per conseguire competitività tecnica ed economica.
Il programma di ricerca vuole contribuire allo sviluppo di metodi innovativi per le tematiche indicate, e si articola secondo i tre seguenti filoni principali. Per alcuni punti, il programma costituisce l’ulteriore sviluppo di ricerche svolte in altri programmi di interesse nazionale. Il software prodotto sarà integrato nel sistema ESOPO e reso disponibile on-line tramite Internet.


1) Ottimizzazione Nonlineare
Un obiettivo preliminare consiste nello sviluppo di algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari KKT che costituiscono un nucleo computazionale fondamentale nei metodi di ottimizzazione.

Nel caso di problemi non vincolati, ci si concentrerà su algoritmi di Newton troncati e sull'utilizzo di metodi di tipo gradiente coniugato planari.

Nel caso di problemi vincolati di tipo generale, l'approccio seguito è basato sulla trasformazione del problema vincolato in un problema non vincolato tramite una funzione Lagrangiana aumentata esatta. Partendo da questa trasformazione, saranno sviluppati algoritmi di tipo Newton troncato globalmente e superlinearmente convergenti. Si intende inoltre sviluppare algoritmi per metodi a punti interno, che utilizzino in maniera diretta i risultati ottenuti nell’ambito della risoluzione dei sistemi KKT.

Un caso particolare di problema vincolato è quello con obiettivo quadratico, un solo vincolo di uguaglianza lineare e limitazioni sulle variabili, con cui si formulano, tra gli altri, il problema combinatorio di massima clique in un grafo e quello di addestramento di Support Vector Machines. La ricerca prevede la trasformazione del problema vincolato in problemi con una struttura più semplice per i quali sia possibile definire algoritmi ad hoc.

Un altro caso particolare di interesse è la programmazione semidefinita positiva (SDP) in cui la variabile di decisione è una matrice simmetrica semidefinita positiva. La ricerca riguarda la definizione di algoritmi basati sulla trasformazione del problema SDP in un problema non lineare strutturato che si ottiene sostituendo alla matrice variabile la sua rappresentazione con matrici di Gram.

In molti problemi applicativi, le derivate delle funzioni di interesse non sono disponibili. L'attività di ricerca mirerà allo sviluppo di metodi per la soluzione di sistemi di equazioni, di sistemi di disequazioni e di problemi di ottimizzazione per cui le derivate del primo ordine non possono essere calcolate.

Infine, si intende sviluppare nuovi metodi di ottimizzazione non differenziabile, basati sull'approccio incrementale, che risulta particolarmente adatto per la soluzione di diseguaglianze variazionali mediante funzioni GAP.

2) Metodi per l'ottimizzazione globale.
Gli algoritmi di ottimizzazione nonlineare determinano solo soluzioni locali. In molti problemi applicativi è invece necessario determinare una soluzione globale.
Per problemi privi di particolare struttura si svilupperanno metodi basati sull'utilizzazione di efficienti tecniche di campionamento della funzione obiettivo e di adeguati algoritmi locali.
Si pensa inoltre di sviluppare algoritmi per problemi applicativi di grande dimensione e/o complessità, quali i problemi di localizzazione di sensori su reti wireless, di ottimizzazione del layout per forme irregolari, di progettazione ottima di motori elettrici. Si inizierà anche lo studio di algoritmi di ottimizzazione globale per problemi senza derivate quali, ad esempio, i problemi che originano dalla progettazione di traiettorie interplanetarie per satelliti con minimo consumo di carburante.

3) Disequazioni variazionali e problemi di equilibrio.
L’attività di Ricerca riguarderà disequazioni variazionali di diverse tipologie: classiche ma con operatore anche non differenziabile; di tipo “quasi-variazionale” (QVI) con regione ammissibile costituita da una multifunzione; di tipo “equilibri di Nash” per giochi non cooperativi generalizzati (GNEP); problemi di equilibrio con vincoli di equilibrio (EPEC). Più in particolare, si intende affrontare i punti seguenti.

- Esistenza e stabilità di soluzioni, o di soluzioni approssimate, per problemi gerarchici.
- Criteri per selezionare le soluzioni, che anche nei problemi quasi-variazionali possono costituire un manifold.
- Sviluppo di algoritmi di soluzione di GNEP basati su decomposizioni di tipo Gauss-Seidel e tecniche di regolarizzazione.
- Definizione di metodi incrementali per la minimizzazione di funzioni gap per disequazioni variazionali.
- Per quel che riguarda aspetti più applicativi, si analizzeranno EPEC per giochi con più leader e più followers, come quelli che nascono nei mercati liberalizzati dell’elettricità e del gas. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Gianni Di Pillo Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"

Obiettivo del Programma di Ricerca

** L'utilizzo dei metodi di ottimizzazione o, più in generale, dei metodi della programmazione matematica, viene considerato uno strumento fondamentale per conseguire competitività tecnica ed economica nella progettazione e nella gestione di sistemi complessi che si presentano nell'Ingegneria, nell'Economia e più in generale nelle Scienze Applicate. L'applicazione di metodi di ottimizzazione a sistemi complessi dà però spesso luogo a modelli matematici di difficile soluzione. Ciò avviene a seguito di due cause, a volte concomitanti:
- la struttura del modello, non appena questo risulti non convesso per effetto di non linearità, o per la presenza di variabili discrete, o di più livelli di ottimizzazione;
- la dimensione del problema, determinata dal numero di variabili di decisione, di vincoli, ed a volte di funzioni obiettivo.
Un primo obiettivo di questo programma e’ quello di far fronte ad alcune delle principali difficoltà citate, con il proporre metodi e algoritmi per problemi di ottimizzazione non lineare a grande dimensione, nel caso continuo.

** I modelli di ottimizzazione si dimostrano in certi casi inadeguati a rappresentare alcuni problemi di equilibrio che si presentano in campo economico o ingegneristico. In questi casi modelli di disequazioni variazionali (finito dimensionali) si dimostrano spesso più aderenti alla realtà. È il caso di alcuni modelli di trasporto o di equilibrio economico. Negli ultimi anni i metodi dell’ottimizzazione sono stati applicati con crescente successo anche alla risoluzione di modelli di disequazioni variazionali finito dimensionali, dopo che si è capito come riformulare tali problemi come problemi di minimizzazione di opportune funzioni di merito.
Un secondo obiettivo consiste quindi nell’approfondire gli aspetti analitici delle disequazioni variazionali e dei problemi di equilibrio, nella prospettiva di poter sviluppare nuovi metodi per la loro soluzione, basati sugli algoritmi di ottimizzazione nonlineare.

** Più in particolare, un primo obiettivo del programma consiste nella messa a punto di algoritmi per problemi di ottimizzazione nonlineare a grande dimensione non vincolati. Ciò consente di perseguire un secondo obiettivo, relativo alla realizzazione di algoritmi per problemi vincolati di grande dimensione, che utilizzino una trasformazione dei problemi vincolati in problemi non vincolati mediante l'impiego di funzioni di penalità e di funzioni Lagrangiane aumentate. Un terzo obiettivo consiste nell’affrontare i problemi vincolati con metodi a punti interni, sviluppando tecniche avanzate per la soluzione dei sistemi KKT, sia nel caso convesso che in in quello non convesso. Un quarto obiettivo consiste nel cercare di superare le difficoltà che nascono quando, come spesso succede, le funzioni del problema non sono differenziabili, o, pur essendo differenziabili, non sono disponibili le loro derivate. Un quinto obiettivo riguarda la soluzione di problemi di rilevante interesse e con struttura particolare, per cui sono possibili algoritmi ad hoc: è il caso di alcuni problemi di programmazione quadratica o di programmazione semidefinita positiva. Un sesto obiettivo riguarda la messa a punto di algoritmi per l'ottimizzazione globale, in quanto gli algoritmi di ottimizzazione di uso generale determinano al più soluzioni locali. Il settimo obiettivo consiste nell’ampliare le classi di disequazioni variazionali e di problemi di equilibrio di cui si siano studiate le proprietà analitiche al punto tale da consentire lo sviluppo di algoritmi di soluzione, basati su metodi di ottimizzazione.

** In ogni caso, sia nel caso dell'ottimizzazione nonlineare che nel caso delle disequazioni variazionali, vi è una stretta connessione tra obiettivi di tipo metodologico e obiettivi di tipo applicativo, nel senso che o lo sviluppo delle metodologie è sollecitato da esigenze applicative, o la disponibilità di metodologie adeguate apre nuove prospettive in ambiti applicativi. Pertanto, contestualmente allo sviluppo dei punti precedenti, ci si pone anche l’obiettivo di risolvere alcuni problemi applicativi di significativo interesse, quali ad esempio la localizzazione di sensori su reti wireless, i problemi di layout per forme irregolari, la progettazione di traiettorie interplanetarie per satelliti, la progettazione di motori elettrici.


** Al conseguimento degli obiettivi di ricerca concorre in modo determinante l’ulteriore sviluppo di ESOPO (Environment for Solving Optimization Problems On-line), http://www.esopo.unina2.it, un ambiente di calcolo scientifico le cui specifiche sono state definite nell’ambito di un precedente Progetto FIRB e tuttora in evoluzione; ambiente su cui sperimentare, confrontare e rendere disponibile on-line il software prodotto dalle UR, e che possa anche essere proficuamente utilizzato da chiunque sia interessato, come utente, alla soluzione di problemi di Ottimizzazione Nonlineare e di problemi che a questi si possano ricondurre.


** Oltre all'obiettivo primario del programma descritto finora, ne esiste uno secondario che consiste nel favorire un interscambio di conoscenze e di esperienze tra i gruppi che nelle Università Italiane svolgono attivamente ricerche sui metodi di Ottimizzazione Nonlineare, sulle Disequazioni Variazionali, sui problemi di Equilibrio. In particolare, un ambito comune di esperienza e confronto su tematiche avanzate, quale può risultare da un programma di ricerche interuniversitario, risulta di grande utilità al fine della formazione di giovani ricercatori e al fine dell’offerta di una didattica universitaria realmente avanzata. <<<

Risultati parziali attesi

I risultati attesi sono corrispondenti agli obiettivi indicati al punto 11 di questo programma.

Pertanto un primo risultato atteso è l’ampliamento della base di conoscenza disponibile per l’ottimizzazione nonlineare, le disequazioni variazionali, i problemi di equilibrio. Da un punto di vista analitico, questo risultato è particolarmente significativo per le disequazioni variazionali e i problemi di equilibrio, che sono argomenti meno studiati, e il cui interesse applicativo è stato evidenziato solo di recente. Tuttavia, anche nel campo già molto studiato dell’ottimizzazione nonlineare, esistono ancora problemi particolari la cui struttura consente il conseguimento di risultati più specifici di quelli che valgono in generale, ad esempio i problemi quadratici sia convessi che non convessi, o quelli di programmazione semidefinita.

Un secondo risultato atteso consiste nel rendere disponibili metodi di soluzione per i problemi considerati, implementati in algoritmi sperimentati. Un risultato di questa natura è particolarmente valido nei casi in cui i metodi attualmente disponibili si dimostrino inefficienti o addirittura impraticabili: è il caso ad esempio dei problemi di ottimizzazione a grande dimensione, o quelli in cui le derivate delle funzioni del problema non sono disponibili.

Un terzo risultato atteso riguarda la possibilità di ottenere soluzioni globali dei problemi considerati, anziché soluzioni locali, come avviene usualmente nei problemi non convessi. Poiché per problemi privi di particolari strutture non esistono algoritmi che con certezza determinano una soluzione globale, e a volte è molto difficile determinare soluzioni globali anche in problemi molto strutturati, lo sviluppo di metodi efficienti in grado di garantire almeno una buona approssimazione della soluzione globale costituisce un risultato molto ambito.

Un quarto risultato consiste nel rendere effettivamente disponibile alla comunità scientifica e professionale interessata il software sviluppato per l’implementazione dei metodi proposti, insieme ad altro software di uso corrente, sul portale ESOPO, ove chiunque può sottoporre e risolvere on-line problemi di ottimizzazione e variazionali di vario tipo. Il portale funge anche da strumento di valutazione e confronto di algoritmi diversi per la soluzione di problemi della stessa natura.

Quanto alle potenzialità applicative, possiamo affermare genericamente che sono onnipresenti nell’Ingegneria, nell’Economia, nelle Scienze Applicate. Per convalidare questa affermazione basta osservare che nei titoli dei programmi PRIN finanziati nell’ultimo triennio nella sola area scientifico-disciplinare dell’Ingegneria il termine “ottimizzazione” ricorre esplicitamente 11 volte, con riferimento ad applicazioni specifiche. Nondimeno, tematiche applicative che possono trarre grande beneficio dall’utilizzo dei metodi di ottimizzazione sono trattate anche in questo programma di ricerca: in particolare
- la rivelazione, mediante interferometri laser, di onde gravitazionali provenienti da sorgenti astrofisiche,
- la simulazione numerica di processi di protein folding,
- la localizzazione di sensori su reti wireless,
- i problemi di layout per forme irregolari,
- la progettazione di traiettorie interplanetarie per satelliti con minimo consumo di carburante,
- la progettazione di motori elettrici con massimo rendimento
- i problemi di classificazione matematica
- l’addestramento di Support Vector Machines,
alcune delle quali richiedono l’impiego di metodi di ottimizzazione globale.


Infine, tra i risultati attesi, occorre citare il beneficio derivante dallo stesso svolgimento di un progetto comune tra i diversi gruppi che nelle Università Italiane svolgono attività di ricerca nel campo dell’Ottimizzazione Nonlineare, Disequazioni Variazionali, Problemi di Equilibrio. Lo svolgimento del programma costituisce infatti l’occasione di un proficuo scambio di esperienze e di confronti, utile anche ai fini della formazione di giovani ricercatori e all’offerta di una didattica universitaria avanzata. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La base di partenza scientifica internazionale è molto ampia e consolidata. Infatti, negli ultimi anni, la comunità scientifica internazionale ha mostrato un crescente interesse nell’analisi teorica e nello sviluppo di metodi per la soluzione di problemi di ottimizzazione non lineare. Tali problemi si presentano molto frequentemente in molti e diversi settori delle scienze applicate, dell’ingegneria, dell’economia come risultato della modellizzazione di sistemi complessi. Inoltre esistono numerosi settori connessi all’interno dei quali l’ottimizzazione non lineare rappresenta un potente strumento di indagine e computazionale come il controllo ottimo, le disequazioni variazionali e i problemi di equilibrio, il “data mining”, l’addestramento di reti neurali.
Oggi esistono numerosi approcci per la soluzione di problemi di ottimizzazione non lineare come testimoniato dal grande sviluppo della letteratura specifica (ad es. [Bertsekas03], [Boyd, Vandenberghe 04], [Nocedal Wright 06]). Inoltre, il vasto interesse della comunità scientifica per l’ottimizzazione non lineare è evidenziato da numerosi elementi:

- il numero di riviste dedicate all’ottimizzazione non lineare e il sempre maggior spazio dato all’ottimizzazione non lineare all’interno delle maggiori riviste dedicate alla matematica applicata ed industriale; ad esempio, le riviste classiche SIAM J. on Optimization, Mathematical Programming, Computational Optimization and Applications, J. of Optimization Theory and Applications, Optimization Methods and Software, Optimization, Mathematics of Operations Research, J. of Global Optimization; e le nuove riviste principalmente dedicate alle applicazioni dell’ottimizzazione non lineare che sono nate negli ultimi anni, come Engineering Optimization, J. of Industrial and Management Optimization, Optimization Letters;

- il rilievo dato all’ottimizzazione non lineare all’interno di numerose conferenze internazionali che si tengono periodicamente come, ad esempio, SIAM Conf. on Optim, Intern. Symposium on Math. Progr., IFIP TC7 Conf. on System Modeling and Optim;

- il numero di convegni internazionali specificamente dedicati all’ottimizzazione non lineare o a specifici temi dell’ottimizzazione non lineare come, ad esempio, i workshops sull’ottimizzazione non lineare tenuti periodicamente all’interno della Scuola Internazionale di Matematica “G. Stampacchia” presso il Centro per la Cultura Scientifica “E. Majorana” ad Erice.

- i numerosi libri e monografie pubblicati in anni recenti che forniscono una rassegna dello stato dell’arte in ottimizzazione non lineare ([DiPillo, Palagi 02], [DiPillo, Murli 03], [Gould, Toint 04], [Gould et. al. 05], [DiPillo, Roma 06]); alcuni recenti numeri speciali di riviste internazionali (ad esempio [Math. Programming, vol.100 n.1, 2004], [Optim. Methods and Soft., vol.18 n.6, 2003 and vol.19 n.3-4-5, 2004], [Comp. Opt. and Appl., vol. 38 n.1, 2007]); alcune collane di libri come “Applied Optimization” e “Nonconvex Optimization and its Applications” della Springer;

- i numerosi “special activity group” (come il SIAM Activity group on Opt. con il suo Forum “SIAG/OPT Views-and-News”) e numerosi centri di ricerca (come, ad esempio, OTC-Optim. Tech. Center at Northwestern Univ., Evanston, IL (USA); SOL-System Optim. Lab. at Stanford Univ., CA (USA)) dedicati principalmente all’ottimizzazione non lineare. Inoltre, c’è stato lo sviluppo di alcuni strumenti basati su applicazioni su Internet, come, ad esempio, il NEOS Server che include numerosi programmi raccolti dalla comunità scientifica internazionale dedicati alla soluzione di problemi di ottimizzazione non lineare.

Anche se molti aspetti dell’ottimizzazione non lineare sono stati studiati in profondità, ci sono numerosi argomenti che meritano di essere ulteriormente approfonditi, molti settori nei quali si presentano nuovi problemi e molti nuovi temi di ricerca che stanno venendo alla ribalta. In generale, negli ultimi anni, un crescente interesse è stato evidenziato verso l’ottimizzazione a grande dimensione poiché problemi con un numero sempre più elevato di variabili e/o vincoli si presentano molto frequentemente nel modo reale, come risultato della modellizzazione di sistemi complessi. D’altra parte, per quanto riguarda gli aspetti computazionali, la disponibilità di nuclei di algebra lineare robusti ed efficienti è un punto chiave per lo sviluppo di codici per la soluzione di problemi a grande dimensione [O’Leary 00]. Un esempio è la classe di metodi a punto interno per l’ottimizzazione vincolata [Freund, Mizuno 00] dove il successo dipende fortemente dall’uso di un opportuno precondizionatore che sia in grado di trattare il malcondizionamento del sistema e sfrutti la struttura della matrice (“Constraint Preconditioners [Keller et al. 00]). Un altro argomento di crescente importanza è l’ottimizzazione senza derivate, ovvero quella parte della progr. non lineare che considera problemi ove le derivate delle funzioni non sono disponibili [Audet, Dennis 04], [Liuzzi et al. 06].

Negli ultimi anni molta ricerca è stata anche dedicata all’ottimizzazione globale ed in particolare allo sviluppo di metodi che godono di importanti proprietà teoriche e che siano computazionalmente efficienti, specialmente nell’affrontare problemi di media dimensione fortemente strutturati. Inoltre, ci sono molti problemi reali difficili che possono essere formulati come problemi di ottimizzazione globale; ad esempio i problemi che si presentano in chimica, in biologia molecolare o in ingegneria industriale [Cirio et al. 01], [Liuzzi et al. 04].

Inoltre, molte attività di ricerca sono state incentrate su importanti classi di problemi come, ad esempio, l’ottimizzazione non differenziabile [Gaudioso et al. 06]. È un settore ben consolidato nell’ottimizzazione non lineare e molti problemi sia teorici sia applicativi danno origine a problemi di ottimizzazione non differenziabile.

Un'altra classe di problemi di interesse è la programmazione semidefinita [Wolkowicz et al. 00]. La ricerca su questo tema è rivolta ai metodi che presentano buone proprietà teoriche ed efficienza computazionale. Un’ importante applicazione riguarda i problemi di localizzazione ottima di sensori ottici [Tseng 07].

Inoltre, sono di particolare interesse alcuni problemi connessi come le disequazioni variazionali e i problemi di equilibrio, che consentono di formulare numerosi problemi complessi che si presentano in economia, fisica matematica, trasporti e molti altri [Facchinei, Pang 03]). Un altro modello variazionale utile per le applicazioni è il modello di diseq. quasi-variazionali che è stato ampiamente utilizzato in molti settori nei passati cinquanta anni, ma è solo a metà degli anni Novanta che la ricerca in questo settore ha avuto uno slancio, specialmente nella comunità dell’ottimizzazione. I problemi quasi-variazionali includono, fra l’altro: disequazioni variazionali, problemi di equilibrio di Nash generalizzato e problemi di equilibrio con vincoli di equilibrio. Tutti questi problemi possono essere visti come generalizzazioni di problemi più standard, ove la generalizzazione consiste nel fatto che l’insieme ammissibile non è fissato. I problemi quasi-variazionali hanno molte applicazioni in economia, ingegneria, scienze ambientali etc. [Krawczyk 07], [Facchinei, Kanzow 07]. Mentre alcuni aspetti teorici sono in alcuni casi piuttosto ben acquisiti, sviluppi su molti altri aspetti (stabilità, soluzioni approssimate, algoritmi) sono ancora scarsi e necessitano di essere considerati in modo da poter applicare i modelli quasi-variazionali a problemi concreti.

La comunità scientifica nazionale è ben rappresentata nel contesto internazionale come si evince dalle numerose pubblicazioni su riviste internazionali. La base scientifica dei membri di questo progetto di ricerca è molto solida. Il contributo alla base scientifica internazionale da parte dei ricercatori facenti parte del progetto è incentrata su molti aspetti di teoria e metodi di ottimizzazione non lineare e temi connessi su un ampio spettro di problemi come testimoniato dai molti articoli pubblicati su riveste internazionali, dal numero dei libri, articoli di rassegna e atti di congressi i cui autori sono membri di questo progetto.

Alcuni esempi sono: gli articoli [Roma 05], [Fasano 05], [Grippo, Lucidi 05], [Fasano, Roma 07] dedicati all’ottimizzazione non vincolata a grande dimensione. I lavori [DiPillo, Palagi 02], [Gould et al. 00], [DiPillo et al. 05], [Palagi, Bomze 05], [Cafieri et al. 07a], [Cafieri et al. 07b] che considerano problemi con vincoli generali e vincoli con struttura particolare. Gli articoli [Lucidi et al. 02], [Liuzzi et al. 06] che riguardano lo sviluppo di algoritmi per l’ottimizzazione senza derivate. Gli articoli [Liuzzi et al. 04], [Chiricozzi et al. 01], [Cirio et al. 01], [Grosso et al. 06] che considerano l’ottimizzazione globale e i metodi che si presentano in importanti applicazioni. L’articolo [Gaudioso et al. 06] che tratta di ottimizzazione non differenziabile. Gli articoli [Pappalardo, Passacantando 04], [Panicucci et al. 06], [Facchinei et al. 07], [Lignola, Morgan 06], [De Marco, Morgan 07] che considerano disequazioni variazionali e quasi-variazionali e temi connessi. Una citazione particolare merita il libro in due volumi [Facchinei, Pang 03] che è stato considerato dalla comunità scientifica internazionale una pietra miliare nelle disequazioni variazionali e problemi di complementarità.

[Bertsekas 03] D. P. Bertsekas, Convex Analisys and Optimization, Athena Scientific, 2003

[Boyd, Vandenberghe 04] S. Boyd, l. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004

[Nocedal, Wright 06] J. Nocedal, S. J. Wright, Numerical Optimization, Second Ed., Springer, 2006

[DiPillo Palagi 02] G. Di Pillo, L. Palagi, Nonlinear Programming: Introduction, Unconstrained Optimization, Constrained Optimization. In Handbook of App. Opt., P. Pardalos, M. Resende eds., Oxford Univ. Press, New York, 2002

[DiPillo, Murli 03] G. Di Pillo, A.Murli, High performance algorithms and software for nonlinear optimization, Kluwer, 2003

[Gould, Toint 04] N.I.M. Gould, Ph. L. Toint, How Mature is Nonlinear Optimization?, App. Math. Entering the 21st century: J.H. Hill, R. Moore eds, SIAM Philadelphia, pp. 141-161, 2004

[Gould et al. 05] N.I.M. Gould, D. Orban, Ph. L. Toint, Numerical Methods for large-Scale Nonlinear Optimization, Acta Numerica, 14, pp.299-361, 2005

[DiPillo, Roma 06] G. Di PIllo, M. Roma (Eds.), Large Scale Nonlinear Optimization, Series Nonconvex Optimization and its Applications, vol.83, Springer, 2006

[O’Leary 00] D.O’Leary, Symbiosis between linear algebra and optimization, J. Comput. Appl. Math, 123, pp.447-465, 2000

[Freund, Mizuno 00] R.M.Freund, S.Mizuno, Interior Point Methods: current status and future diretions, High Perfomr. Opt., Frenk et al. eds, Kluwer pp.441-466, 2000

[Keller et al. 00] C.Keller, N.Gould, A.Wathen, Constraints preconditioning for indefinite linear systems, SIAM J. Matrix Anal. App., 21, pp1300-1317, 2000

[Audet, Dennis 04] C. Audet, J.E.Jr Dennis, A Pattern Search Filter Method for Nonlinear Programming without Derivatives, SIAM J. on Opt., 14, pp.980-1010, 2004

[Liuzzi et al. 06] G. Liuzzi, S. Lucidi, M. Sciandrone, A derivative-free algorithms for linearly constrained finite minimax problems, SIAM J. on Opt., 16, pp.1054-1075, 2006

[Cirio et al. 01] L. Cirio, S. Lucidi, G. Placidi, A. Sotgiu, Automatic optimization strategy for the design of circular multipolar magnets, J. of Physics D: Applied Physics, 34, pp.313-318, 2001

[Liuzzi et al. 04] G.Liuzzi, S.Lucidi, V.Piccialli, A.Sotgiu, A Magnetic Resonance device designed via global optimization techniques, Math.Progr., 101, pp. 339-364, 2004.

[Gaudioso et al. 06] M.Gaudioso, G.Giallombardo, G.Miglionico, An incremental method for solving convex finite minmax problems. Math. of Oper. Res., 31,pp.173-187, 2006

[Wolkowicz et al. 00] H.Wolkowicz, R.Saigal, L.Vandenberghe (eds), Handbook of Semidefinite Programming, Theory, Alg. and Appl., Springer, 2000

[Tseng 07] P.Tseng, Second-order cone programming relaxation of sensor network localization, SIAM J. Opt., 18, pp.156-185, 2007

[Facchinei, Pang 03] F. Facchinei, J. Pang, Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vol. I-II, Springer Series in Operations Research, Springer, New York, 2003

[Krawczyk 07] J.B.Krawczyk, Numerical solution to coupled-constraint (or generalised Nash) equilibrium problems, Computat. Mang. Science, 4, pp.183-204

[Facchinei, Kanzow 07] F.Facchinei, C.Kanzow, generalized Nash equilibrium problems, 4OR, 5, pp.173-210, 2007

[Roma 05] M. Roma, Dynamic scaling based preconditioning for truncated Newton methods in large scale unconstrained optimization, Opt. Meth. and Soft., 20, pp.693-713, 2005.

[Fasano 05] G. Fasano, Planar-Conjugate gradient algorithm for large-scale unconstrained optimization Part 1: Theory. J. of Opt. Theory and App., 125, pp.523-541. Part 2: Application, J. of Opt. Theory and App., 125, pp.543-558, 2005

[Grippo, Lucidi 05] L. Grippo, S. Lucidi, Convergence conditions, line search algorithms and trust region implementations for the Polak-Ribiere conjugate gradient method. Opt. Meth. and Soft., 20, pp.71-98, 2005

[Fasano, Roma 07] G. Fasano, M. Roma, Iterative computation of negative curvature directions in large scale optimization, Comp. Opt. and App., 38, pp.81-104, 2007

[Gould et al. 00] N. Gould, S. Lucidi, M. Roma, P. L. Toint, Exploiting negative curvature direction in linesearch methods for unconstrained optimization. Opt. Meth. and Soft., 14, pp.75-98, 2000

[DiPillo et al. 05] G. Di Pillo, S. Lucidi, L. Palagi, Convergence to 2nd order stationary points of a primal-dual algorithm model for nonlinear programming, Math. of Oper. Res., 30, pp.897-915, 2005

[Palagi, Bomze 05] L Palagi, I. Bomze, Quartic formulation of standard quadratic optimization, J. of Global Opt., 32, pp.181-205, 2005

[Cafieri et al. 07a] S.Cafieri, M.D’Apuzzo, V.DeSimone, D.diSerafino, On the iterative solution of KKT systems in potential reduction software for large scale quadratic problems, Compt. Opt. Appl, 38, pp.27-45, 2007-10-28

[Cafieri et al. 07b] S.Cafieri, M.D’Apuzzo, V.DeSimone, D.diSerafino, G.Toraldo, Convergence analysis of an inexact potential reduction method or onvex quadratic programming, J. Opt.Theory and Appl., 2007.

[Lucidi et al. 02] S. Lucidi, M. Sciandrone, P. Tseng, Objective-derivative-free methods for constrained optimization, Math. Progr., 92 pp. 37-59, 2002

[Chiricozzi et al. 01] E. Chiricozzi, G. Liuzzi, S. Lucidi, G. Placidi, A. Sotgiu, M. Villani, Cylindrical and elliptical geometry for the design and optimization of small dedicated magnets for magnetic resonance imaging, Global Research Network: Research Adv. in Biomedical Engin., 2, pp.129-135, 2001

[Grosso et al. 06] A.Grosso, M.Locatelli, F.Schoen, A population based approach for hard global optimization problems based on dissimilarity, Math. Progr., 110, pp.373-404, 2007

[Pappalardo, Passacantando 04] M.Pappalardo, M.Passacantando, Gap functions and Lyapunov functions, J. of Global Opt., 28, pp.379-385, 2004

[Panicucci et al. 06] B.Panicucci, M.Pappalardo, M.Passacantando, On finite-dimensional generalized variational inequalities, J. of Industrial and Manag. Opt., 2, pp.43-53, 2006

[Facchinei et al. 07] F.Facchinei, A.Fisher, V.Piccialli, Variational inequalities and generalized Nash equilibrium problems, Operat. Res. Letters, 35, pp.159-164, 2007

[Lignola, Morgan 06] M.B.Lignola, J.Morgan, Alpha-well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints, J. of Global Opt., 36, pp.439-459, 2006

[De Marco, Morgan 07] G. De Marco, J.Morgan, Friendliness and reciprocity in equilibrium selection, Intern. Game Theory, Rev., 9, 2007 <<<