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PROGRAMMA DI RICERCA 2007

italiano - english
Unità di Ricerca
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Parole Chiave
ANALISI NUMERICA, EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI, SISTEMI ALGEBRICI NON LINEARI VINCOLATI, HIGH PERFORMANCE COMPUTING, APPLICAZIONI A PROBLEMI AMBIENTALI ED INDUSTRIALI

Sviluppo ed analisi di modelli matematici e di metodi numerici per equazioni alle derivate parziali per le applicazioni a problemi ambientali ed industriali

Università degli Studi di Trento
Abstract
Questo progetto di ricerca è composto di tre elementi principali: (1) modelli matematici che consistono di equazioni alle derivate parziali (PDE) dipendenti dal tempo; (2) costruzione ed analisi di metodi numerici nuovi per tali equazioni; (3) implementazione e valutazione degli algoritmi sviluppati per tipici problemi ambientali, industriali e scientifici in generale. L’implementazione degli algoritmi sarà effettuata su moderna infrastruttura di supercomputer massicciamente parallela.
Il carico di lavoro sarà strategicamente suddiviso in tre parti, secondo le unità di ricerca coinvolte e le loro rispettive esperienze: la discretizzazione di PDE sarà eseguita dalle unità di Trento e Padova. L’unità di Trento si concentrerà su metodi ai volumi finiti e Galerkin discontinui. L’unità di Padova si focalizzerà su elementi finiti continui, metodi meshless ed il loro accoppiamento. Le discretizzazioni sopraccitate conducono a sistemi non lineari algebrici e l’unità di ricerca di Firenze avrà quindi un ruolo chiave nel fornire strategie di risoluzione molto efficienti.

(1) Modelli matematici

I modelli matematici oggetto di studio derivano principalmente da problemi multi-fase e multi-fluidi, di rilevanza in applicazioni ambientali come colate di detriti, valanghe, flussi in mezzi porosi eterogenei e idrodinamica a superficie libera, in applicazioni industriali come combustione, sicurezza di reattori e fusione nucleare, così come applicazioni in >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca
Eleuterio Toro Università degli Studi di TRENTO
Obiettivo del Programma di Ricerca
L’obiettivo scientifico finale di questo progetto di ricerca PRIN è la costruzione di metodi numerici efficienti, robusti e molto accurati per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) dipendenti dal tempo su griglie non strutturate composte da triangoli e tetraedri indispensabili per la simulazione di complesse applicazioni ambientali, industriali e scientifiche in generale. Per tutti questi problemi, i modelli fisici di base sono in generale modelli multi-fluidi e multi-fase. Le maggiori applicazioni ambientali sono valanghe, frane, flussi in mezzi porosi reologicamente complessi, propagazione d’onde di marea e in generale onde sulla superficie libera. Potenziali applicazioni di rilevante importanza in campo industriale sono sistemi di propulsione così come la sicurezza di reattori nucleari e la fusione nucleare per la produzione di energia pulita. Queste applicazioni hanno un largo impatto sulla moderna società civile. È quindi di notevole importanza valorizzare la ricerca scientifica di metodi numerici accurati, efficienti e robusti, che saranno capaci di risolvere tali problemi e sapranno condurre a sostanziali avanzamenti tecnologici per la nostra società.
Parallelamente, è indispensabile abbinare allo sviluppo di metodi numerici accurati ad alto ordine l’utilizzo di griglie non strutturate per la trattazione di geometrie complesse. Si pensi in campo ambientale alla complessità della topografia in valli alpine, soggette a frane e >>>

Risultati parziali attesi
La ricerca condotta in questo PRIN condurrà a metodi numerici molto accurati, robusti, efficienti e generali per la soluzione di equazioni alle derivate parziali (PDE) dipendenti dal tempo che modellizzano complessi problemi in ingegneria e scienza. La ricerca avrà un impatto su argomenti di grande importanza per la società moderna, in particolare per l’Italia:

(1) Protezione civile rispetto a frane e valanghe. In regioni di montagna, come il Trentino Alto-Adige, fenomeni naturali come frane e valanghe accadono regolarmente e possono diventare una minaccia per gli abitanti di queste zone. È quindi di grande importanza per la protezione civile capire i meccanismi fisici che conducono alle frane e valanghe per intraprendere le misure adatte per proteggere città e paesi da questi fenomeni. Visto che sperimenti pratici su frane e valanghe sono molto costosi e molto difficili da realizzare in natura, le simulazioni numeriche potrebbero diventare nel futuro uno strumento importante per gli ingegneri civili per progettare le misure necessarie per la protezione civile contro questi fenomeni. Le simulazioni numeriche possono essere confrontate con osservazioni di frane e valanghe avvenute in natura.

(2) Onde di superficie libera e onde di marea. Visto che l’Italia è essenzialmente circondata dal mare, gli effetti di onde di mare e di marea sulla costa in particolare sono di grande importanza per le zone urbane vicine alle coste e per le città marittime >>>

Durata
24 mesi
Base di partenza scientifica nazionale o internazionale
I modelli fisici analizzati in questo progetto di ricerca possono essere riscritti nella forma generale di un sistema multi-dimensionale di equazioni di bilancio iperboliche non lineari (SBL):

(1): u_t + f(u)_x + g(u)_y + h(u)_z = S(u)

dove u=u(x,y,z,t) è il vettore di stato delle variabili conservative, f(u), g(u) e h(u) denotano i flussi non lineari e S(u) è il vettore dei termini sorgente di bilancio (non lineare), in generale anche rigido.
Il termine sorgente può modellizzare vari fenomeni fisici, quali la gravità, l’attrito o reazioni chimiche. In molte importanti applicazioni, come la fisica multi-fluidi, le equazioni non possono essere sempre riscritte interamente nella forma conservative (1) ma rimangono prodotti non-conservativi del tipo A(u)*u_x. In recenti lavori di Pares et al., tali termini vengono trattati ricorrendo alla teoria sviluppata da Dalmaso, LeFloch e Murat.

Se per gli schemi alle differenze finite (FD) è possibile raggiungere un ordine di accuratezza molto elevato su griglie strutturate, esistono solo pochi metodi numerici ad alto ordine (maggiore di due) anche su griglie non strutturate, composte da triangoli e tetraedri, capaci di discretizzare domini con geometrie complesse, tipiche in problemi ambientali e industriali. Allo stato dell’arte per problemi iperbolici dipendenti dal tempo, come (1), su griglie non strutturate, gli schemi TVD ai volumi finite (FV) sono del secondo ordine di >>>