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INIZIO_TESTO_DA_INDICIZZARE

PROGRAMMA DI RICERCA 2004

italiano - english
Unità di Ricerca
Programmi di ricerca simili:
Classificazione scientifico-disciplinare
Classificazione brevettuale
  • PHYSICS
    • COMPUTING; CALCULATING; COUNTING (score computers for games A63; combinations of writing applicances with computing devices B43K29/08)
      • ANALOGUE COMPUTERS (analogue optical computing devices G06E3/00)
    • MEASURING (counting G06M); TESTING
      • GEOPHYSICS; GRAVITATIONAL MEASUREMENTS; DETECTING MASSES OR OBJECTS (detecting or locating foreign bodies for diagnostic, surgical or person-identification purposes A61B; means for indicating the location of accidentally buried, e.g. snow-buried persons A63B29/02; investigating or analysing earth materials by determining their chemical or physical properties G01N; measuring electric or magnetic variables in general, other than direction or magnitude of the earth\'s field G01R; electronic or nuclear magnetic resonance arrangements G01R33/20; radar, sonar or analogous methods in general, detecting masses or objects involving these methods G01S)
Classificazione geografica
Bibliografia
[A63] V.I.Arnold: Uspehi Mat. Nauk 18 (1963), 91-192.
[AB1] A.Ambrosetti, M.Badiale: Ann. Inst. H. Poincaré Analyse Non Linéaire 15 (1998), 233-252.
[AB2] A.Ambrosetti, M.Badiale: Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 128-A (1998), 1131-1161.
[AJM02] F.Alessio, L.Jeanjean, P.Montecchiari: Comm. Partial Differential Equations 27 (2002) 1537-1574.
[AKT] G.Arioli, H.Koch, S.Terracini: The Fermi-Pasta-Ulam Model: Periodic Solutions, preprint 2003.
[AMN1] A.Ambrosetti, A.Malchiodi, W.-M.Ni: Comm. Math. Phys. 235 (2003), 427-466.
[AMN2] A.Ambrosetti, A.Malchiodi, W.-M.Ni: Singularly Perturbed Elliptic Equations with Symmetry: Existence of Solutions Concentrating on Spheres, Part II, Indiana Univ. Math. J., to appear.
[AMS02] Adimurthi, G.Mancini, K.Sandeep: Calc. Var. Partial Diff. Equat. 14 (2002), 275-317.
[AMS] A.Ambrosetti, A.Malchiodi, S.Secchi: Arch. Rat. Mech. Anal., 159 (2001), 253-271.
[AfPa] A.Aftalion, F.Pacella: Morse index and uniqueness for positive solutions of radial p-Laplace equations, Trans. A.M.S., to appear.
[BB03] M.Berti, P.Bolle,: Periodic solutions of nonlinear wave equations with general nonlinearity, Comm. Math. Phys., to appear.
[BBB03] M.Berti, L.Biasco, P.Bolle: J. Math. Pures Appl., 82 (2003) 613-664.
[BBV04] M.Berti, L.Biasco, E.Valdinoci: Periodic orbits in Hamiltonian systems with elliptic invariant tori and applications to the planetary three-body problem, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, to appear.
[BCLT] D.Bartolucci, C.C.Chen, C.S.Lin, G.Tarantello: Profile of Blow-up Solutions to Mean Field Equations with Singular Data Comm. PDE, to appear.
[BCV03] L.Biasco, L.Chierchia, E.Valdinoci: Arch. Rational Mech. Anal. 170 (2003), 91-135.
[BC] H.Brezis, J.M.Coron: Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), 149-187.
[BDa] V.Benci, T.D'Aprile: J. Diff. Equat. 184 (2002), no. 1, 109--138.
[BMP] Ph.Bechouche, N.J.Mauser, F.Poupaud: Comm. Pure Appl. Math., 54 (2001), 851-890.
[BN] H.Brezis, L.Nirenberg, Comm. Pure Appl. Math. 36 (1983), 437-477.
[BR98] S.V.Bolotin, P.H.Rabinowitz: J. Differential Equations 148 (1998), 364-387.
[BR] F.Bethuel, O.Rey: Duke Math. J. 73 (1994), 593-646.
[BT2] D.Bartolucci, G. Tarantello: Comm. Math. Phys. 229 (2002), 3-47.
[BW] J.Byeon, Z-Q.Wang: Arch. Rat. Mech. Anal. 165 (2002), 295-316.
[BaPa] S.Baraket, F.Pacard: Calc. Var. Partial Differential Equations 6, 1-38, 1998.
[Bam] D.Bambusi: Ann. Sc. Norm. Sup. di Pisa, 29 (2000), 823--837.
[Be03] U.Bessi: Commun. Math. Phys., 235, 495-511, 2003.
[Bu] B.Buffoni: Existence by minimization of solitary water waves on an ocean of infinite depth, Preprint EPFL, Lausanne, 2003.
[CC97] L.Chierchia, A.Celletti: Commun. Math. Phys. 186 (1997), 413-449.
[CM] A.Chenciner, R.Montgomery: Ann. of Math. (2) 152 (2000), 881-901.
[CMu] P.Caldiroli, R.Musina: H-bubbles in a perturbative setting: the finite-dimensional reduction method, to appear on Duke Math. Journal.
[CTV1] M.Conti, S.Terracini, G.Verzini: J. Funct. An. 198 (2003), 160-196.
[CTV2] M.Conti, S.Terracini, G.Verzini: Infinitely many solutions to fourth order superlinear periodic problems, Trans. AMS to appear.
[CTV3] M.Conti, S.Terracini, G.Verzini: A variational problem for the spatial segregation of reaction-diffusion systems, preprint 2003.
[CZM04] V.Coti Zelati, M.Macrì: Existence of homoclinic solutions to periodic orbits in a center manifold, J. Differential Equations, to appear.
[ChM] S.Chanillo, A.Malchiodi: Asymptotic Morse theory for the equation $Delta u = 2 u_x wedge u_y$, Comm. Anal. Geom., to appear..
[ChYa] A.R.Champneys, J.Yang: Nonlinearity 15 (2002), 2165-2192.
[Cr] W.Craig: Phil. Trans. R. Soc. Lond. A-360 (2002), 2127-2135.
[DGM] D.G.de Figueiredo, M.Girardi, M.Matzeu: Semilinear elliptic equations with dependence on the gradient via Mountain Pass techniques, Diff. and Integral Equations, to appear.
[DGP] L.Damascelli, M.Grossi, F.Pacella, Ann. Inst. H. Poincarè Anal. Non Lineaire 16 (1999), 631-652.
[DaSc] L.Damascelli, B.Sciunzi: Regularity, monotonicity and symmetry of positive solutions of m-Laplace equations, submitted.
[Da] L.Damascelli: Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 11, 175-181, 2001.
[EM03] P.Esposito, G.Mancini: J. Funct. Analysis 205 (2003), 306-356.
[F02] J.Fejoz: J. Differential Equations 183 (2002), 303-341.
[FH] K.O.Friedrichs, D.H.Hyers: Comm. Pure Appl. Math., 7 (1954), 517-550.
[FT] D.L.Ferrario, S.Terracini: Invent. Math. 155 (2004), 305-362.
[GMPS] Garcia-Huidobro, Manasevich, Pucci, Serrin: Qualitative properties of ground states of singular elliptic eqs with weights, Ann. Mat. Pura Appl., to appear.
[GNN79] B.Gidas, W.Ni, L.Nirenberg: Comm. Math. Phys. 68 (1979), 209-243.
[GlGr] F.Gladiali, M.Grossi: Some results for the Gelfand problem, Comm. P.D.E., to appear.
[IPT] G.Ioos, P.Plotnikov, J.Toland: C.R.A.S. 336 (2003).
[JT] A.Jaffe, C.Taubes: Vortices and monopoles, Birkhauser, Boston (1980).
[LP5] D.Lupo, K.R.Payne, Comm. Pure Appl. Math. 56 (2003), 403-424.
[LR95] J.Laskar, P.Robutel: Celestial Mech. Dynam. Astronom. 62 (1995), 193-217.
[LT] Levine, Todorova, Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), 693-805.
[Li95] Y.Li, J. Differential Equations 120 (1995), 319-410.
[Li96] Y.Li, Comm. Pure Appl. Math. 49 (1996), 437-477.
[Lio84] P.L.Lions: Ann. Inst. H. Poincaré. Anal. Non Linéaire 1 (1984), 109-145.
[MM1] A.Malchiodi, M.Montenegro: Comm. Pure Appl. Math. 15 (2002), 1507-1568.
[MM2] A.Malchiodi, M.Montenegro: Multidimensional Boundary-layers for a singularly perturbed Neumann problem, Duke Univ. Math. J., to appear.
[Me] A.D.Melas: J. Diff. Geom. 35, 255-263, 1992.
[Mos73] J.Moser: Princeton University Press, Princeton, N. J., 1973.
[MuSt] M.K.V.Murthy, G.Stampacchia: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 80, 1-122, 1968.
[NT] M.Nolasco, G.Tarantello: Comm. Math. Phys. 213 (2000), 599-639.
[N] M.Nolasco: Comm. Pure Appl. Math. 56 (2003), 1752-1780.
[Ni88] W.Ni: Notices Amer. Math. Soc. 45 (1988), 9-18.
[PS6] P.Pucci, J.Serrin: J. Math. Pures Appl. 79 (2000), 57-71.
[PS8] P.Pucci, J.Serrin: J. Diff. Eqs. 196 (2004), 1-66.
[PSZ] P.Pucci, J.Serrin, Zou: J. Math. Pures Appl. 78 (1999), 769-789.
[RT] T.Ricciardi, G.Tarantello: Comm. Pure Appl. Math. (2000) 53, 811-851.
[R] P.H.Rabinowitz: Comm. Pure Appl. Math. 20 (1967), 145-205.
[STV] J.Serrin, Todorova, E.Vitillaro: Diff. Int. Eqs. 16 (2003), 13-50.
[S] E.Serra: Non radial positive solutions for the Hénon equation with critical growth, preprint.
[Ser71] J.Serrin: Arch. Rational Mech. Anal. 43 (1971), 304-318.
[Str96] M.Struwe: Variational methods, ii ed., Springer, 1996.
[T1] G.Tarantello: J. Math. Phys., 37 (8) (1996), 3769-3796.
[Ta] C.Taubes: Comm. Math. Phys., 72 (1980), 277-292.
[Tr] G.Trudinger: Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 27, 265-308, 1973.
[V] Valdinoci E., Journal fur die reine und angewandte Mathematik., to appear.
[Y] Y.Yang: Solitons in Field Theory and Nonlinear Analysis, Springer Monographs in Mathematics, (2001).
[Ya] J.Yang: Phys. D 108, 92-112, 1997.
Parole Chiave
EQUAZIONI DIFFERENZIALI NONLINEARI; EQUAZIONI ELLITTICHE; METODI VARIAZIONALI; PUNTI CRITICI; SISTEMI HAMILTONIANI

Metodi variazionali ed equazioni differenziali nonlineari

Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di Trieste
Abstract
I principali temi di ricerca che intendiamo affrontare sono:

1. Equazioni ellittiche nonlineari: teoremi di esistenza, unicità, molteplicità, e proprietà qualitative delle soluzioni, soluzioni concentrate per problemi di perturbazione singolare, onde stazionarie e stati semiclassici per equazioni di Schroedinger nonlineari;

2. Sistemi Hamiltoniani: soluzioni periodiche, omocline, eterocline, dinamiche complesse e diffusione di Arnold; problemi di Meccanica Celeste; sistemi Hamiltoniani infinito dimensionali.

Tali problemi saranno affrontati utilizzando i metodi variazionali ed in particolare la teoria dei punti critici. Questo approccio metodologico unitario permette di avere una prospettiva piú generale che spesso riesce di notevole utilità.

Al progetto afferiscono 6 Unità.
I ricercatori coinvolti hanno una lunga e collaudata esperienza di collaborazione, che si è avvalsa delle competenze complementari delle unità. Numerosi Workshop e visite brevi e (specie dei ricercatori più giovani) lunghe hanno cementato questa attività comune, il cui successo è anche testimoniato dai numerosi lavori, fatti in collaborazione da membri di diverse Unità, che sono stati prodotti negli anni passati.

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Antonio AMBROSETTI Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di TRIESTE
Obiettivo del Programma di Ricerca
La ricerca che intendiamo sviluppare si inseriesce nel campo dell'Analisi Nonlineare ed è il proseguimento dell'attività svolta nel 2000-2002 e 2002-2004.

Precisamente, il principale obiettivo del programma di ricerca è lo studio dei metodi variazionali e delle loro applicazioni ad alcune classi di equazioni differenziali non lineari, le quali, come spesso accade in Analisi Nonlineare, forniscono le motivazioni alle ricerche "astratte'". I principali temi che intendiamo affrontare sono:

1. Equazioni ellittiche nonlineari: teoremi di esistenza, unicità, molteplicità, e proprietà qualitative delle soluzioni, soluzioni concentrate per problemi di perturbazione singolare, equazioni di Schroedinger nonlineari, con speciale riferimento agli stati semiclassici;

2. Sistemi Hamiltoniani: Problema degli N-corpi; diffusione di Arnold e teoria di Aubry-Mather; soluzioni omocline, eterocline e dinamiche caotiche.
Sistemi Hamiltoniani con infiniti gradi di libertà: soluzioni periodiche e quasi-periodiche dell'equazione delle onde nonlineare; onde stazionarie nel problema delle onde d'acqua.

Sulle molte delle tematiche suddette gli afferenti al gruppo hanno collaborato nei progetti di ricerca presentati e cofinanziati nel 2000 e 2002. Questa collaborazione si è giovata di una forte complementarietà di competenze scientifiche fra le unità locali e di >>>

Risultati parziali attesi
Ricordiamo che il nostro progetto prevede una sola fase.
Comunque, indichiamo qui di seguito alcuni dei risultati che sembrano raggiungibili già al termine del primo anno.

1.1. esistenza di "ground states", e loro concentrazione, per NLS con potenziali che tendono a zero all'infinito;
esistenza di stati semiclassici per NLS con nonlinearità di tipo non locale e per sistemi di NLS.

1.2. soluzioni di problemi di Neumann per problemi di perturbazione singolare per aperti di R^3 che si concentrano su curve contenute nel bordo;

1.3. ulteriori risultati di esistenza di soluzioni per problemi di Dirichlet con termine nonlineare dipendente dal gradiente;
proprietà geometriche delle soluzioni che cambiano segno per equazioni ellittiche superlineari, e delle autofunzioni dei problemi linearizzati corrispondenti.
esistenza di soluzioni radiali per equazioni ellittiche quasilineari con pesi singolari;
soluzioni con dead cores e bursts per equazioni quasi lineari su aperti di R^n e su varietà riemanniane.

1.4. esistenza di vortici nella teoria MCS, e nella teoria elettrodebole. Studio delle equazioni di Liouville collegate.

1.5. unicità degli stati segregati per un'equazione di reazione-diffusione nel caso di 3 popolazioni sul piano ed esistenza per sistemi di reazione-diffusione non cooperativi.

1.6. (i) risultati tipo >>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
La base di partenza scientifica è costituita dai principali risultati recentemente ottenuti sia dagli afferenti al gruppo che dalla comunità scientifica internazionale. Per chiarezza espositiva distingueremo nel seguito i metodi astratti che forniscono al base teorica comune generale e le applicazioni alle equazioni ellittiche e ai sistemi Hamiltoniani. Gli strumenti teorici a cui facciamo riferimento sono classici: la Teoria dei punti critici per funzionali illimitati [Str96]; il metodo di concentrazione-compattezza sviluppato da PL Lions [Lio84]; il Principio del massimo e metodo del moving-planes (si vedano i classici lavori di Serrin [Ser71] e Gidas-Ni-Nirenberg [GNN79]); l'Analisi di blow-up ([Li95,Li96]); la Teoria KAM (vedi Moser [Mos73]) e i teoremi tipo Nash-Moser; i metodi perturbativi di tipo variazionale ([AB1-AB2]).

1. Equazioni Ellittiche

1.1. Equazioni di Schroedinger nonlineari (NLS).

Come base di partenza prenderemo innanzi tutto i lavori [AMS], [AMN1] e [BW]. In tali lavori lo studio dell'esistenza e della concentrazione delle soluzioni delle NLS, quando la costante di Planck tende a zero (stati semiclassici), è fatta nell'ipotesi che il potenziale V verifichi:
(i) liminf_{|x| to + infty} V(x) > 0,
(ii) V > 0 o si annulla in qualche punto, cfr. [BW].
La concentrazione può avvenire in punti oppure su varietà, cfr. [AMN1].

È >>>