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PROGRAMMA DI RICERCA 2004
italiano - english
Unità di Ricerca
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- 8 - Equazioni di Kolmogorov
- 9 - Metodi Variazionali ed Equazioni Differenziali Nonlineari
- 10 - Metodi variazionali e topologici nello studio di fenomeni non lineari
Classificazione scientifico-disciplinare
- Area scientifico disciplinare: Scienze matematiche e informatiche
Classificazione brevettuale
- PHYSICS
- COMPUTING; CALCULATING; COUNTING (score computers for games A63; combinations of writing applicances with computing devices B43K29/08)
- COMPUTER SYSTEMS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS [N0004]
- MEASURING (counting G06M); TESTING
- GEOPHYSICS; GRAVITATIONAL MEASUREMENTS; DETECTING MASSES OR OBJECTS (detecting or locating foreign bodies for diagnostic, surgical or person-identification purposes A61B; means for indicating the location of accidentally buried, e.g. snow-buried persons A63B29/02; investigating or analysing earth materials by determining their chemical or physical properties G01N; measuring electric or magnetic variables in general, other than direction or magnitude of the earth\'s field G01R; electronic or nuclear magnetic resonance arrangements G01R33/20; radar, sonar or analogous methods in general, detecting masses or objects involving these methods G01S)
- COMPUTING; CALCULATING; COUNTING (score computers for games A63; combinations of writing applicances with computing devices B43K29/08)
Classificazione geografica
- Regione: Toscana
Bibliografia
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Parole Chiave
ANALISI MICROLOCALE; STIME DI CARLEMAN; UNICITA' E NON UNICITA'; OSSERVABILITA' PER EDP IPERBOLICHE; PROBLEMA DI CAUCHY PER OPERATORI IPERBOLICI; IPOELLITTICITA' ANALITICA E GEVREY; LOCALE RISOLUBILITA'; STIME DAL BASSO PSEUDODIFFERENZIALI; SECONDE IPERFUNZIONIANALISI NELLO SPAZIO DELLE FASI PER EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI
Università di PisaAbstract
La teoria delle equazioni alle derivate parziali (EDP) ha visto negli ultimi decenni un grande sviluppo. Notevole parte di questo sviluppo è dovuto all'analisi microlocale, cioè allo studio delle proprietà analitiche e geometriche nello spazio delle fasi della trasformata di Fourier (e sue generalizzazioni quali la FBI o gli operatori integrali di Fourier) di soluzioni di EDP.Il Programma di Ricerca ha come principale obiettivo lo studio di alcuni temi tipici dell'analisi microlocale e di sue applicazioni a varie problematiche riguardanti le EDP.
I ricercatori facenti parte di questo Programma, pur non occupandosi ovviamente tutti dello stesso problema e pur nella varietà degli argomenti studiati, condividono tematiche generali e metodi riconducibili all'ambito dell'analisi microlocale e hanno avuto e hanno tra loro stretti rapporti scientifici, come testimoniato da numerose pubblicazioni in collaborazione.
I principali temi oggetto del Programma possono essere così raggruppati:
A) stime di Carleman: problemi di unicità e problemi di controllo;
B) problema di Cauchy per equazioni e sistemi iperbolici;
C) problemi di ipoellitticità e di locale risolubilità;
D) problemi di analisi microlocale e calcolo pseudodifferenziale.
Per ognuno di questi temi, partendo da un lato dai classici e fondamentali risultati esistenti e dai più recenti progressi ottenuti in campo internazionale, e dall'altro dalle ricerche svolte >>>
Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Ferruccio COLOMBINI Università di PISAObiettivo del Programma di Ricerca
L'ultimo mezzo secolo ha visto un impressionante sviluppo della teoria delle equazioni alle derivate parziali (EDP). Questo rapido sviluppo è stato reso possibile dalla stretta relazione tra tale teoria e vari campi della matematica, in particolare la geometria differenziale, la topologia differenziale, l'analisi complessa, l'analisi armonica, la teoria dei gruppi di Lie da un lato, e con problemi di fisica matematica e fisica teorica come la teoria della diffrazione e rifrazione delle onde elettromagnetiche, la teoria dello scattering, la meccanica hamiltoniana e lagrangiana dall'altro.La geometria simplettica unitamente al metodo WKB (o metodo dell'ottica geometrica) ha avuto una considerevole influenza sui recenti sviluppi nella teoria delle EDP lineari. La teoria lineare a sua volta ha fornito metodi innovativi nello studio delle EDP non lineari, come ad esempio nello studio del flusso di fluidi compressibili e incompressibili, delle equazioni di Eulero, delle leggi di conservazione.
Uno dei più potenti strumenti della teoria delle EDP lineari è la trasformata di Fourier che è strettamente legata alle struttura degli spazi euclidei.
L'analisi nello spazio delle fasi o analisi microlocale fornisce un'opportuna estensione dell'analisi di Fourier a varietà più generali. Tale estensione ha portato a:
- il calcolo pseudodifferenziale (in particolare nella sua formulazione di Weyl) e i suoi raffinamenti basati sulla decomposizione di >>>
Risultati parziali attesi
I risultati attesi sono quelli già dettagliatamente descritti più sopra all'interno dello stesso punto 2.4 (Descrizione del Programma di Ricerca).Durata
24 mesiBase di partenza scientifica nazionale o internazionale
Come esposto al punto 2.1, l'analisi nello spazio delle fasi ha permesso negli ultimi decenni una profonda comprensione di alcuni fondamentali aspetti della teoria delle EDP. Le tematiche di ricerca del presente Programma, sviluppate all'interno delle tre unità, e i metodi utilizzati possono essere ricondotti nel quadro sopra descritto. Tra tali tematiche si possono evidenziare i seguenti principali argomenti.A) STIME DI CARLEMAN: PROBLEMI DI UNICITA' E PROBLEMI DI CONTROLLO.
Le stime di Carleman, stime integrali con peso per soluzioni di EDP, sono state fin dal loro primo utilizzo il pricipale strumento per lo studio dell'unicità della soluzione del problema di Cauchy. Fondamentali risultati su questo agomento sono i teoremi di Calderón e di Hörmander [36, Cap. 28]. In particolare il secondo risultato citato mette in evidenza la relazione tra l'unicità nel problema di Cauchy e proprietà geometriche degli operatori e della superficie dei dati iniziali, definendo le nozioni di principale normalità e forte pseudoconvessità. Recentemente in [20] è stata introdotta la più debole condizione di singolare principale normalità, ottenendo risultati di unicità per operatori soddisfacenti questa nuova condizione e aventi caratteristiche semplici. A questo fine è stata provata una nuova diseguaglianza di tipo Fefferman-Phong per operatori pseudodifferenziali a metrica localmente temperata in [21].
Da altro punto di vista i risultati di Calderón ed Hörmander >>>



