RICERCA ITALIANA     

Problemi matematici delle teorie cinetiche

Politecnico di Milano

Abstract

Questa ricerca consiste nell'uso di metodi matematici per migliorare la comprensione degli aspetti qualitativi e quantitativi delle equazioni cinetiche ed equazioni ad esse collegate, al fine di facilitare ulteriormente la loro applicazione nella simulazione di fenomeni di trasporto nelle scienze fisiche, chimiche e ingegneristiche, secondo quanto illustrato nella descrizione della base di partenza scientifica.
Rispetto al programma svolto nell'ambito del cofinanziamento precedente, vi sono numerose nuove prospettive aperte dai risultati ottenuti e nuovi indirizzi suggeriti dalle applicazioni e dal panorama internazionale .
Si effettuera' quindi uno studio di vari modelli cinetici dei problemi ad essi connessi in maniera diretta o indiretta, come:
a) derivazione rigorosa di equazioni cinetiche a partire da sistemi di particelle.
b) problemi matematici relativi all'equazione di Boltzmann della gasdinamica e i suoi modelli-limite di descrizione del gas come continuo;
c) problemi relativi alla costruzione di modelli per situazioni meno studiate (gas poliatomici, modelli per l'interazione all'interfaccia con altri materiali, miscele, urti anelastici);
d) descrizione cinetica e idrodinamica dei fluidi granulari;
e) metodi asintotici;
f) simulazione delle soluzioni con metodi deterministici e di tipo Monte Carlo;
g) problemi in meccanica statistica
h) comportamento qualitativo di sistemi hamiltoniani;
i >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Carlo CERCIGNANI Politecnico di MILANO

Obiettivo del Programma di Ricerca

L'obiettivo principale di questa ricerca consiste nell'uso di metodi matematici per migliorare la comprensione degli aspetti qualitativi e quantitativi delle equazioni cinetiche ed equazioni ad esse collegate, al fine di facilitare ulteriormente la loro applicazione nella simulazione di fenomeni di trasporto nelle scienze fisiche, chimiche e ingegneristiche, secondo quanto illustrato nella descrizione della base di partenza scientifica. Si effettuera' quindi uno studio di vari modelli cinetici dei problemi ad essi connessi in maniera diretta o indiretta, come:
a) derivazione rigorosa di equazioni cinetiche a partire da sistemi di particelle.
b) problemi matematici relativi all'equazione di Boltzmann della gasdinamica e i suoi modelli-limite di descrizione del gas come continuo;
c) problemi relativi alla costruzione di modelli per situazioni meno studiate (gas poliatomici, modelli per l'interazione all'interfaccia con altri materiali, miscele, urti anelastici);
d) descrizione cinetica e idrodinamica dei fluidi granulari;
e) metodi asintotici;
f) simulazione delle soluzioni con metodi deterministici e di tipo Monte Carlo;
g) problemi in meccanica statistica
h) comportamento qualitativo di sistemi hamiltoniani;
i) problemi di trasporto radiativi
j) modelli cinetici semiclassici nella fisica dello stato solido e i loro limiti fluidodinamici (equazione di Boltzmann per i semiconduttori, i modelli di tipo >>>

Risultati parziali attesi

Ci aspettiamo di ottenere un gran numero di risultati riguardanti tutti gli argomenti descritti nella sezione precedente. In particolare ne citiamo alcuni:
- Teorema di esistenza e regolarita' delle soluzioni dell'equazione di Boltzmann non lineare tra due piani paralleli.
- Risultati sul comportamento asintotico nel tempo dell'equazione di Boltzmann omogenea per materiali granulari.
- Risultati tridimensionali col metodo Monte Carlo sulle instabilita' fluidodinamiche e lo sviluppo di vortici.
- Calcoli numerici e variazionali per un gas tra piani paralleli e quasi paralleli con applicazioni alle micromacchine e nanomacchine.
- Dalle soluzioni numeriche della equazione di Enskog- Vlasov per un fluido bifase ci attendiamo di ottenere la struttura completa del campo di moto durante l'evaporazione/condensazione subsonica stazionaria.
- Dai risultati del punto precedente e dallo studio delle soluzioni idrodinamiche ci attendiamo di comprendere se e quanto le approssimazioni idrodinamiche possano essere utilizzate per descrivere l'interfaccia liquido- vapore.
- otterremo soluzioni multigruppo per equazioni cinetiche rilevanti per una reazione chimica bimolecolare;
-produrremo equazioni idrodinamiche del tipo Navier- Stokes per reazioni chimiche lente e veloci;
-otterremo risultati su le equazioni di Grad e loro limite asintotico per flussi granulari con piccola anelasticita';
- approcci tipo BGK per una >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Le equazioni cinetiche, introdotte nel secolo scorso da Boltzmann e Maxwell quando l'esistenza degli atomi non era ancora stata dimostrata, vengono usate sempre piu' spesso per scopi pratici. Quando un ingegnere aerospaziale studia il rientro d'una navetta, deve tener conto del fatto che la descrizione dell'aria come mezzo continuo, adottata di solito nel progetto degli aeroplani, non e' piu' valida nella parte piu' alta dell'atmosfera e deve far uso dell'equazione di Boltzmann. Se vogliamo studiare il moto delle particelle minutissime che inquinano la nostra atmosfera, dobbiamo ancora, date le dimensioni delle particelle stesse, abbandonare il modello dell'aria come un mezzo continuo e usare l'equazione di Boltzmann.
Flussi di gas rarefatti avvengono anche in molti sistemi micro- elettro- meccanici (MEMS), come attuatori, microturbine, gas cromatografi e microveicoli in aria. Una previsione corretta di questi flussi e' importante per progettare e realizzare i MEMS. Una progettazione sulla scala dei nanometri avviene anche per i componenti dei computers e non si limita piu' alla tecnologia dei chips, ma si estende anche ai dispositivi meccanici. In un moderno drive per dischetti, le testine per leggere e scrivere galleggiano sull'aria a distanze dell'ordine di 50 nm sulla superficie del piatto rotante. La previsione della forza verticale sulla testina (come ottenuta dalla distribuzione di pressione nel gas) e' un calcolo di progettazione cruciale, poiche' la testina >>>