RICERCA ITALIANA     

Spazi di Moduli e Teoria di Lie

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"

Abstract

Questo programma e' una continuazione di precedenti con lo stesso titolo diretti da Claudio Procesi. Il cambiamento del responsabile nazionale deve leggersi nell' ottica di un naturale avvicendamento. Si confermano le principali linee direttrici dei precedenti progetti.

Si tratta di temi di lunga durata. Il programma affronta soprattutto problemi collegati alla struttura e alle applicazioni degli spazi di moduli di vari oggetti geometrici, e problemi di teoria delle rappresentazioni, di teoria di Lie e delle loro ramificazioni topologiche e combinatorie. Molte delle tematiche contemplate hanno applicazioni in, o hanno origine da, teorie fisiche; tuttavia, come nei precedenti progetti, l'attenzione e' rivolta al lato matematico.

Vi sono tre linee principali di ricerca:

La prima, sul versante "moduli", e' concentrata sugli spazi di moduli delle curve algebriche, delle varieta' abeliane, delle funzioni theta e modulari e dei fibrati vettoriali.

La seconda, sul versante "teoria di Lie", verte sui gruppi quantici, sulle algebre di Lie, sulle algebre conformi e di vertice, sulla combinatoria dei sistemi di radici, sui politopi e le funzioni di partizione.

La terza tratta vari aspetti della teoria delle deformazioni, la teoria di Hodge, la teoria dei fasci perversi e la geometria simplettica, di nuovo con l'accento sulle applicazioni alla teoria dei >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Riccardo Salvati Manni Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"

Obiettivo del Programma di Ricerca

Come per tutti i programmi di ricerca in Matematica, l'obiettivo di questo programma consiste nello studio di varie tematiche unificate da alcune idee base comuni che abbiamo riassunto come moduli e teorie di Lie ma che potrebbero anche essere sintetizzate dalle idee di simmetria e deformazione. Nell'ambito di queste tematiche vi sono poi dei problemi specifici, delle congetture, che cerchiamo di risolvere e che sono spiegate nei progetti delle unita' locali. Volendo qui ripetere alcuni di questi grandi temi, nella teoria delle deformazioni e dei moduli si sovrappongono idee formali (come le algebre $L^infty$) studiate da Manetti, a problemi più specifici, come questioni fini sullo spazio dei moduli delle curve (Arbarello) o su problematiche di sollevamento di forme modulari dal caso ellittico a quello ortogonale (Salvati Manni), sui moduli delle curve puntate e sui moduli di fibrati vettoriali (il gruppo di Pavia), sulla classificazione delle varietà simplettiche olomorfe (O' Grady). Ciascuno di questi temi pone una serie di problemi specifici che sono piu' ampiamente illustrati nel Modelli B e che formeranno l'oggetto delle ricerche.

Vicine, anche se molto diverse, alle tematiche della teoria geometrica delle deformazioni sono le idee algebriche relative ai quantum groups, alle algebre di Hopf ed alle algebre di Hecke studiate da vari membri di questo progetto. Anche in questo caso abbiamo numerosi progetti specifici >>>

Risultati parziali attesi

Teniamo a sottolineare che, per la natura stessa della ricerca in matematica, al di la` delle aspettative degli estensori di questo programma, gli sviluppi del lavoro possono condurre in direzioni inaspettate, e dunque a risultati positivi inattesi o anche a difficolta` imprevedibili. Nondimeno e` ragionevole pensare che i risultati che si otterranno saranno comunque di rilievo in ragione dell' intrinseco interesse generale delle questioni affrontate e degli effettivi progressi finora ottenuti nei precedenti programmi.
Nei vari settori riteniamo possibile il raggiungimento dei seguenti risultati.

Algebre di vertice, algebre di Lie conformi e pseudoalgebre di Lie.

Cercheremo di generalizzare le tecniche utilizzate sui C[d]-moduli finitamente generati al caso di sottoalgebre dell'algebra di Lie conforme generale lineare di moduli finitamente generati .
Studieremo algebre di vertice generate da un elemento di Virasoro e da campi primari di peso conforme 1 e 3/2 e algebre di vertice con tre generatori, e,f,h, le cui OPE definiscono una deformazione non-lineare delle relazioni che definiscono l'algebra di vertice affine di sl_2.

Algebre di Jordan.

Vogliamo introdurre la definizione di superalgebra di Jordan dispari e generalizzare la costruzione TKK al fine di studiare le proprieta` delle superalgebre di Jordan dispari e di ottenere la classificazione di >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Elenchiamo di seguito la base di partenza scientifica per ogni argomento di ricerca. Le referenza bibliografiche sono specificate nei modelli B.


Algebre di vertice, algebre di Lie conformi e pseudoalgebre di Lie.

Le algebre di vertice [Bo] e le algebre di Lie conformi [DK] sono descrizioni assiomatiche di strutture algebriche che si incontrano in teoria dei campi quantistica. La nostra base saranno i lavori [BDK2, Da].

Algebre di Jordan.

Per la teoria generale vedi [JNW], [Z], [T], [Ko], [K2]. La nostra base e' [CK], ove viene stabilita un'equivalenza tra la categoria delle superalgebre di Jordan linearmente compatte e la categoria delle superalgebre di Lie linearmente compatte contenenti una sottoalgebra corta.

Coomologia equivariante di loop spaces e algebre di vertice.

La base di partenza e' la soluzione della congettura di Vogan generalizzata al caso affine in [KMP]. Saranno rilevanti i lavori di coomologia equivariante non commutativa [AM1], [AM2].

Supergruppi e quantizzazione.

Nel contesto della "super-geometria", sono state studiate le supervarieta` differenziabili, per le quali si sono riprodotti molti risultati fondamentali classici. Ma per la teoria di Lie ci sono importanti differenze: ad esempio, le superalgebre di Lie semplici non >>>