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PROGRAMMA DI RICERCA 2004

italiano - english
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Programmi di ricerca simili:
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Bibliografia
Further references can be found in point 2.4 of the present document.

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Continues at the end of point 2.4.
Parole Chiave
ONDE NON LINEARI DISPERSIVE; PROBLEMA DI RIEMANN-HILBERT; PDE INTEGRABILI; GEOMETRIA BIHAMILTONIANA; DEFORMAZIONI ISOMONODROMICHE; SEPARABILITA'; INVARIANTI DI GROMOV WITTEN; GRAVITA' QUANTISTICA SIMPLICIALE; CURVE SPETTRALI

Metodi geometrici nella teoria delle onde non lineari e applicazioni.

Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di Trieste
Abstract
Le radici della teoria delle onde dispersive non lineari risalgono alla idrodinamica del secolo XIX. Fu osservato, sia sperimentalmente che a livello teorico, che in certe circostanze gli effetti dissipativi nelle onde non lineari erano sovrastati da quelli dispersivi. In questo modo il bilancio tra non linearita` e dispersione da' luogo alla formazione di "pattern" stabili (solitoni, onde cnoidali, etc. etc.). Questi fenomeni vennero studiati su scala molto maggiore nell'ambito della fisica del plasma, sia analiticamente che numericamente, a partire dalla seconda meta` del secolo XX.

Il piu` importante output matematico di questo sviluppo fu la scoperta del fenomeno dell'integrabilita` nella teoria delle equazioni Hamiltoniane alle derivate parziali (PDE) di tipo evolutivo. Questo fu il punto di partenza della teoria moderna dei sistemi integrabili, che fa uso di un gran numero di differenti strumenti geometrici ed analitici. Tra questi, citiamo i problemi al bordo di Riemann Hilbert, la geometria algebrica delle superfici di Riemann e le funzioni theta, la teoria delle algebre di Lie infinito dimensionali, vari strumenti di geometria differenziale necessari allo studio delle strutture Hamiltoniane e bihamiltoniane di sistemi dinamici con un numero finito ed infinito di gradi di liberta`, la geometria delle varieta` di Frobenius, ed altri ancora.

I metodi geometrici della teoria della onde non lineari sono stati inizialmente sviluppati >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Boris Anatolevitch DUBROVIN Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di TRIESTE
Obiettivo del Programma di Ricerca
Lo scopo principale del nostro programma di ricerca e` lo studio della geometria delle equazioni delle onde non lineari, viste come sistemi Hamiltoniani ad un numero infinito di gradi di liberta`. Questi sistemi sono descritti da una classe speciale di equazioni alle derivate parziali - equazioni `integrabili' - di tipo evolutivo, il cui capostipite e' la equazione di Korteweg - de Vries, e dalle loro perturbazioni. Lo studio di tali equazioni ha avuto un profondo impatto sia in Fisica che in Matematica.
Esempi significativi di cio` si possono trovare in vari domini,
quali limiti singolari di onde debolmente dispersive, modelli analitici di `water waves', la fisica delle fibre ottiche, la teoria delle stringhe e la teoria di campo topologica.

Lo studio delle connessioni tra queste applicazioni fisiche e lo sviluppo di strumenti matematici ha aperto nuovi orizzonti anche in alcuni campi di matematica pura, come la scoperta della simmetria "mirror", la teoria degli invarianti di Gromov - Witten (GW) per varieta` simplettiche, la combinatoria dei grafi e i modelli di matrici random, la teoria delle deformazioni isomonodromiche, i gruppi quantici ed altro ancora.

All'interno di queste tematiche, intendiamo affrontari in particolare problemi specifici riguardanti:

1) Problemi di classificazione

2) Metodi di soluzione

3) Applicazioni

I punti piu` salienti del presente >>>

Risultati parziali attesi
Calcolo degli invarianti di Gromov-Witten razionali di alcune varieta'
complesse proiettive tramite funzioni generatrici di Hamilton-Jacobi
per gerarchie di PDE integrabili.

Determinazione di una procedure ricorsiva per calcolare, partendo dal
reticolo di Toda, nuove gerarchie integrabili associate alla coomologia
quantistica degli spazi proiettivi.

Formulazione in termini di matrice R dell'analogo discreto
di equazioni integrabili in dimensione 2+1 e loro estensione.
Costruzione e studio delle corrispondenti varieta' di Frobenius associate.

Studio delle trasformazioni di PDE integrabili e proprieta'
delle loro soluzioni tramite trasformazioni canoniche quantistiche
associate a certi problemi di Riemann-Hilbert.

Formulazione Hamiltoniana della teoria di
Krylov-Bogoliubov-Whitham agli ordini superiori per PDE integrabili in
dimensione 1+1; utilizzazione di questi risultati per la costruzione
della soluzione asintotica a molte fasi per equazioni integrabili non
lineari.

Calcolo dei termini di ordine 1/N nell'espansione "multicut" della funzione di partizione di un modello di matrici Hermitiano attraverso la struttura di Frobenius dello spazio di Hurwitz di curve iperellittiche.

Studio rigoroso della teoria asintotica dei polinomi ortogonali;
applicazione ai "two-matrix models".

>>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
La modellizzazione matematica di importanti fenomeni della fisica e della biologia spesso conduce ad equazioni d'onda non lineari. E' notevole che, per certi insiemi di dati iniziali, molte di queste equazioni universali mostrino comportamenti regolari, tipici dei sistemi integrabili.

Comportamenti integrabili in PDE di tipo evolutivo furono scoperti alla fine degli anni '60, nell'analisi degli esperimenti numerici (risalenti agli anni '50) di Fermi Pasta e Ulam. L'equazione KdV, ben nota nella teoria delle onde dispersive dalla fine del XIX secolo, fu il primo caso in cui la teoria matematica dell'integrabilita` per PDE fu formulata (nel famoso lavoro di Gardner, Green, Kruskal e Miura [GGKM]).
Molti sistemi integrabili, rilevanti sia in Fisica che in Matematica, vennero scoperti in seguito (si veda, ad esempio, [CD] e le referenze ivi citate).
Un approccio al problema della classificazione delle PDE integrabili,
basato sull'analisi delle loro simmetrie, fu introdotto alla fine degli anni '70 da Shabat, Mikhailov e Sokolov [MMS]. Tale schema e' potente nel caso di equazioni integrabile di ordine basso, ma notevoli difficolta` tecniche lo rendono poco praticabile nella classificazione di equazioni di ordine piu` elevato. La natura hamiltoniana dell'equazione KdV fu evidenziata nel 1971 da Gardner e Zakharov e Faddeev. Un'altra notevole proprieta` dell'equazione KdV, cioe` il fatto di essere bihamiltoniana, fu scoperta da Magri nel 1978 >>>