RICERCA ITALIANA     

Identità polinomiali e metodi combinatori

Università degli Studi di Palermo

Abstract

Obiettivo primario del progetto di ricerca è quello di studiare le identità polinomiali soddisfatte da un'algebra su un campo di caratteristica zero utilizzando metodi e risultati pertinenti alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi simmetrici e lineari, alla combinatoria algebrica, alla teoria degli invarianti. Tale approccio che ha permesso di sviluppare la teoria e di raggiungere risultati di notevole rilievo è basato soprattutto sulla teoria delle varietà sviluppata da Kemer ed un ruolo fondamentale è giocato dalle superalgebre e dalle loro identità. Questo approccio alla teoria delle identità polinomiali è stato introdotto e sviluppato principalmente da Berele, Drensky, Formanek, Kemer, Procesi, Razmyslov e Regev.
Si intende inoltre sviluppare ulteriormente la piena efficacia della versione superalgebrica del metodo delle "variabili virtuali" di Capelli, nella prospettiva di ottenere risultati di decomposizione per certe classi di "algebre pletistiche"; ci si propone anche di fornire contributi alla "teoria costruttiva degli invarianti" per i gruppi classici, con particolare riferimento all'estensione del metodo dei trasvettanti, alla generalizzazione del metodo simbolico all'anello delle funzioni polinomiali su moduli Schur/Weyl qualsiasi ed alla teoria delle rappresentazioni di gruppi finiti di riflessioni su algebre polinomiali.
Questo programma comportera' anche studi dettagliati di specifiche strutture combinatorie e delle algebre di Hopf ad esse associate; tra di esse, menzioniamo la corrispondenza di Robinson-Knuth-Schensted, le statistiche di permutazioni (con particolare riguardo alle involuzioni) e le non crossing partitions.
Nella teoria delle varietà si associano ad un’algebra degli invarianti numerici quali la successione delle codimensioni, la successione dei cocaratteri, la successione delle colunghezze e si intende contribuire allo sviluppo della teoria attraverso lo studio del loro comportamento asintotico. Nel caso delle superalgebre (ma anche delle algebre con involuzione o graduate da un gruppo finito G) si possono definire analoghi invarianti più fini, (determinati attraverso la teoria delle rappresentazioni dei prodotti intrecciati G wr Sn). Da una comparazione di questi ultimi con gli invarianti classici, si cerca di ottenere una migliore comprensione delle identità polinomiali studiate. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Antonino Giambruno Università degli Studi di PALERMO

Obiettivo del Programma di Ricerca

Gli obiettivi finali che il progetto si propone di raggiungere nei vari ambiti specifici sono i seguenti:

Calcolo dell’esponente delle varietà: estendere la classificazione delle varietà determinate da polinomi di Capelli e di Amitsur alle varietà minimali. In quest’ambito cercheremo di determinare un legame più stretto esistente tra una varietà arbitraria e le varietà minimali aventi lo stesso esponente.
Classificazione delle varietà a crescita polinomiale: estendere la classificazione recentemente ottenuta delle varietà a crescita lineare e delle sottovarietà della varietà generata dall’algebra di Grassmann o dall’algebra delle matrici 2 x 2 triangolari superiori a crescite superiori ed in particolare affrontare una congettura che asserisce che da un opportuno valore della crescita polinomiale (&gt;6?) la lista di algebre caratterizzanti le varietà non è più finita.
Crescita delle codimensioni di Lie e delle codimensioni proprie: determinare se i limiti delle successioni {c_n^p(A)^(1/n)} e {c_n^L(A)^(1/n)} esistono e sono interi. E’ nostra intenzione affrontare tale problema cercando di risolverlo per algebre finitamente generate ed in generale nel caso delle successioni delle codimensioni proprie.
Algebre non associative e crescita esponenziale: studiare le algebre non associative di dimensione finita cercando di classificare la loro crescita esponenziale (è un intero?). In particolare per algebre di Jordan semplici l’esponente esiste ed uguaglia la dimensione dell’algebra?
Superalgebre e algebre con involuzione: comparare gli invarianti determinati mediante la teoria delle rappresentazioni del gruppo iperottaedrale dalle supercodimensioni o dalle *-codimensioni con quelli classici.
Supervarietà e inviluppo Grassmaniano: affrontare il problema della determinazione di un’algebra generatrice per una supervarietà che sia legata all’algebra di Grassmann e alle algebre Z_2xZ_2-graduate di dimensione finita.
Combinatoria delle funzioni di Schur: determinare una formula esplicita per le molteplicità m(?) nei cocaratteri traccia nel caso dell'algebra M_2,1(K) estendendo risultati ottenuti per l'algebra M_1,1(K) attraverso lo studio di prodotti di Kronecker di funzioni di Schur.
Invarianti delle matrici nxn: determinare generatori e relazioni di definizione di grado minimo, per ogni d=3, per l’algebra Cnd degli invarianti di GLn che agisce mediante simultanea coniugazione su d matrici nxn.
G-gradazioni, identità funzionali: studiare le identità polinomiali graduate delle algebre verbalmente prime e determinare le possibili graduazioni mediante gruppi abeliani finiti su particolari algebre. Studio di identità funzionali che coinvolgano automorfismi e derivazioni generalizzate dell’anello.
Letterplace superalgebre: estendere parte della teoria al caso di caratteristica qualsiasi, allo scopo di ottenere versioni universali a meno di filtrazione (composition series) di risultati di decomposizione validi in caratteristica zero. Esplicitare i legami tra la teoria delle letterplace superalgebre e la teoria generale delle rappresentazioni delle superalgebre di Lie generali lineari, studiando il legame con i moduli di Kac (caso "tipico") o quozienti di moduli di Kac (caso "atipico").
Algebre di invarianti: estendere l'approccio combinatorio per la generazione di sistemi finiti minimali di generatori per l'algebra degli SL-invarianti di forme n-arie, con n qualsiasi allo studio dei tensori antisimmetrici e, più in generale, esplorare la possibilità di adattare questi metodi ad altre rappresentazioni razionali di gruppi algebrici linearmente riduttivi.
Metodo umbrale: sviluppare una versione del metodo umbrale che unifichi diverse generalizzazioni, allo scopo di ottenere, in primo luogo, descrizioni dei moduli irriducibili di algebre super(anti)simmetriche su moduli Schur-Weyl superalgebrici.
Azioni di gruppi di riflessioni: sia W un gruppo finito di riflessioni che agisce su uno spazio vettoriale di dimensione n. Considerando l'azione duale di W si possono costruire in modo naturale diverse azioni sull'anello dei polinomi in nk variabili. Ci si propone di studiare le serie di Hilbert delle algebre invarianti e covarianti associate generalizzando i risultati recentemente ottenuti nel caso dell'anello dei polinomi in 2n variabili.
Partizioni sghembe e funzioni generatrici simmetriche: considerare un prodotto e un coprodotto di insiemi parzialmente ordinati, rispetto ai quali si ottiene un'algebra di Hopf. I posets che provengono da diagrammi di Ferrers di partizioni sghembe formano una sottoalgebra di Hopf. La funzione generatrice di questi posets speciali è simmetrica. Stanley ha congetturato che valga il viceversa, ovvero che se la funzione generatrice di un poset P è simmetrica, allora P necessariamente proviene dal diagramma di Ferrers di una qualche partizione sgemba. Ci si propone di studiare e cercare di risolvere la congettura si Stanley, usando la struttura di algebra di Hopf delle funzioni quasi simmetriche.
Distribuzioni di involuzioni: studiare la distribuzione Euleriana sulle involuzioni senza punti fissi e sulle involuzioni autoevacuate, ovvero le involuzioni che corrispondono a tabelle di Young standard fisse sotto l’azione della mappa di Schützenberger. Più precisamente, determinare una formula esplicita per il numero j2n,k di involuzioni autoevacuate su 2n oggetti con k discese.
Calcolo umbrale: applicare i metodi umbrali alle funzioni di Schur, semplificando in chiave simbolica alcune delle formule più significative quali la regola di Littlewood-Richardson. Inoltre estendere l’interpretazione della nozione di cumulante al caso free con l’obbiettivo di studiare la formula di Kerov che esprime certi caratteri del gruppo simmetrico in termini di cumulanti free dei diagrammi di Young associati.
Calcolo geometrico invariante Grassmann-Clifford: Approfondendo il legame tra algebre di Cayley-Grassmann, algebre di Clifford geometriche e teoria dei covarianti di tensori antisimmetrici, sviluppare applicazioni del calcolo geometrico invariante alla soluzione di concreti problemi geometrici. <<<

Risultati parziali attesi

Tenuto conto degli obiettivi finali che il progetto si propone di raggiungere, i risultati attesi rappresentano un apporto significativo alla teoria combinatoria delle algebre con identità polinomiale e a vari aspetti della combinatoria algebrica e sue applicazioni. I risultati attesi possono essere descritti come segue.

1) Nel calcolo asintotico della successione delle codimensioni di un’algebra associativa, si cercherà di ottenere ulteriori informazioni sulle varietà legate all’esponente. In particolare, dato un T-ideale dell’algebra libera per generatori, si cercherà di determinare l’esponente della varietà associata in alcuni casi notevoli. Poiché è stato determinato una uguaglianza asintotica tra la successione delle codimensioni di varietà di questo tipo con specifici generatori (identità standard, identità di Capelli, identità di Amitsur) e la successione delle codimensioni di un’algebra di matrici,è nostra intenzione in questo progetto estendere questa classificazione alle varietà minimali.

2) Partendo dalla classificazione esplicita, a meno di PI-equivalenza, di tutte le algebre a crescita delle codimensioni al più lineare e dalla classificazione delle sottovarietà di var(G) e di var(UT_2), tra i risultati attesi si annovera quello di estendere questi risultati a crescite superiori. In particolare cercheremo di affrontare una congettura che asserisce che da un opportuno valore della crescita polinomiale (&gt;6?) la lista di algebre caratterizzanti le varietà non è più finita.

3) Due ulteriori successioni numeriche sono di interesse: la successione delle codimensioni proprie c_n^p(A) e delle codimensioni di Lie c_n^L(A). Tali successioni sono entrambe limitate superiormente dalla successione delle codimensioni ordinarie. In quest’ambito un problema aperto è quello di determinare se i limiti delle successioni {c_n^p(A)^(1/n)} e {c_n^L(A)^(1/n)} esistono e sono interi. E’ nostra intenzione affrontare tale problema cercando di risolverlo per algebre finitamente generate ed in generale nel caso delle successioni delle codimensioni proprie.

4) Nel caso di algebre non necessariamente associative, è stata costruita recentemente, per ogni numero reale x maggiore di 1, una varietà a crescita esponenziale uguale ad x. Inoltre si è dimostrato che le algebre di dimensione finita non possono avere crescita intermedia. In quest’ambito è nostra intenzione studiare le algebre di dimensione finita cercando di classificare la loro crescita esponenziale (è un intero?). In particolare un risultato atteso afferma che per algebre di Jordan semplici l’esponente esiste ed uguaglia la dimensione dell’algebra.

5) Un interessante raffinamento della teoria delle algebre con identità polinomiali è ottenuto quando l'algebra ha un'ulteriore struttura di superalgebra o di algebra con involuzione *, studiando le corrispondenti superidentita o *-identità. Tale situazione si presenta quando l'algebra data possiede un automorfismo o un antiautomorfismo di ordine 2. Per le *-varietà che siano generate da un'algebra di dimensione finita, è stato determinato in modo esplicito la loro crescita esponenziale. Tale generalizzazione è stata anche fatta nel caso delle supervarietà che siano generate da una PI-algebra finitamente generata. In entrambi i casi si paragoneranno i nuovi invarianti determinati con quelli classici.

6) Nella descrizione delle varietà di algebre, un risultato fondamentale di Kemer ([Ke1]) asserisce che una varietà propria è generata dall’inviluppo grassmaniano di una superalgebra di dimensione finita. Questo risultato, mettendo in relazione le identità con le superidentità di una superalgebra di dimensione finita, ha permesso di sviluppare la teoria in modo significativo nell’ultimo decennio.
La principale ostruzione nello sviluppo della teoria delle superalgebre è dovuta alla mancanza di un analogo risultato per le supervarietà. E’ nostra intenzione affrontare tale problema cercando di determinare un’algebra generatrice per una supervarietà che sia legata all’algebra di Grassmann e alle algebre Z_2xZ_2-graduate di dimensione finita.

7) Un altro problema che si intende affrontare è quello di una possibile classificazione delle supervarietà e delle *-varietà che abbiano crescita polinomiale assegnata. Tale studio è stato iniziato con la classificazione delle *-varietà e delle supervarietà a crescita al più lineare. Tale risultato ha permesso di descrivere esplicitamente le successioni lineari che possono presentarsi come successioni delle supercodimensioni o delle *-codimensioni di un’algebra.

8) Nell'affrontare il problema della determinazione delle identità delle matrici esiste un approccio fondato sulla combinatoria delle funzioni di Schur. La teoria delle identità traccia sviluppata indipendentemente da Procesi e Razmyslov è un metodo efficace per lo studio delle identità soddisfatte dall'algebra delle matrici rxr. Da questa teoria e dalla sua "hook" generalizzazione ottenuta da Regev, segue che il calcolo delle molteplicità m(?) nei cocaratteri traccia per l'algebra delle matrici M_r(K), dove ?= (?1,…, ?k) è una partizione di n con al più r^2 parti non nulle, può essere ricondotto allo studio di prodotti di Kronecker di funzioni di Schur. Tale studio è stato recentemente intrapreso da Carini in collaborazione con Remmel, Whitehead e Regev. Recentemente Carbonara, Carini e Remmel hanno determinato, per ogni r, il comportamento degli m(?) con ?2…, ?r fissati e ?1 sufficientemente grande. Si intende dare ulteriori informazioni su tali molteplicità. Si intende inoltre, estendere le ricerche iniziate da Remmel nel caso dell'algebra M_1,1(K) al caso dell'algebra M_2,1(K).

9) Lo studio dell’algebra delle matrici generiche nxn (introdotte da Procesi), è legato alla teoria degli invarianti delle matrici nxn. Si studiano l’algebra Cnd degli invarianti di GLn che agisce mediante simultanea coniugazione su d matrici nxn. Generali risultati della teoria degli invarianti di gruppi classici mostrano che l’algebra Cnd è finitamente generata. La teoria delle PI-algebre fornisce un limite superiore per l’insieme dei generatori dell’algebra Cnd. Una descrizione delle relazioni di definizione di Cnd è data da Razmyslov-Procesi. Espliciti insiemi minimali di generatori per Cnd e relative relazioni di definizione sono stati determinati in soli pochi casi. Recentemente Benanti e Drensky hanno determinato il grado minimo dell’insieme delle relazioni di definizione di C3d per ogni d=3 e tutte le relazioni di grado minimo. Si intende studiare l’algebra C4d , determinare generatori e relazioni di definizione di grado minimo, per ogni d=3.

10) Se G e' un gruppo abeliano finito, è ben noto che una G-gradazione su un'algebra A su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero individua G come gruppo di automorfismi di A e viceversa. Lo studio delle identità G-graduate è quindi ricondotto a quello delle G-identità (identità con automorfismi). Lo strumento essenziale è la teoria delle rappresentazioni del prodotto intrecciato G wr S_n. In quest'ambito è anche naturale cercare di determinare anche tutte le possibili graduazioni mediante gruppi abeliani finiti su particolari algebre significative.

11) Altri ambiti che si intendono sviluppare includono il legame esistente tra le identità polinomiali di un'algebra e le identità gruppali soddisfatte dal gruppo delle sue unità. In particolare, una congettura di Hartley per algebre gruppali KG stabilisce che se il gruppo G è di torsione, K è un campo e il gruppo delle unità di KG soddisfa una identità gruppale, allora l'algebra gruppale KG soddisfa una identità polinomiale. E' stato dimostrato che le identità polinomiali soddisfatte sono molto particolari. Riteniamo che in quest’ambito sia possibile ottenere una più ampia classificazione per unità simmetriche rispetto ad una involuzione indotta dal gruppo G.
12) La teoria delle letterplace superalgebre su campi di caratteristica zero, riguardate come bimoduli rispetto all'azione di una coppia di superalgebre di Lie generali lineari, incorpora e semplifica varie teorie classiche, quali ad esempio la teoria delle rappresentazioni dei gruppi generale lineare e simmetrico, la teoria di Berele-Regev sulle azioni del gruppo simmetrico su spazi di tensori Z_2-graduati, e vari aspetti della teoria classica degli invarianti. Ci si propone di estendere parte della teoria al caso di caratteristica qualsiasi, allo scopo di ottenere versioni universali a meno di filtrazione (composition series) di risultati di decomposizione validi in caratteristica zero.

13) I sottomoduli irriducibili delle letterplace superalgebre risultano tutti moduli Schur/Weyl (o, moduli "covarianti") e, grazie alla versione superalgebrica del metodo delle variabili virtuali, ammettono una descrizione combinatoria assai efficace. Allo scopo di esplicitare i legami tra la teoria delle letterplace superalgebre e la teoria generale delle rappresentazioni delle superalgebre di Lie generali lineari, ci si propone di studiare il legame tra questo tipo di descrizione e la loro descrizione come moduli di Kac o quozienti di moduli di Kac.

14) Il tema di trovare versioni algoritmiche del "teorema di finitezza" di Hilbert (generalizzato) e' un tema molto attuale ed e' stato oggetto di molti studi e notevolissimi risultati, basati in grande parte sulla teoria delle basi di Groebner e metodi di geometria algebrica. D'altra parte, algorimi espliciti erano stati trovati da P.Gordan nel caso delle forme binarie (tensori simmetrici su uno spaziodi dimensione due) usando metodi essenzialmente combinatrici. Recentemente, l'approccio combinatorio e' stato esteso al caso della generazione di sistemi finiti minimali di generatori per l'algebra degli SL-invarianti di forme n-arie, con n qualsiasi. La strategia si basa sull'estensione del cosiddetto "metodo elettrochimico" di Sylvester per le forme binarie ed ha portato ad uno studio approfondito della combinatoria dei "trasvettanti" nel caso n-ario e del "metodo simbolico". Ci si propone di sviluppare l'analogo studio per i tensori antisimmetrici e, piu' in generale, esplorare la possibilita' di adattare questi metodi ad altre rappresentazioni razionali di gruppi algebrici linearmente riduttivi.

15) Il metodo umbrale di Grosshans, Rota e Stein consiste nel riguadare le algebre di funzioni polinomiali su spazi di tensori simmmetrici/antisimmetrici omogenei come immagini epimorfe di letterplace superalgebre rispetto ad opportuni operatori GL-equivarianti. Tale metodo è stato generalizzato al caso di certe algebre pletistiche (algebre super(anti)simmetriche di spazi di tensori supersimmetrici) ottenendo, ad esempio, una descrizione esplicita di tutti i loro sottomoduli irriducibili rispetto all'azione di superalgebre di Lie generali lineari. Recentemente, A. Keet ha generalizzato il metodo umbrale al caso di algebre di funzioni polinomiali su moduli di Schur-Weyl qualsiasi. Ci si propone di sviluppare una versione del metodo umbrale che unifichi queste diverse generalizazzioni, allo scopo di ottenere, in primo luogo, descrizioni dei moduli irriducibili di algebre super(anti)simmetriche su moduli Schur-Weyl superalgebrici.

16) Sia W un gruppo finito di riflessioni che agisce su uno spazio vettoriale di dimensione n. Considerando l'azione duale di W si possono costruire in modo naturale diverse azioni sull'anello dei polinomi in nk variabili. Si considerano le serie di Hilbert delle algebre invarianti e covarianti associate. Ci si propone di studiare tali serie di Hilbert generalizzando i risultati recentemente ottenuti nel caso dell'anello dei polinomi in 2n variabili. Tale generalizzazione dovrebbe far intervenire la proprietà di Cohen-Macaulay di queste algebre invarianti ed una approfondita analisi della decomposizione in moduli irriducibili del prodotto tensoriale tra due rappresentazioni irriducibili di un gruppo finito generato da riflessioni.

17) Malvenuto ha considerato un prodotto e un coprodotto di insiemi parzialmente ordinati, rispetto ai quali si ottiene un'algebra di Hopf. Tra gli insiemi parzialmenti ordinati etichettati, vi e' la classe di quelli che provengono da diagrammi di Ferrers di partizioni sghembe. Detti posets formano una sottoalgebra di Hopf. La funzione generatrice di questi posets speciali e' simmetrica. Stanley ha congetturato che valga il viceversa, ovvero che se la funzione generatrice di un poset P e' simmetrica, allora P necessariamente proviene dal diagramma di Ferrers di una qualche partizione sgemba. Ci si propone di studiare e cercare di risolvere la congettura di Stanley, usando la struttura di algebra di Hopf delle funzioni quasi simmetriche.

18) La distribuzione delle discese sull’insieme delle involuzioni su n oggetti è stata studiata in tempi recenti da numerosi autori, che hanno esaminato le proprietà combinatorie del polinomio generatore In(x) di tale sequenza. Brenti ha congetturato che il polinomio In(x) sia logaritmicamente concavo. Uno strumento importante è una formula che esprime il numero in,k di involuzioni con k discese in termini della successione an,s che conta le tabelle semistandard con n caselle e s simboli. Questo approccio fornisce un’ulteriore e più semplice dimostrazione della simmetria dei coefficienti del polinomio In(x). Il nostro obiettivo è applicare lo stesso approccio alla soluzione di problemi enumerativi riguardanti opportuni sottoinsiemi dell’insieme delle involuzioni: ad esempio, intendiamo studiare la distribuzione Euleriana sulle involuzioni senza punti fissi e sulle involuzioni autoevacuate.

19) L’interpretazione umbrale dei cumulanti ha aperto la strada a una teoria generale delle k-statistiche e delle loro generalizzazioni. Le k-statistiche sono strettamente legate all’algebra delle funzioni simmetriche e ciò ha condotto ad interpretare umbralmente alcune delle basi classiche. Proseguendo lungo questa via si intendono applicare i metodi umbrali alle funzioni di Schur, semplificando in chiave simbolica alcune delle formule più significative quali la regola di Littlewood-Richardson. Inoltre si intende estendere l’interpretazione della nozione di cumulante al caso free con l’obbiettivo di studiare la formula di Kerov che esprime certi caratteri del gruppo simmetrico in termini di cumulanti free dei diagrammi di Young associati.

20) Si studieranno le identità funzionali che coinvolgano automorfismi e derivazioni generalizzate di un anello, al fine di ottenere una completa descrizione di queste ultime. Successivamente verrà analizzata la struttura dei sottoanelli e sottogruppi generati da opportuni polinomi funzionali che non siano identità nell’anello. In particolare si vuole osservare in quali casi tali sottoanelli (rispettivamente, sottogruppi) contengano ideali(rispettivamente, ideali di Lie) dell’anello stesso.

21) Si intende approfondire lo studio della classe di algebre con involuzione introdotte da Di Vincenzo e La Scala. Si tratta di sottoalgebre di matrici triangolari a blocchi in cui la riflessione attorno alla diagonale secondaria induce una involuzione. E’ stato congetturato che tali algebre con involuzione generino tutte e sole le *-varietà minimali. Ci proponiamo di ampliare la classe dei casi in cui tale congettura è stata verificata positivamente. Successivamente verrà esaminata la struttura dell'ideale delle *-identità polinomiali delle superalgebre verbalmente prime M_{p,q}(G) con involuzione indotta dall'azione di una coppia di superinvoluzioni definite rispettivamente sulle superalgebre di matrici M_{p+q}(F) ad elementi sul campo F e sull'algebra di Grassmann G. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico è stata utilizzata fin dai primi anni 70 per studiare i T-ideali dell'algebra libera associativa; questo metodo è stato sviluppato in caratteristica zero da Regev, Kemer, Procesi, Razmyslov, Amitsur, Berele, Drensky ed altri. La teoria delle algebre di Lie con identità polinomiali è stata sviluppata dalla scuola di Mosca da Bahturin, Zaicev, Mishchenko, Petrogradsky, Razmyslov ed altri (cfr. Y. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. Petrogradsky, M. Zaicev, Infinite Dimesional Lie Superalgebras, Walter de Gruyter, Berlin, 1992).

Lo studio del comportamento asintotico della successione delle codimensioni per algebre associative è stato iniziato da Regev (Existence of identities in A x B, Israel J. Math. 11 (1972), 131-152). Il teorema che asserisce che ogni varietà propria ha crescita esponenziale intera ed il suo calcolo esplicito è dovuto a Giambruno e Zaicev (On codimension growth of finitely generated associative algebras, Adv. Math. 140 (1998), 145-155; Exponential codimension growth of PI-algebras: an exact estimate, Adv. Math., 142 (1999), 221-243). L’introduzione dell’esponente e le metodologie utilizzate hanno permesso lo studio delle crescita esponenziale dei polinomi. Tale studio è stato iniziato da Berele and Regev (Exponential growth for codimensions of some p.i. algebras. J. Algebra 241 (2001), 118-145). Lo studio delle varietà a crescita polinomiale è stato iniziato da Kemer (T-ideals with polynomial growth of the codimensions are Specht, Sib. Math. J. 19 (1978), 37-48). Contributi in quest’ambito sono stati dati tra gli altri da Drensky, Regev. Negli ultimi 3 anni si è ottenuta la classificazione delle varietà a crescita lineare (A. Giambruno, and D. La Mattina, PI-algebras with slow codimension growth, J. Algebra 284 (2005), no. 1, 371-391) e la classificazione delle sottovarietà dell’algebra di Grassmann e delle matrici 2x2 triangolari superiori (D. La Mattina, Varieties of almost polynomial growth: classifying their subvarieties, Manuscripta Math. 123, 185-203).

Lo studio delle identità polinomiali per una superalgebra o per un'algebra con involuzione tramite la teoria delle rappresentazioni del gruppo iperottaedrale è stato iniziato da Giambruno e Regev (Wreath products and PI-algebras, J. Pure Applied Algebra 35 (1985) 133-149).
Lo studio del comportamento asintotico delle codimensioni di Lie di un'algebra di Lie è stato condotto da vari autori. I contributi più significativi sono dovuti a Bahturin, Zaicev, Mishchenko, Petrogradsky, Razmyslov (Y. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. Petrogradsky, M. Zaicev, Infinite Dimesional Lie Superalgebras, Walter de Gruyter, Berlin, 1992). In generale per algebre non associative è stato dimostrato da Giambruno, Mishchenko e Zaicev che la crescita esponenziale di un’algebra può essere un numero reale qualunque maggiore di 1. Nel caso di algebre di dimensione finita non necessariamente associative è stato dimostrato in (A. Giambruno, S. Mishchenko and M. Zaicev, Algebras with intermediate growth of the codimensions, Adv. in Applied Math. 37 (2006), no. 3, 360-377) che esse non possono avere crescita intermedia delle codimensioni.

Il calcolo della successione dei cocaratteri per le matrici 2x2 è dovuto a Drensky (Polynomial identities for 2x2 matrices, Acta Appl. Math. 21 (1990), No.1/2, 137-161) e Procesi (Computing with 2x2 matrices, J. Algebra 87 (1984), 342-359). L'introduzione e lo studio delle identità traccia per le matrici nxn è dovuto a Procesi (The invariant theory of nxn matrices, Adv.in Math.19 (1976), 306-381) e Razmyslov (Trace identities of full matrix algebras over a field of characteristic zero, Math. USSR, Izv. 8 (1974), 727-760). Regev (Sign Trace Identities, Linear andMultilinear Algebra, 1987, Vol 21, pp.1-28), utilizzando la teoria della rappresentazione della superalgebra generale lineare di Lie, ha dato una "hook" generalizzazione di tale teoria. Ne segue che il calcolo delle molteplicità nei cocaratteri traccia (e quindi nella maggior parte dei cocaratteri ordinari) può essere ricondotto allo studio di certi prodotti di Kronecker di funzioni di Schur.

Lo studio dell’algebra delle matrici generiche è legato alla teoria degli invarianti delle matrici n x n. La teoria delle PI-algebre fornisce un limite superiore per l’insieme dei generatori dell’algebra Cnd degli invarianti di GLn che agisce mediante simultanea coniugazione su d matrici nxn. Una descrizione delle relazioni di definizione di Cnd è data da Razmyslov-Procesi (C.Procesi, The invariant theory of nxn matrices, Adv.in Math.19 (1976), 306-381; Y. Razmyslov, Identities of Algebras and Their Representations, Transl. Amer. Math. Monogr., vol. 138, Amer. Math. Soc., Providence RI, 1994). Negli ultimi anni si è cercato di determinare i generatori e le relazioni di C3d (F. Benanti, V. Drensky, Defining relations of noncommutative trace algebra of two 3 x 3 matrices, Adv. Appl. Math. 37 (2006), 162-182).

Lo studio delle identità graduate di un'algebra mediante le rappresentazioni di prodotti intrecciati GwrS_n è stato iniziato da Giambruno e Regev (Wreath products and PI-algebras, J. Pure Applied Algebra 35 (1985), 133-149). In (A. Giambruno, S. Mishchenko and M. Zaicev, Group actions and asymptotic behavior of graded polynomial identities, J. London Math. Soc. (2) 66 (2002), 295-312) sono state caratterizzate le varietà di algebre G-graduate, G un gruppo abeliano finito, che abbiano crescita polinomiale.
Lo studio del gruppo delle unità di un'algebra gruppale è stato condotto soprattutto da Sehgal e dalla sua scuola (cfr S.K.Sehgal, Units in integral group rings, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, vol. 69 (1993), John Wiley &amp; Sons). La congettura di Hartley è stata risolta da Giambruno, Jespers, Sehgal e Valenti su un campo infinito (A. Giambruno, E. Jespers and A. Valenti, Group identities on units of rings, Arch. Math., 63 (1994), 291-296; A.Giambruno, S.K.Sehgal, A.Valenti, Group algebras whose units satisfy a group identity, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 629-634).

Una trattazione sistematica della teoria delle letterplace superalgebre come bimoduli rispetto ad una coppia di superlgebre di Lie generali lineari e delle sue varie applicazioni si trova nel lavoro: A. Brini, Combinatorics, Superalgebras, Invariant Theory and Representation Theory, Seminaire Lotharingien de Combinatoire, Vol 55 (2007), 114pp. (electronic publication).

Lo stato dell'arte della teoria costruttiva degli invarianti e dei suoi legami con la teoria delle basi di Groebner e metodi di geometria algebrica si trova nel recente volume: Derksen H., Kemper G., Computational invariant theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups. 130 (1) (2002), Springer. Per una moderna versione dei metodi combinatorici e dei trasvettanti nel caso binario: Olver P.J., Classical Invariant Theory, London Mathematical Society Student Texts 44 (1999), Cambridge University Press. Questo metodo è stato recentemente esteso al caso n-ario in [Brini A., Regonati F., Teolis A., Combinatorics, Transvectants and Superalgebras. An elementary combinatorial appoach to Hilbert's Finiteness Theorem, Adv. in Math. 37 (3) (2006), 287 – 308].

La versione superalgebrica del metodo simbolico e' stata introdotta da Grosshans, Rota e Stein (Invariant Theory and Superalgebras, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987) per lo studio degli invarianti congiunti di tensori simmetrici ed antisimmetrici e quindi generalizzata da Brini, Huang e Teolis (The umbral symbolic method for supersymmetric tensors, Adv. in Math. 96 (1992), 123-193) e Grosshans (The Symbolic Method and Representation Theory, Adv. Math. 98 (1993), 113-142) al caso di certe algebre pletistiche. Recentemente, A. Keet ha svipuppato una diversa generalizzazione al caso di algebre simmetriche su moduli di Schur qualsiasi.

Negli ultimi anni c'è stato molto interesse intorno allo studio delle algebre invarianti e covarianti rispetto all'azione di un gruppo (finito) di riflessioni sull'anello dei polinomi in più variabili. Tale studio ha dato nuova luce alla combinatoria dei gruppi di Weyl, con particolare interesse alle discese ed agli indici maggiori. La teoria delle rappresentazioni di questi gruppi ha inoltre permesso di definire nuovi moduli indicizzati da oggetti puramente combinatorici, quali le partizioni nel caso del gruppo simmetrico, la cui decomposizione in moduli irriducibili fa intervenire in modo sostanziale altri oggetti combinatorici quali le tabelle di Young ed opportune statistiche su di essi definite. Tra i contributi piu' recenti, segnaliamo R. Adin, F. Brenti, Y. Roichman (Descent Representations and multivariate statistics, Trans. Amer. Math. Soc., 357 (2005), 3051-3082), R. Biagioli, F. Caselli (Invariant algebras and major indices for classical Weyl groups, Proc. London Math. Soc. 88 (2004), 603-631), H.Barcelo, V.Reiner, D.Stanton (Bimahonian Distributions, preprint, math/0703479).

Un tema ben noto in combinatoria algebrica, iniziato da Rota, e' che molte strutture discrete sono dotate in modo naturale di prodotti e coprodotti: l'enumerazione e classificazione di queste strutture danno luogo a un'algebra di Hopf associata che codifica il modo di assemblare e disassemblare queste strutture. Alcuni esempi sono l'algebra di Malvenuto-Reutenauer delle permutazioni, l'algebra di Loday-Ronco degli alberi piani binari, l'algebra degli alberi di Connes-Kreimer, l'algebra di Reutenauer-Poirier delle tabelle di Young, l'algebra delle funzioni simmetriche, delle funzioni quasi simmetriche e molte altre. Questi aspetti sono maturati recentemente in un lavoro di Aguiar, Bergeron e Sottile (Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn-Sommerville equations, Compositio Mathematica 142 (2006), 1-30), in cui si da' un morfismo naturale tra le algebre di Hopf di oggetti combinatorici e l'algebra di Hopf delle funzioni quasi simmetriche QSym.

Una ampia ed attuale trattazione del calcolo geometrico mediante l'algebra di Clifford geometrica si trova nel volume: G. Sommer (ed.) (Geometric computing with Clifford algebras : theoretical foundations and applications in computer vision and robotics, Springer, 2001) (vedi anche D. Hestenes, G. Sobczyk, (Clifford Algebra to Geometric Calculus. A unified language for mathematics and phisics, Reidel, 1992)).
Una trattazione sistematica delle algebre di Cayley-Grassmann si trova nel lavoro M. Barnabei, A. Brini, G.-C. Rota (On the exterior calculus of invariant theory, J. Algebra 96 (1985), 120-160). Rilevanti estensioni del metodo delle algebre di Cayley-Grassmann sono state ottenute da H. Crapo e W. Schmitt (The Whitney algebra of a matroid, J. Combin. Theory Ser. A 91 (2000), no. 1-2, 215-263). <<<