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PROGRAMMA DI RICERCA 2006

italiano - english
Programmi di ricerca simili:
Classificazione scientifico-disciplinare
Classificazione brevettuale
  • PHYSICS
    • COMPUTING; CALCULATING; COUNTING (score computers for games A63; combinations of writing applicances with computing devices B43K29/08)
      • ANALOGUE COMPUTERS (analogue optical computing devices G06E3/00)
    • CONTROLLING; REGULATING (specially adapted to a particular field of use, see the relevant place for that field, e.g. A62C37/00, B03B13/00, B23Q)
      • CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS (fluid-pressure actuators or systems acting by means of fluids in general F15B; valves per se F16K; characterised by mechanical features only G05G; sensitive elements, see the appropriate subclass, e.g. G12B, subclass of G01, H01; correcting units, see the appropriate subclass, e.g. H02K)
    • MEASURING (counting G06M); TESTING
      • GEOPHYSICS; GRAVITATIONAL MEASUREMENTS; DETECTING MASSES OR OBJECTS (detecting or locating foreign bodies for diagnostic, surgical or person-identification purposes A61B; means for indicating the location of accidentally buried, e.g. snow-buried persons A63B29/02; investigating or analysing earth materials by determining their chemical or physical properties G01N; measuring electric or magnetic variables in general, other than direction or magnitude of the earth\'s field G01R; electronic or nuclear magnetic resonance arrangements G01R33/20; radar, sonar or analogous methods in general, detecting masses or objects involving these methods G01S)
      • MEASURING LENGTH, THICKNESS OR SIMILAR LINEAR DIMENSIONS; MEASURING ANGLES; MEASURING AREAS; MEASURING IRREGULARITIES OF SURFACES OR CONTOURS (measuring human body, see the relevant places, where such exist, e.g. A41H1/00, A43D1/02, A61B5/103; measuring appliances combined with walking-sticks A45B3/08; sorting according to dimensions B07; tool-setting or drawing instruments not specially modified for measuring B23B49/00, B23Q15/00 to B23Q17/00, B43L; combinations of measuring devices with writing-appliances B43K29/08; geodetical, nautical or aeronautical measuring, surveying, rangefinding G01C; photogrammetry G01C11/00; measuring force or stress, in general G01L1/00; investigating or analysing particle size, investigating or analysing surface area of porous material G01N; measuring position, distance or direction, in general, by reception or emission of radiowaves or other waves and based on propagation effects, e.g. Doppler effect, propagation time, direction of propagation G01S; geophysical measuring G01V; measuring length or roll diameter of film in cameras or projectors G03B1/60; combinations of measuring devices with means for controlling or regulating G05; methods or arrangements for converting the position of a manually-operated writing or tracing member into an electrical signal G06K11/00; measuring elapsed travel of recording medium in recording and playback equipment, sensing diameter of record in autochange gramophones G11B; means structurally associated with electric rotary current collectors for indicating brush wear H01R39/58; indicating consumption of electrodes in arc lamps H05B31/34)
Classificazione geografica
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Parole Chiave
OPERATORI DI KOLMOGOROV, MISURE INVARIANTI, EQUAZIONI STOCASTICHE ALLE DERIVATE PARZIALI, OPERATORI ELLITTICI CON COEFFICIENTI ILLIMITATI, SEMIGRUPPI DI MARKOV, EQUAZIONI STOCASTICHE RETROGRADE

Equazioni di Kolmogorov

Scuola Normale Superiore di Pisa
Abstract
Il progetto riguarda lo studio di equazioni ellittiche e paraboliche in un numero finito o infinito di variabili e di equazioni differenziali stocastiche ordinarie o alle derivate parziali che come è noto sono problemi strettamente collegati.

Verranno usate tecniche sia deterministiche che stocastiche; la loro interazione permette di ottenere risultati migliori, sotto ipotesi più generali, rispetto alla letteratura corrente.

In particolare, saranno studiati operatori differenziali lineari ellittici (anche degeneri) K con coefficienti illimitati e le corrispondenti equazioni di Kolmogorov du/dt = Ku, verranno studiate esistenza e unicità di misure invarianti per i relativi semigruppi di transizione, e proprietà di tali semigruppi e dei loro generatori in spazi L p rispetto a misure invarianti. Verranno inoltre studiate varianti nonlineari delle equazioni di Kolmogorov ed i corrispondenti sistemi stocastici "forward-backward".

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Giuseppe Da Prato Scuola Normale Superiore di PISA
Obiettivo del Programma di Ricerca
L'obiettivo del programma di ricerca è lo studio di equazioni di Kolmogorov in dimensione finita o infinita, e di problemi connessi.

Le equazioni di Kolmogorov sono equazioni differenziali alle derivate parziali deterministiche, motivate e legate strettamente a equazioni di evoluzione stocastiche. La teoria generale di queste ultime, mentre risulta ormai molto ben sviluppata in dimensione finita, è tuttora largamente aperta in dimensione infinita. Fa quindi parte degli scopi principali di questo programma lo studio di equazioni di evoluzione stocastiche in spazi di Hilbert infinito dimensionali. Fra queste, particolare attenzione sarà dedicata a modelli matematici di interesse, come equazione di Burgers, sistemi di reazione-diffusione, equazioni di Navier-Stokes, equazioni di Volterra stocastiche.

Sia in dimensione finita che infinita, oltre a problemi di esistenza e unicità di soluzioni di equazioni di Kolmogorov, ci occuperemo di proprietà di regolarità di tipo sia analitico che stocastico, di esistenza e unicità di misure invarianti e di proprietà asintotiche dei semigruppi di transizione associati, tra cui l'ergodicità.

L'aspetto centrale del programma è l'interazione fra metodi deterministici e metodi stocastici, che è naturale dato lo stretto legame fra le equazioni di Kolmogorov e le equazioni differenziali stocastiche che le generano. Generalmente, sia tecniche deterministiche che tecniche stocastiche >>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
Consideriamo una classe di equazioni differenziali stocastiche, del tipo



dove H è uno spazio di Hilbert di dimensione finita o infinita, b è un'applicazione definita in un sottoinsieme D(b) di H con valori in H, s è un'applicazione definita in un sottoinsieme D(s) di H con valori in L(H) e W(t) è un moto Browniano cilindrico in H definito in uno spazio probabilizzato (O,F,P).
Tali equazioni includono equazioni alle derivate parziali della fisica matematica perturbate da rumore, come ad esempio equazioni di reazione-diffusione, di Navier-Stokes e di Burgers stocastiche, in cui H è abitualmente uno spazio di tipo L 2 e b è un operatore differenziale dato da ?X + F(X,?X), con F nonlineare. Alcune varianti di (1) modellizzano anche equazioni di Volterra perturbate da rumore, vedi [CDP], [BF], [BT].

La teoria generale su equazioni del tipo (1) in dimensione finita ha avuto origine molti anni fa, è ben sviluppata e comprende una letteratura enorme. Citiamo ad esempio le monografie [SV,K,M] a cui rimandiamo per le ricche bibliografie. La teoria quando H ha dimensione infinita è più recente; studi considerati ormai classici sono ad esempio [Pa,Ro,DPZ1,DPZ2,AR,MR].

Se il problema (1) è ben posto, si definisce il semigruppo di transizione



nello spazio delle funzioni reali continue e limitate in H. È noto che, posto u(t,x) =P(t)f(x), risulta formalmente >>>