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INIZIO_TESTO_DA_INDICIZZARE

PROGRAMMA DI RICERCA 2004

italiano - english
Unità di Ricerca
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Classificazione scientifico-disciplinare
Classificazione brevettuale
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Classificazione geografica
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Parole Chiave
EQUAZIONI DI KOLMOGOROV; EQUAZIONI STOCASTICHE RETROGRADE; MISURE INVARIANTI; EDP CON INFINITE VARIABILI; EDP CON COEFFICIENTI ILLIMITATI

Equazioni di Kolmogorov

Scuola Normale Superiore di Pisa
Abstract
Il programma di ricerca riguarda equazioni di Kolmogorov, ossia una classe di equazioni ellittiche o paraboliche del secondo ordine, sia lineari che non lineari, in spazi di Hilbert di dimensione finita o infinita. Rispetto alla teoria classica delle equazioni ellittiche o paraboliche sono caratterizzate dal fatto che i coefficienti degli operatori differenziali coinvolti possono essere illimitati e molto irregolari.

Le equazioni di Kolmogorov sono strutturalmente collegate a equazioni differenziali stocastiche (che possono essere considerate come le caratteristiche delle equazioni e che sono ordinarie se la dimensione è finita, alle derivate parziali se è infinita) nel caso lineare, e a equazioni stocastiche retrograde nel caso non lineare.

Intendiamo studiare equazioni di Kolmogorov sia con metodi analitici, ambientandole in spazi di funzioni continue o di funzioni di quadrato integrabile rispetto a un'opportuna misura invariante, o sfruttando i risultati sulle corrispondenti equazioni stocastiche già noti o da dimostrare.

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Giuseppe DA PRATO Scuola Normale Superiore di PISA
Obiettivo del Programma di Ricerca
L'obiettivo del programma di ricerca è di favorire la collaborazione già avviata tra vari ricercatori impegnati in ricerche riguardanti le equazioni di Kolmogorov, al fine di ottenere nuovi risultati su equazioni lineari e non lineari, in dimensione finita e infinita, interessanti da un punto di vista sia puramente matematico che applicativo. Vedi punto 2.4 (descrizione del programma di ricerca).

Risultati parziali attesi
Ci riferiamo alla precedente descrizione del programma.



1) Generalizzeremo i risultati già ottenuti per aperti convessi con condizione al bordo di Neumann al caso di aperti non convessi, e di condizioni al bordo di Dirichlet o di Robin.

2) Vogliamo arrivare a una classificazione completa di tutte le possibili situazioni, a seconda della struttura dell'insieme {U immagine +immagine}. Il caso dei sistemi gradiente è di particolare interesse, perché c'è la misura invariante immagine(dx)=c e-2U(x) dx che rende l'operatore K0 simmetrico in L2(H,immagine). Vogliamo dimostrare che K0 ha un'unica estensione autoaggiunta K, caratterizzarne il dominio, e dimostrare disuguaglianze di Poincaré e log-Sobolev per la misura immagine.

3) Vogliamo dimostrare che, sotto ipotesi opportune, il dominio di K in Lp(H,immagine) è contenuto in W2,p(H,immagine) anche per p immagine 2.

4) Dimostreremo la m-dissipatività di K0, ed alcune proprietà del dominio di K, provando che è immerso in opportuni spazi funzionali.

5) Se la misura invariante è data da immagine(dx) =
immagine
(x)dx, daremo condizioni sufficienti affinché
immagine
 appartenga ad opportuni spazi >>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
Per equazioni di Kolmogorov intendiamo una classe di equazioni ellittiche e paraboliche del secondo ordine sia lineari che nonlineari, in Rn o in uno spazio di Hilbert H di dimensione infinita.
Rispetto alla teoria classica delle equazioni ellittiche e paraboliche, le equazioni di Kolmogorov sono caratterizzate dal fatto che i coefficenti degli operatori differenziali considerati possono essere illimitati e molto irregolari. Nel loro studio viene inoltre dedicata molta attenzione ai collegamenti con equazioni differenziali stocastiche nel caso lineare e con equazioni stocastiche retrograde nel caso non lineare.

Tra le numerose motivazioni per lo studio delle equazioni di Kolmogorov ricordiamo le seguenti:

(i) un interesse matematico naturale di estendere i risultati classici senza supporre le usuali ipotesi di regolarità e limitatezza dei coefficienti;

(ii) utilizzare risultati ottenuti per le equazioni di Kolmogorov per lo studio di equazioni stocastiche alle derivate parziali e di problemi di controllo associati;

(iii) applicare i risultati ottenuti a modelli matematici che intervengono in varie discipline, quali: economia e finanza, fluidodinamica (in particolare turbolenza), dinamica di popolazioni, meccanica statistica e teoria dei campi (quantizzazione stocastica).

Descriviamo lo stato dell'arte dei problemi principali considerati in questo progetto di >>>