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INIZIO_TESTO_DA_INDICIZZARE

PROGRAMMA DI RICERCA 2005

italiano - english
Unità di Ricerca
Programmi di ricerca simili:
Classificazione scientifico-disciplinare
Classificazione brevettuale
Classificazione geografica
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Parole Chiave
SPAZI DI MODULI; GRUPPI ALGEBRICI; FORME MODULARI; VARIETÀ SIMPLETTICHE; DEFORMAZIONI; GRUPPI DISCRETI; TEORIA DI HODGE; INVARIANTI; RAPPRESENTAZIONI

Spazi di moduli e teorie di Lie

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"
Abstract
Questo programma e' una continuazione del precedente con l'aggiunta di un nuovo gruppo di ricerca (con il quale gia' esistono scambi e collaborazioni). Se ne confermano le principali linee direttrici.
Si tratta di temi di lunga durata. Il programma affronta soprattutto problemi collegati alla struttura e alle applicazioni degli spazi di moduli di vari oggetti geometrici, e problemi di teoria delle rappresentazioni, di teoria di Lie e delle loro ramificazioni topologiche e combinatorie. Molte delle tematiche contemplate hanno applicazioni in, o hanno origine da, teorie fisiche come la teoria delle stringhe, la teoria di Yang-Mills, la teoria conforme dei campi e altre simili; tuttavia in questo progetto l'attenzione e' rivolta al lato matematico e non a quello fisico.

Vi sono tre linee principali di ricerca:
La prima, sul versante "moduli", e' concentrata sugli spazi di moduli delle curve algebriche, delle varieta' abeliane, le funzioni theta e modulari e dei fibrati vettoriali.

La seconda, sul versante "teoria di Lie", verte sui gruppi quantici, le algebre di Lie, le algebre di operatori di vertice, i gruppi di trecce e di Coxeter, gli ideali $b-$invarianti, le algebre quasi conformi, i politopi e le funzioni di partizione.

La terza tratta vari aspetti della teoria delle deformazioni, la teoria di Hodge, e la geometria simplettica, di nuovo con l'accento sulle applicazioni alla teoria dei moduli.

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Claudio PROCESI Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"
Obiettivo del Programma di Ricerca
Come per tutti i programmi di ricerca in Matematica, l'obiettivo di questo programma consiste nello studio di varie tematiche unificate da alcune idee base comuni che abbiamo riassunto come moduli e teorie di Lie ma che potrebbero anche essere sintetizzate dalle idee di simmetria e deformazione. Nell'ambito di queste tematiche vi sono poi dei problemi specifici, delle congetture, che cerchiamo di risolvere e che sono spiegate nelle parti specifiche dei tre progetti. Volendo qui ripetere alcuni di questi grandi temi, nella teoria delle deformazioni e dei moduli si sovrappongono idee formali (come le algebre $L^infty$) studiate da Manetti con i suoi allievi, o la teoria degli stacks e delle categorie derivate (Canonaco), a problemi più specifici, come questioni fini sulle Jacobiane (Arbarello) o su problematiche di sollevamento di forme modulari dal caso ellittico a quello ortogonale (Salvati Manni), sui moduli delle curve puntate e sui moduli di fibrati vettoriali (il gruppo di Pavia), sulla classificazione delle varietà simplettiche olomorfe (O' Grady). Ciascuno di questi temi pone una serie di problemi specifici che sono illustrati nel Modelli B e che formeranno l'oggetto delle ricerche.

Vicine, anche se molto diverse, alle tematiche della teoria geometrica delle deformazioni sono le idee algebriche relative ai quantum groups, alle algebre di Hopf ed alle algebre di Hecke studiate da vari membri di questo progetto. Anche in questo caso abbiamo numerosi >>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
La base di questo progetto è spiegata in dettaglio nei vari modelli B, e mi limiterò ora ad alcune considerazioni generali.

La teoria dei moduli ha una lunga storia che possiamo far risalire alla teoria delle funzioni ellittiche e delle forme modulari. La teoria comincia a prendere una forma generale con i lavori di Riemann sulle funzioni algebriche, e di Lie ed Hilbert sulla simmetria e gli invarianti.

Successivamente i metodi analitici di Teichmuller e poi Kodaira-Spencer permettono di affrontare problemi sia globali che locali di classificazione e deformazioni. La teoria ritorna ad algebrizzarsi con Grothendieck e Mumford e si arricchisce di nuovi metodi formali e categorici, come la teoria degli Stacks o quella delle categorie derivate. Una nuova serie di idee proviene negli ultimi 30 anni da una fertile interazione con problemi di Fisica Teorica, dove spazi di moduli appaiono in modo naturale come soluzioni speciali di teorie di campo, e si mescolano alle idee di quantizzazione dando luogo a nuove teorie come quelle dei quantum groups, quantum cohomology, o a rivisitazioni di teorie classiche come lo schema di Hilbert o le varietà simplettiche e di Poisson.
La teoria di Lie fornisce spesso esempi concreti, metodi espliciti di classificazione e principalmente lo strumento per studiare tutti i problemi di simmetria. Nell'ambito di tale teoria o vicino ad essa abbiamo seguito vari problemi che mescolano algebra, geometria
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