RICERCA ITALIANA     

Teoria dei Modelli, Teoria degli Insiemi e Applicazioni

Università degli Studi di Camerino

Abstract

Sin dalla loro nascita Teoria dei Modelli e Teoria degli Insiemi hanno prodotto significative applicazioni in Algebra e Geometria. Ad esempio il problema della decidibilità, o l’apertura di nuove prospettive non-standard seguita ai teoremi di completezza e compattezza hanno spesso prodotto importanti progressi nella classificazione delle strutture algebriche e geometriche, chiarendo se e quando essa è possibile, e fornendo concetti e strumenti per compierla. Il progetto intende considerare alcune di queste applicazioni di Teoria dei Modelli e Teoria degli Insiemi ad Algebra, Geometria e anche Analisi. In dettaglio gli argomenti che vogliamo affrontare sono i seguenti:

1) O-minimalità (gruppi definibili in strutture o-minimali, esponenziazione reale)
2) Metodi di Teoria dei Modelli nello studio dei Moduli (classificazione dei moduli su anelli commutative Noetheriani, su algebre di Lie e su piani quantici)
3) Metodi non standard in Algebra, Analisi e Teoria degli Insiemi
4) Metodi di Classificazione in Teoria Descrittiva degli Insiemi (classificazione di insiemi, relazioni di equivalenza e preordini naturali)
5) Metodi di Teoria degli Insiemi in Topologia. <<<

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Carlo Toffalori Università degli Studi di CAMERINO

Obiettivo del Programma di Ricerca

Il progetto studia le applicazioni di Teoria dei Modelli TM e Teoria degli Insiemi TI ad Algebra, Geometria ed Analisi. Puntiamo a produrre genuini e significativi progressi in questi settori, ad esempio
- in Geometria Algebrica (nell’analisi dei gruppi definibili nelle strutture o-minimali col conseguente collegamento con i gruppi di Lie),
- in Teoria della Rappresentazione e in Teoria dei Moduli (in particolare a proposito di certe rappresentazioni della algebre di Lie, o dei moduli su un anello commutativo Noetheriano).
Ma vogliamo anche approfondire aspetti più teorici, legati ad esempio al tema della classificazione delle strutture matematiche, ai fondamenti dei metodi e modelli non standard e al reale contenuto di vari principi di Topologia e TI.
I settori principali del nostro programma sono:

1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2) Metodi di TM in algebra dei Moduli e Teoria della Rappresentazione
3) Metodi nonstandard in Algebra, Analisi e TI
4) Metodi di classificazione in Teoria Descrittiva degli Insiemi
5) Metodi di TI in Topologia.

Altri argomenti di ricerca, ancora legati al tema generale, sono descritti nei progetti delle singole unità. Commentiamo qui i 5 punti sopra elencati.

In 1, vogliamo anzitutto approfondire il legame tra un gruppo definibilmente compatto in una struttura o-minimale saturata e il gruppo di Lie reale compatto che gli viene canonicamente associato da un recente teorema di Berarducci, Otero, Peterzil e Pillay. Ci interessano soprattutto gli aspetti di questa corrispondenza legati a coomologia e omotopia.
Vogliamo poi affrontare alcune questioni collegate classico problema di Tarski sulla decidibilità della teoria T del campo reale ampliato con la funzione esponenziale. Ci interessa cogliere il ruolo dalla completezza definibile nella dimostrazione della o-minimalità di T.

In 2, si affronta anzitutto il problema della classificazione dei moduli su un anello commutativo Noetheriano R in riferimento alla dicotomia “docile-selvaggio” proposta da Klingler e Levy in questo ambito; si prevede anzitutto di provare che per tutti gli anelli selvaggi e per gran parte di quelli docili è impossibile definire alcuni abituali concetti di dimensione; si vuole poi mostrare che per R contabile la teoria del primo ordine degli R-moduli è indecidibile su anelli selvaggi, e decidibile almeno per quegli anelli docili che Klingler e Levy chiamano di Klein. Puntiamo poi a indagare gli altri casi docili. L’analisi complessiva della questione coinvolge il classico problema di decisione per moduli su anelli commutativi finiti.
Si vogliono poi considerare le algebre di Lie sl(2,k) con k campo algebricamente chiuso di caratteristica 0 e le loro rappresentazioni di dimensione pseudofinita, viste come moduli sulla relativa algebra universale di inviluppo; si punta (per k contabile) a provare la decidibilità della loro teoria sulla base di plausibili congetture di Geometria Diofantea. Si vogliono finalmente considerare analoghe questioni su campi quantici.

In 3 puntiamo a proporre nuovi approcci elementari all’Analisi non standard, alla TI non standard e in generale ai modelli e metodi non standard, facilmente accessibili anche a chi è digiuno di sottigliezze logiche. Vogliamo in particolare approfondire la teoria delle “numerosità” che punta ad assegnare agli insiemi infiniti una misura nel rispetto dei 5 assiomi euclidei sulle grandezze e in particolare del principio che “il tutto è maggiore della parte”.
La costruzione di modelli non standard tramite ultrapotenze si basa spesso su nuove opportune classi di ultrafiltri, e dunque su delicate ipotesi di TI. Vogliamo considerare anche questi aspetti fondazionali. <br />
Il tema 4 si occupa principalmente del problema della classificazione di oggetti matematici a meno di relazioni di equivalenza, ad esempio di strutture algebriche a meno di isomorfismi. Ci interessa in particolare la classificazione di varie famiglie di continui. Le relazioni di equivalenza che consideriamo non sono soltanto quelle generate da azioni di gruppi Polacchi, ma anche altre suggerite da certi quasi ordini analitici.
Trattiamo qui anche Combinatorica Infinita e le conseguenze di postulati cruciali come l’Assioma di Determinatezza.

Passiamo a 5. Interazioni tra TI e Topologia compaiono già nei punti 3 e 4. Del resto molti principi di Topologia si fondano su (o addirittura equivalgono a) ipotesi delicate di TI. Vogliamo approfondire alcune di queste connessioni. Puntiamo poi ad esaminare varie questioni specifiche di Topologia con l’uso di strumenti di Combinatorica Infinita.

Un aspetto non marginale del nostro progetto riguarda il coinvolgimento di giovani ricercatori: intendiamo promuovere e sostenere la loro ricerca attraverso la partecipazione alle conferenze internazionali e a seminari interni e, soprattutto, con 4 borse di ricerca post-dottorato. A questo proposito vogliamo ricordare che il Premio Sacks per la migliore tesi di dottorato di Logica è stato assegnato dall'Association of Symbolic Logic nel 2006 a Matteo Viale per le ricerche da lui svolte sotto la direzione di Andretta (Torino) e Velickovic (Parigi 7) relativamente al nostro punto 4. Per citare le motivazioni della commissione giudicatrice del premio "la tesi di Viale dà contributi fondamentali alla nostra comprensione delle conseguenze degli assiomi del forcing nella combinatorica dei cardinali singolari, in particolare risolve un problema ben noto dimostrando che l'Assioma del Forcing Proprio implica l'Ipotesi dei Cardinali Singolari". <<<

Risultati parziali attesi

Gli argomenti della nostra ricerca sono già stati presentati in generale e commentati al punto “Articolazione del Progetto e Tempi di Realizzazione”. Elenchiamo qui i risultati specifici attesi, suddivisi secondo i 5 argomenti principali del programma. Si usano le consuete abbreviazioni, TM per Teoria dei Modelli, TI per Teoria degli Insiemi.

1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2) Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione
3) Metodi nonstandard in Analisi, Algebra e TI
4) Metodi di Classificazione in Teoria Descrittiva degli Insiemi (TDI)
5) Metodi di TI in Topologia.

Discutiamo anche il loro interesse per l’avanzamento della conoscenza e le loro potenzialità applicative.


1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
a) Gruppi definibili in una struttura o-minimale.
- Studio della relazione tra un gruppo G definibilmente compatto in una struttura saturata o-minimale e il gruppo di Lie G/G00 che gli viene canonicamente associato, confronto dei loro invarianti coomologici e omotopici
- G00 è coomologicamente ciclico?
b) Coomologia di fascio degli insiemi definibili in un’espansione o-minimale di un gruppo ordinato: analisi per insiemi non definibilmente compatti.
c) La completezza definibile
- Il suo ruolo nella prova della o-minimalità dell'esponenziazione reale
- Una versione definibile della proprietà di Baire.

a) vale ad approfondire l’affascinante collegamento tra i gruppi definibili nelle strutture o-minimali e i gruppi di Lie. I primi generalizzano i secondi in un ambito assai più esteso, in cui, ad esempio, al campo dei reali con le sue proprietà di completezza e compattezza si affiancano tutti i campi ordinati reali chiusi. Così l’analisi dei gruppi definibili nelle strutture o-minimali richiede approcci diversi da quelli che funzionano per il campo reale, ad esempio tecniche di coomologia e omotopia.
b) tratta analoghe questioni sulla base di recenti risultati di Edmundo, Jones e Peatfield.
c) si connette alla classica congettura di Tarski sulla decidibilità della teoria (o-minimale) T del campo reale esteso con la funzione esponenziale.


2) Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione
a) Complessità dei moduli su un anello commutativo Noetheriano R:
- impossibilità di definire una dimensione di Krull-Gabriel e una larghezza quando R è selvaggio e nella maggior parte dei casi (docili) in cui R è immagina omomorfa di un anello Dedekind-like
- calcolo della dimensione di Krull-Gabriel e della larghezza nei casi docili in cui R è un anello di Klein.
Problema di decisione per la teoria del primo ordine degli R-moduli per R contabile:
- indecidibilità per R selvaggio,
- decidibilità per R di Klein,
- discussione per R Dedekind-like o immagine omomorfa di un anello Dedekind-like,
- conseguente discussione del problema di decisione per la teoria del primo ordine su un anello commutativo finito.
b) Complessità delle rappresentazioni di un’algebra di Lie sl(2,k) con k campo algebricamente chiuso di caratteristica 0:
- decidibilità della teoria del primo ordine delle rappresentazioni di dimensione finita modulo plausibili congetture di Geometria Diofantea,
- analisi del problema analogo per le rappresentazioni di un piano quantico k_q[x,y] con k campo di caratteristica diversa da 2 e q elemento di k che non è radice dell’unità.

I risultati di a) stabiliscono in particolare la sorprendente conclusione che su molti anelli commutativi Noetheriani docili secondo Klingler e Levy esistono moduli superdecomponibili puri iniettivi ed è impossibile definire classiche dimensioni di TM. Individuano la linea di divisione tra gli anelli commutativi Noetheriani R che si assoggettano a queste dimensioni, e gli altri. Contribuiscono a chiarire l’analoga linea di divisione per il problema della decidibilità della teoria del primo ordine degli R-moduli; in particolare si applicano al caso degli anelli commutativi finiti (e la classificazione degli anelli commutativi finiti i cui moduli hanno teoria decidibile è passo cruciale per la classificazione di tutte le varietà localmente finite decidibili).
b) studia i modelli “esotici” della teoria del primo ordine delle rappresentazioni di dimensione finita di sl(2,k), ovvero quelle rappresentazioni di dimensioni infinita che soddisfano i medesimi enunciati del primo ordine delle rappresentazioni di dimensione finita; esamina la loro struttura algebrica; collega il problema di decisione della teoria a questioni di Geometria Diofantea sul computo dei punti interi di una curva.


3) Metodi non standard in Analisi, TI e Algebra.
a) Metodi non standard in Analisi, Teoria dei Numeri e Algebra
- Nuovi approcci elementari all’Analisi non standard
- Proprietà di secondo ordine della retta reale non standard (ordinamento e topologie naturali)
- Algebre di funzioni non standard utili in Analisi non lineare
- Metodi non standard in Teoria Combinatoria dei Numeri.
b) Metodi non standard in TI
- La teoria delle numerosità
- Teorie non standard degli insiemi, costruzioni di estensioni elementari dell’universo, loro basi fondazionali
- Nuove classi di ultrafiltri suggerite dalle ricerche precedenti
- Il problema dell'esistenza di ultrafiltri di Hausdorff, e la sua indipendenza da ZFC.

a) punta soprattutto alla costruzione di approcci elementari a modelli e metodi non standard (specialmente in Analisi). Le tecniche non standard sono realmente capaci di aprire nuove prospettive e garantire nuovi risultati, ma il loro impiego è spesso ostacolato dai troppi preliminari di Logica matematica che esse richiedono per venire acquisite. Si tratta allora di evitare il ricorso a questi tecnicismi logici, e usare piuttosto un linguaggio accessibile a ogni matematico, basato su generali premesse di Algebra e Topologia.
b)sviluppa anzitutto una nuova strategia di misura della grandezza di un insieme, nel rispetto del principio euclideo che “il tutto è più grande della parte”, esplora anche vie non standard per la TI tramite opportune ultrapotenze dell’universo. Queste costruzioni si appoggiano spesso a delicati principi fondazionali e a nuove classi di ultrafiltri e pongono così il problema di cogliere i reali fondamenti che le sostengono.


4) Metodi di classificazione in TDI
a) Problemi di classificazione
- Continui razionali, continui immergibili in spazi euclidei di dimensione almeno 2, continui aciclici.
Relazioni di equivalenza
- Relazioni di equivalenza Boreliane numerabili
- Relazioni di equivalenza analitiche indotte dai preordini di ordini lineari colorati con elementi in un ordine parziale numerabile, in particolare in un wqo che non è un bqo (ad esempio nell’ordine di Rado)
b) Aritmetica cardinale
- Conseguenze dell'Assioma di Determinatezza nello studio delle cardinalità
- Congetture sulle possibiliti cofinalità e applicazioni alla Topologia.

Si affrontano qui vari aspetti del Problema della Classificazione, così come esso è affrontato in Teoria Descrittiva degli Insiemi. Si vuole chiarire la reale complessità della classificazione di varie famiglie di continui, e per altri versi considerare relazioni di equivalenza che non derivano dall’azione di gruppi Polacchi, ma sono suggerite da altre vie alternative.
Si considerano poi problemi rilevanti della Aritmetica Cardinale.


5) Metodi di TI in Topologia
Alcuni spunti in questo ambito sono già comparsi nei punti precedenti. Ad essi aggiungiamo i seguenti:
a) Basi fondazionali dei principi di Topologia
- Esame di casi particolari
- Regolarità e decomponibilità di ultrafiltri.
b) Applicazioni specifiche alla Topologia
- Studio degli spazi topologici (non di Hausdorff) in cui ogni compatto è chiuso
- Comportamento di invarianti cardinali come la impermeabilità (tightness) nel prodotto di spazi topologici
- Analisi strutturale del reticolo delle topologie di un dato insieme.

a) esamina vari enunciati di Topologia che si poggiano su (o addirittura equivalgono a) delicate assunzioni di TI, mentre b) applica tecniche di TI –ad esempio la Combinatorica Infinita- nell’analisi di vari problemi sugli spazi topologici.


Dagli altri temi del progetto ci si attendono infine i seguenti risultati:
- Decidibilità di frammenti della TI
- Teorie Positive degli Insiemi: consistenza di loro frammenti
- Reverse Mathematics: analisi della forza assiomatica della Congettura di Fraïssé
- Algebra Universale: caratterizzazione di varietà di algebre in base alle identità non banali dei loro reticoli di congruenze. <<<

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Il nostro programma studia le applicazioni della Teoria dei Modelli TM e della Teoria degli Insiemi TI ad Algebra, Geometria, Analisi. Queste interazioni risalgono alla genesi stessa di TM e TI. Si pensi ad esempio alla stessa Ipotesi del Continuo, e più in generale a quanti dei 23 problemi di Hilbert del 1900 riguardano la Logica Matematica, o sono stati risolti con metodi di Logica Matematica. L’anno scorso è stato celebrato il centenario della nascita di Gödel. I suoi teoremi di Incompletezza del 1931 e, ancora prima, i Teoremi di Completezza e Compattezza da lui provati tra il 1930 e il 1931 aprirono nuove prospettive anche nella ricerca in Algebra e Geometria, grazie alla costruzione di modelli esotici “nonstandard”. Tra queste applicazioni possiamo citare il classico esempio della soluzione di Ax, Kochen ed Ersov della congettura di Artin sugli zeri dei polinomi omogenei sui campi p-adici; oppure la via non standard all’Analisi tracciata da Abraham Robinson ed altri (un approccio discusso, forse appesantito da troppi preliminari logici, e tuttavia pienamente corrispondente alle intuizioni originarie di Leibniz e capace di coinvolgere rigorosamente anche gli elementi infinitesimi). Negli ultimi anni metodi e concetti di TM e TI hanno acquistato importanza sempre crescente, ad esempio in Geometria Diofantea, Geometria Analitica Reale, Analisi Reale, Teoria dei Moduli, Teoria della Rappresentazione, Analisi Funzionale, Topologia. Lungi dall’ingabbiare la libertà della ricerca matematica secondo schemi logici prefissati, come Poincaré paventava, si sono invece fornite idee importanti per lo sviluppo di molteplici aree. Programmi speciali di ricerca, ad esempio a Oberwolfach, a Banff, al Fields Institute, allo MSRI, al Newton Institute di Cambridge, hanno testimoniato la vitalità di queste frequentazioni (e largamente coinvolto ricercatori del nostro gruppo). Parole chiave che confermano questa collaborazione sono: definibilità, decidibilità, docilità, soprattutto classificazione. Si tratta di concetti non sempre definiti in modo esplicito e uniforme (si pensi ad esempio alla dicotomia docile/selvaggio ed alle sue molteplici interpretazioni in Teoria dei Moduli); mostrano tuttavia il comune cammino di TM e TI in questo ambito.
Consideriamo, ad esempio, il problema della classificazione: caratterizzare gli oggetti di una classe a meno di relazioni di equivalenza, ad esempio strutture a meno di isomorfismi. Si tratta di produrre questa classificazione se possibile, o di misurarne la difficoltà nei casi più complicati. TM e TI collaborano in questo ambito. In TM Shelah ha sviluppato a questo proposito una teoria di formidabile profondità, che individua le classi elementari di strutture “classificabili” e fornisce loro adeguate nozioni generali di dipendenza e dimensione. D’altra parte ci sono varie classi di strutture algebriche ordinate, e tra queste il campo ordinato reale e certe sue notevoli espansioni come quella con la funzione esponenziale, che la teoria di Shelah ritiene inclassificabili e pur tuttavia manifestano una qualche “docilità”, ad esempio consentono l’introduzione di ragionevoli dimensioni. La o-minimalità esamina proprio alcuna di queste strutture e ne dà una trattazione astratta con notevoli interazioni con Analisi Reale, Geometria Algebrica e Differenziale Reale. Anzi, la o-minimalità può vedersi come una generalizzazione della Geometria semialgebrica e dello studio degli insiemi semianalitici e subanalitici sviluppato da Gabrielov, Hironaka e Lojasiewicz a partire dagli anni '60.
Così si è posto in TM il problema teorico di trovare una più generale nozione che estenda la classificazione di Shelah in modo da includere anche le strutture o-minimali e altre analoghe classi di strutture.
Ma, a parte questa esigenza astratta, la TM ha saputo fornire concetti e metodi concreti di classificazione anche in specifici ambiti algebrici, ad esempio per i moduli su un dato anello (si pensi ad esempio alla topologia di Ziegler).
L’argomento della classificazione è tema vitale anche in TI, in particolare in Teoria Descrittiva degli Insiemi TDI. La TDI studia infatti i sottoinsiemi definibili degli spazi Polacchi, quelli che ricadono nella gerarchia Boreliana o in quella proiettiva, ma a questo obiettivo originario ha affiancato sin dal primi decenni del novecento l’interesse per la classificazione di vari insiemi che emergono in modo “naturale” in molteplici campi della ricerca matematica. Il riferimento principale a questo fine è costituito dalla gerarchia di Wadge, che raffina e generalizza sia la gerarchia Boreliana che quella proiettiva. Negli ultimi anni hanno poi assunto grande importanza le ricerche sulle relazioni d'equivalenza definibili (in particolare quelle indotte da azioni di gruppi Polacchi) e sulla possibilità di misurarne la complessità tramite opportune relazioni di riducibilità. In questo campo Kechris, Hjorth, Thomas ed altri hanno ottenuto risultati di grande rilievo, determinando per questa via la complessità di problemi di Algebra (come ad esempio quello della classificazione a meno di isomorfismo dei gruppi abeliani senza torsione di rango finito), e poi di Topologia, Analisi e via dicendo.

Gli orizzonti aperti dalle applicazioni di nozioni e metodi di TI e TM ad altri settori matematici sono dunque ampi e molteplici. E’ in questo contesto che si muove il nostro programma di ricerca. Gli argomenti principali che intendiamo trattare sono i seguenti (altri aspetti del programma sono illustrati nei progetti delle singole unità):

1) O-minimalità (Metodi di TM in Geometria Algebrica e Analitica Reale)
2) Metodi di TM per Moduli e Teoria della Rappresentazione
3) Metodi non standard in Algebra, Analisi e TI
4) Metodi di Classificazione in TDI
5) Metodi di TI in Topologia.

Per riferimenti bibliografici dettagliati rimandiamo ai progetti delle singole unità locali.

1) Gli argomenti che ci interessano qui sono i seguenti.
a) Consideriamo anzitutto i gruppi definibili in una struttura o-minimale. La definibilità è un concetto cruciale in TM (e del resto anche in TI, come già abbiamo avuto modo di vedere). Ad esempio, essa estende varie nozioni chiave di Geometria Algebrica, come la costruibilità nei campi algebricamente chiusi, o la semialgebricità nei campi reali chiusi. Nello studio della o-minimalità sono largamente usate versioni "definibili" di familiari proprietà classiche dei reali (come la completezza, o la compattezza): ad esempio, la completezza "definibile" significa che ogni insieme definibile superiormente o inferiormente limitato ha sup o inf rispettivamente, e la compattezza "definibile" si introduce in modo analogo.
Un classico teorema di Pillay afferma che ogni gruppo definibile nel campo reale è un gruppo di Lie, e altre notevoli analogie si osservano tra gruppi definibili in strutture o-minimali e gruppi di Lie. Ma certi strumenti usuali nella teoria classica dei gruppi di Lie non sono più disponibili nel contesto o-minimale, perché i gruppi definibili in una struttura o-minimale talora non sono localmente compatti. Lavori di Berarducci e Otero cercano di ovviare a questa difficoltà sviluppando nell’ambito o-minimale idee e tecniche di teoria dell’intersezione, omologia e omotopia. Considerevoli progressi sono stati poi ottenuti ultimamente da Berarducci, Otero, Peterzil e Pillay che, rispondendo ad alcune congetture di Pillay, hanno provato che ogni gruppo G definibilmente compatto in una struttura o-minimale saturata è in modo canonicamente funtoriale l’estensione di un gruppo di Lie reale compatto tramite un sottogruppo divisibile G00. Ulteriori ricerche di Hrushovski, Peterzil e Pillay mostrano che G00 è senza torsione, il che permette di dedurre che la dimensione del gruppo di Lie G/G00 coincide con la dimensione o-minimale di G. Berarducci ha provato che il funtore che ad ogni G associa il gruppo di Lie G/G00 è esatto; Hrushovski, Peterzil e Pillay hanno anche dotato G di una misura di probabilità analoga a quella di Haar.
b) Studi di Edmundo, Jones e Peatfield considerano la coomologia di fascio degli insiemi definibili in una espansione o-minimale di un gruppo ordinato. Berarducci e Fornasiero ne hanno provato l’invarianza per estensioni elementari ed espansioni limitatamente agli insiemi definibilmente compatti e ai fasci costanti.
c) Berarducci e Servi hanno studiato le espansioni del campo reale con la funzione esponenziale o con altre funzioni lisce. Il riferimento ultimo è la congettura di Tarski sulla decidibilità della teoria T di questa struttura. Tra l’altro, furono proprio questa congettura e le ricerche ch’essa originò ad ispirare la nozione di o-minimalità. Nel 1996 Macintyre e Wilkie diedero una risposta positiva alla questione assumendo però la congettura di Schanuel sui numeri trascendenti; in questo senso il problema resta ancora aperto. Sulla base di una versione effettiva del Teorema del Complemento di Wilkie Berarducci e Servi hanno individuato una opportuna sottoteoria ricorsivamente assiomatizzabile di T i cui modelli sono tutti o-minimali. La proprietà di definibile completezza ha ruolo importante in questo approccio.

2) E’ stato congetturato che la dicotomia che distingue, per un dato anello R, se la teoria del primo ordine degli R-moduli è o no decidibile corrisponde alla dicotomia che in Algebra separa quegli anelli per cui la classe dei moduli finitamente generati è docile oppure selvaggia. Questa congettura ha ovviamente senso anzitutto quando R è contabile, e poi quando i concetti di docilità e selvaticità possono essere introdotti in modo convincente, ad esempio quando R è un’algebra di dimensione finita su un campo. Ma il discorso si è rivelato un po’ più sottile: nel 2004 Puninski provò infatti che su certe algebre docili le usuali dimensioni che la TM suggerisce per misurare la complessità della classe dei moduli -la dimensione di Krull e Gabriel, o la larghezza- restano indefinite. Dunque anche su anelli “docili” la classe di tutti i moduli può raggiungere elevata complessità.
a) Klinger e Levy hanno introdotto due opposte nozioni di docilità e selvaticità su anelli commutativi Noetheriani. Tra gli anelli docili, più precisamente tra gli anelli che Klingler e Levy chiamano "Dedekind-like”, si collocano alcune delle algebre cui si applica il risultato negativo di Puninski. Il problema che si pone in modo naturale è, allora, quali anelli docili secondo Klingler e Levy consentono un’analisi soddisfacente in termini di larghezza e dimensione di Krull-Gabriel. Ci si può poi chiedere che cosa accade a questo proposito tra gli anelli selvaggi. Un’altra, più ambiziosa questione è per quali anelli commutativi Noetheriani R contabili la teoria del primo ordine degli R-moduli è decidibile o indecidibile.
b) Il problema della decidibilità riguarda un secondo punto chiave sui moduli, per la precisione le rappresentazioni di un’algebra di Lie sl(2, k) (con k un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0) viste come moduli sull’algebra universale di inviluppo U(k). La teoria di tutti i moduli su U(k) è indecidibile per un teorema di Prest e Puninski, ma è possibile esaminare la TM di alcune sottoclassi di particolare interesse, ad esempio dei così detti moduli di Verma, della cui topologia di Ziegler si sono occupati L’Innocente e Prest. Herzog ha invece considerato la teoria del primo ordine delle rappresentazioni di dimensione finita su k esaminandone i modelli di dimensione infinita (conseguentemente chiamati di dimensione pseudofinita) e costruito un’estensione “esotica” e regolare secondo Von Neumann U’(k) di U(k): le rappresentazioni di dimensione pseudofinita si possono considerare in modo naturale come moduli su U’(k), che anzi ne consente un’elegante assiomatizzazione. Ma il problema di decisione per la loro teoria è ancora da risolvere.

3) Il nostro interesse per gli approcci non standard si riferisce ad Analisi, Algebra e TI.
a) Esaminiamo prima le applicazioni all’Analisi. Recentemente Benci, Forti e Di Nasso hanno sviluppato vari approcci non standard all’analisi, elementari e naturali, capaci dunque di evitare un coinvolgimento troppo pesante della Logica, di appoggiarsi semmai a premesse algebriche e topologiche e comunque di esprimersi in un linguaggio matematico ordinario. Ad esempio la teoria Alfa di Benci e Di Nasso postula 5 proprietà elementari di un numero ideale (infinito) "alfa", sufficienti per definire un'estensione non standard di tutti gli oggetti matematici. In questo ambito è da segnalare anche lo studio della retta reale non standard *R. Le sue proprietà strutturali sono state considerate sin dagli albori dell'analisi non standard; noi siamo interessati nei suoi ordinamenti e nelle sue topologie “naturali”.
b) Passiamo alla TI. Un nuovo modo di contare l'infinito, che soddisfa i 5 assiomi euclidei sulle grandezze ed in particolare il principio che “il tutto è più grande della parte", è proposto da Benci e Di Nasso: si assegna a ogni insieme (opportuno) una “numerosità”, e si prova che le numerosità formano un semianello positivo con somma e prodotto che corrispondono a unione disgiunta e prodotto cartesiano, e sono anzi numeri non standard che si ottengono da speciali ultrafiltri la cui esistenza è indipendente da ZFC. Altre notevoli classi di ultrafiltri – ad esempio quelli denominati di Hausdorff – emergono da teorie non standard di insiemi e classi e dalla costruzione di modelli non standard. Ultrafiltri sui naturali hanno avuto recenti applicazioni anche in Teoria combinatoria dei Numeri. <br />
4) a) L’approccio della TDI alla misura della complessità di vari problemi di classificazione ha avuto contributi significativi dai componenti delle unità di Torino ed Udine. Essi riguardano equazioni differenziali e spazi funzionali (Andretta e Marcone), teoria dei gruppi (Camerlo, in collaborazione con Kechris), algebre di Boole (ancora Camerlo, con Gao), più recentemente teoria dei continui e preordini analitici (Camerlo, Marcone e altri). Ci sono poi alcune risultati di Louveau e Rosendal attirano l’attenzione su relazioni d'equivalenza indotte non da azioni di gruppi Polacchi, ma da relazioni di quasi ordine che è naturale considerare in ambito topologico, geometrico e combinatoriale.
b) Recenti collegamenti tra TDI ed altre aree di TI che sembravano un tempo indipendenti (quali combinatorica ed assiomi di forcing) sono sorgente di nuove generali applicazioni ad altri rami della Matematica. La gerarchia di Wadge è ancora riferimento essenziale in questo ambito. Così Andretta ha provato che certe conseguenze dell’Assioma di Determinatezza bastano ad assicurare un teorema di struttura per la gerarchia di Wadge e, in collaborazione con Martin, ha esteso l’analisi al caso delle riduzioni di Borel. Gli assiomi di forcing sono di crescente importante nella pura TI (cioè nello studio degli ideali) e nelle applicazioni della TI alla Topologia.

5) Molti risultati fondamentali di Topologia si basano, o si collegano, o addirittura equivalgono a delicati principi di TI. Così non è sorprendente scoprire interazioni tra TI e Topologia già nei precedenti punti 3 e 4. Ulteriori contributi vengono da Costantini e Lipparini, che usano strumenti di TI (segnatamente di Combinatorica Infinita) in problemi relativi a spazi di funzioni, in questioni di regolarità e decomponibilità di ultrafiltri, proprietà di compattezza. <<<