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PROGRAMMA DI RICERCA 2005

italiano - english
Programmi di ricerca simili:
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Classificazione geografica
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Parole Chiave
ANELLI; MODULI; ALGEBRE DI HOPF; CATEGORIE ADDITIVE; CATEGORIE DI MODULI; TEORIA TILTING

Prospettive in teoria degli anelli, algebre di Hopf e categorie di moduli

Università degli Studi di Padova
Abstract
Si intendono affrontare alcuni problemi aperti di algebra non commutativa articolati in tre direzioni principali di ricerca: (1) Moduli su anelli associativi (questioni di unicità di decomposizioni di moduli in somme dirette, moduli tilting e cotilting anche di lunghezza infinita, equivalenze e dualità in categorie di moduli); (2) Algebre di Artin (teoria delle loro rappresentazioni, connessioni tra la teoria tilting e alcune classiche congetture omologiche); (3) Algebre di Hopf (costruzione di nuove algebre di Hopf, approccio coomologico e differenziale alla geometria non commutativa, coalgebre cotensoriali ed estensioni quantiche di algebre di Hopf). Queste direzioni di ricerca sono strettamente connesse tra loro, in quanto: (a) tutti gli argomenti riguardano questioni di teoria dei moduli in senso lato; (b) è ben nota la stretta connessione tra la teoria della rappresentazione per le algebre di dimensione finita e la categoria dei loro moduli di lunghezza arbitraria; (c) comoduli e coalgebre rappresentano un contesto in modo naturale duale alla teoria dei moduli classica, ove ad esempio studiare la coalgebra dei cammini di un quiver. Uno degli aspetti qualificanti dell'intero progetto e' l'attenzione all'aspetto categorico dei tre filoni di ricerca. Si rimanda alla descrizione del programma al punto 2.3 ed alle analoghe descrizioni delle singole unità di ricerca per una esaustiva esposizione del progetto in questione.
Parte delle risorse verranno impiegate in >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Alberto FACCHINI Università degli Studi di PADOVA
Obiettivo del Programma di Ricerca
L'obiettivo scientifico del programma è lo studio di alcune strutture algebriche e la soluzione di alcuni problemi matematici ancora aperti. Gli obiettivi, nelle tre direzioni principali di indagine individuate nell'Abstract, riguardano i seguenti ambiti di ricerca: (1) Moduli (questioni di unicità di decomposizioni di moduli in somme dirette, condizioni di finitezza sull'anello degli endomorfismi in relazione alle decomposizioni in somme dirette di moduli, moduli tilting e cotilting anche di lunghezza infinita e loro generalizzazione in ambito di categorie abeliane, dualità cotilting ed equivalenze tilting). (2) Algebre di Artin (teoria delle loro rappresentazioni, connessioni tra la teoria tilting e alcune classiche congetture omologiche, utilizzo di tecniche e concetti di categorie derivate). (3) Algebre di Hopf (costruzione di nuove algebre di Hopf, approccio coomologico e differenziale alla geometria non commutativa, coalgebre cotensoriali ed estensioni quantiche di algebre di Hopf). Per una descrizione piu' dettagliata si rimanda ai singoli progetti delle quattro Unita' di Ricerca.
Il programma di ricerca è originale. L'originalità del programma consiste soprattutto nei metodi di indagine, come meglio specificato nella "Descrizione del programma" sia in questo modulo A che nei moduli B delle singole unità di ricerca.

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
Come già detto sopra, la ricerca si articolerà nelle tre direzioni (1) moduli, (2) algebre di Artin, (3) algebre di Hopf. Esponiamo pertanto la base di partenza scientifica in relazione a ciascuna di queste tre direzioni.

(1) Moduli.
A) Decomposizioni in somma diretta dei moduli.
Ricordiamo tre bei risultati recenti in tale ambito. Il primo fu la risoluzione dopo 63 anni del problema di Krull. Wolfgang Krull, nel 1932, dopo aver dimostrato il teorema oggi noto come Teorema di Krull-Schmidt, ossia che ogni modulo di lunghezza di composizione finita e' somma diretta di indecomponibili e che tale decomposizione e' essenzialmente unica, chiese se tale risultato fosse vero non solo per i moduli di lunghezza di composizione finita, ma molto più generalmente per tutti i moduli artiniani [Kru]. La risposta, negativa, a tale domanda fu data solo nel 1995 in [FHLV], risultato successivamente migliorato e approfondito da R. Wiegand in [Wi].
Un secondo esempio e' la teoria della decomposizione dei moduli seriali. Warfield [Wa], dopo aver dimostrato nel 1975 che ogni modulo finitamente presentato su di un anello seriale e' seriale, chiese se la decomposizione in somma diretta di uniseriali di un modulo seriale fosse essenzialmente unica, almeno nel caso dei moduli finitamente presentati sugli anelli seriali. Anche in questo caso la risposta e' stata data solo assai recentemente, con la costruzione di un controesempio molto generale e con la >>>