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PROGRAMMA DI RICERCA 2006

italiano - english
Unità di Ricerca
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Bibliografia
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Parole Chiave
GEOMETRIA NONCOMMUTATIVA, GRUPPI QUANTICI; ALGEBRE DI HOPF, TRIPLE SPETTRALI, OPERATORI DI DIRAC, TEORIE DI GAUGE, ISTANTONI; SPAZI DI MODULI, FIBRATI VETTORIALI E PRINCIPALI, TEORIE DI CAMPO CONFORMI, GEOMETRIA INFINITO DIMENSIONALE

Geometria noncommutativa, gruppi quantici ed applicazioni

Università degli Studi di Trieste
Abstract
Il programma di ricerca proposto riguarda specifici temi di geometria noncommutativa ed è in generale diretto alla costruzione di esempi utili alla comprensione ed allo sviluppo di vari aspetti della teoria.
L' argomento principale riguarda istantoni noncommutativi e loro geometria: si costruiranno fibrati vettoriali (moduli proiettivi di tipo finito) su varietà noncommutative, connessioni autoduali e loro spazi di moduli per tutti i valori della carica topologica. Si studieranno simmetrie deformate (implementate come algebre di Hopf e loro generalizzazioni), coomologie equivarianti e teoremi di localizzazione su varietà noncommutative. Inoltre si costruiranno Hamiltoniane di Hall su spazi omogenei quantici (ovvero operatori di Laplace su sezioni di `fibrati vettoriali' noncommutativi).
Un altro tema particolarmente importante e' il confronto tra gruppi quantici e loro spazi omogenei (come q-deformazioni) con la geometria noncommutativa à la Connes: si intende costruire triple spettrali reali su tutta la famiglia delle 2-sfere di Podles, su gruppi quantici unitari SUq(n) e loro spazi omogenei. In particolare si introdurranno operatori pseudodifferenziali, funzioni zeta, formula locale dell' indice e flusso geodetico per le triple spettrali su questi spazi.
Per quanto riguarda il ruolo dei gruppi quantici nelle teorie di campo conformi, si esamineranno le relazioni tra modi zero chirali e rappresentazioni di SUq(n) alle radici >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Giovanni Landi Università degli Studi di TRIESTE
Obiettivo del Programma di Ricerca
Gli obiettivi scientifici del programma sono i seguenti:

1) Istantoni noncommutativi e loro geometria:
1.1) costruzione di fibrati vettoriali (moduli proiettivi di tipo finito) su varietà noncommutative, di connessioni di Yang-Mills autoduali e studio dei loro spazi di moduli per tutti i valori della carica topologica,
1.2) studio di simmetrie deformate, della coomologia equivariante e di teoremi di localizzazione su varietà noncommutative,
1.3) costruzione di Hamiltoniane di Hall (operatori di Laplace su fibrati vettoriali quantici) su spazi omogenei quantici.

2) Triple spettrali su gruppi quantici e loro spazi omogenei:
2.1) costruzione di triple spettrali reali su tutta la famiglia delle sfere quantiche bidimensionali di Podles,
2.2) costruzione di triple spettrali reali su gruppi quantici unitari SUq(n),
2.3) studio di operatori pseudodifferenziali, funzioni zeta, formula locale dell' indice e flusso geodetico per le triple spettrali ai punti 2.1) e 2.2).

3) Gruppi quantici in teorie conformi:
3.1) studio dei modi zero chirali e delle loro relazioni con rappresentazioni di SUq(n) alle radici dell' unità per il parametro di deformazione,
3.2) studio di matrici r dinamiche e relazioni con algebre di Poisson-Lie,
3.3) costruzione di operatori di Dirac-Ramond su spazi noncommutativi generali.

Un obiettivo importante del presente progetto sar >>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
La geometria noncommutativa copre una regione molto ampia della matematica che va dalla teoria dell'indice [cmo95] alla teoria dei numeri [cma04] passando per spazi di orbite di foliazioni e quozienti singolari. Per un recente introduzione allo stato dell' arte si rimanda anche al lavoro [cm06].
Che sia un campo maturo ed in crescita è testimoniato da una nuova rivista scientifica, `The Journal of Noncommutative Geometry' che, pubblicata dalla Società Europea di Matematica, sarà a disposizione della comunità scientifica dagli inizi del 2007. Il comitato editoriale è presieduto da A. Connes.

Nell'approccio topologico differenziale e geometrico differenziale di A. Connes [co94] (vedi anche [la97,gvf01]), algebre involutive noncommutative sono l'arena `duale' per strutture lisce noncommutative. Il teorema (commutativo) di Gel'fand-Naimark fornisce una (anti) equivalenza completa tra la categoria degli spazi localmente compatti di Hausdorff con morfismi propri e continui e la categoria delle C*-algebre commutative e *-omomorfismi. Ogni C*-algebra commutativa può essere realizzata come la C*-algebra delle funzioni continue a valori complessi su uno spazio Hausdoff localmente compatto. Quindi una C*-algebra noncommutativa sarà pensata come l'algebra delle funzioni continue su un qualche `spazio noncommutativo virtuale'. Al centro della scena non vi sono piu` gli spazi, che in generale non esistono nemmeno, ma >>>