RICERCA ITALIANA     

Analisi Armonica

Scuola Normale Superiore di Pisa

Abstract

Scopo del progetto è lo studio di problemi di analisi armonica che appaiono in diversi contesti ma fortemente interconnessi tra loro in diversi modi: motivazioni, tecniche e metodologie. Molti dei problemi da studiare riguardano le proprietà di limitatezza di vari tipi di operatori, come a integrali singolari e oscillanti, funzioni massimali, moltiplicatori spettrali. L'origine di questi operatori può rintracciarsi nelle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa, nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi, nei problemi di sommabilità di sviluppi in autofunzioni, nella teoria dei semigruppi fortemente continui, in teoria dell'approssimazione e in analisi numerica. Essi sono definiti in spazi Euclidei, su varietà con diverse proprietà metriche o topologiche, o su strutture discrete, come grafi o "buildings". L'analisi in tempo-frequenza, includendovi le ondine, entrano in questo quadro sia come strumento che come oggetto di studio di per sé. Queste varie situazioni, diverse come possono sembrare, sono tuttavia fortemente legate tra loro. Membri delle varie unità di ricerca collaborano con varie interazioni sui diversi obiettivi.
Il programma consiste delle seguenti sezioni e sottosezioni:

1. ANALISI DI FOURIER

1.a. Sommabilità di serie e integrali di Fourier ed espansioni in autofunzioni; fenomeno di Gibbs
1.b. Distribuzioni di punti di reticoli in insiemi convessi
1.c. Funzioni >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Fulvio Ricci Scuola Normale Superiore di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

L’evoluzione dell’Analisi Armonica ha visto una enorme espansione delle sue finalità, del suo impatto in altre aree della matematica, del suo ambito di applicazione, dei metodi matematici richiesti nella ricerca. Questo progetto contiene molti apetti del risultato di questa evoluzione, così come si sono sviluppati in Italia negli ultimi decenni.
L’articolazione del programma scientifico che presentiamo non corrisponde a una netta divisione in aree separate, e il materiale avrebbe potuto essere organizzato in forme diverse. In particolare, molti temi sono comuni a varie sezioni e riflettono l’espressione di un comune punto di vista in contesti diversi. Elenchiamo i seguenti:
-metodi di sommabilità e convergenza per tipi diversi di espansioni appaiono tanto nel contesto classico dell’analisi di Fourier quanto su gruppi di Lie e per espansioni in autofunzioni di tipo generale;
- le condizioni classiche di Mihlin-Hörmander per la limitatezza L^p dei moltiplicatori di Fourier appare continuamente nell’analisi spettrale di operatori differenziali in contesti diversi;
- allo stesso modo, integrali singolari, funzioni massimali a gli altri strumenti classici della teoria di Calderón-Zygmund pervadono diverse aree di ricerca, producendo anche un feed-back sugli aspetti di teoria della misura che le sono propri;
- la connessione tra analisi di Fourier e analisi del comportamento al bordo di funzioni olomorfe e armoniche, nata con i lavori di Hardy e >>>

Risultati parziali attesi

Alcuni dei compiti descritti sopra sono la continuazione di lavori precedenti, e i ricercatori coinvolti sono giunti a uno stadio in cui è possibile formulare una congettura o una domanda precisa e lavorare direttamente su quella. Per altri compiti, la ricerca è a un livello iniziale e il primo lavoro da fare è capire dove siano i punti cruciali, quali tecniche siano richieste, o quale tipo di risultato generale sia ragionevole cercare. Una terza categoria di compiti consiste nel trovare nuovi approcci a certi risultati o teorie.

Esempi della prima categoria sono 1.a.4, 1.a.5, 1.c.2, 2.a.1, 2.a.2, 2.b.1, 2.d.1, 3.b.1, 4.a.1, 4.a.2, 4.b.1, 4.d.1, 5.c.3. I risultati attesi possono essere desunti dalle presentazioni dei compiti nella Parte 13 di questo modello e nei modelli B.
Esempi della seconda categoria sono 1.a.2, 1.c.1, 2.a.3, 2.a.4, 2.b.2, 2.c.1, 2.d.2, 3.a.1, 4.b.2, 5.a.1, 5.a.2, 5.c.1, 5.c.2, 5.d.2, 5.d.3.
Ricadono nella terza categoria 1.b.1, 4.c.1, 4.d.2, 5.a.4.
In ogni caso, in matematica si può congetturare, piuttosto che "predire", quale possa essere il risultato, e non si è mai sicuri che una congettura sia corretta finché non si sia ottenuta una dimostrazione completa.

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Presentiamo la base di partenza scientifica per i diversi temi del progetto. La bibliografia di ogni sezione contiene alcune recenti pubblicazioni dei membri del progetto rilevanti per il tema specifico.
Ulteriori riferimenti bibliografici si trovano nelle parti B delle varie unità.
___________

1. ANALISI DI FOURIER

1.a. Sommabilità di integrali e serie di Fourier e di sviluppi in autofunzioni; fenomeno di Gibbs.

La dimostrazione di convergenza quasi ovunque di serie di Fourier sul cerchio è dovuta a Carleson e Hunt per le funzioni L^2 e a C. Fefferman per le funzioni L^p con p>1.
Molti problemi sono aperti per dimensioni più alte, dove è molto importante la scelta della successione delle somme finite approssimanti.
Il problema della convergenza delle serie di Fourie si estende in maniera naturale agli integrali di Fourier e agli sviluppi in autofunzioni nei problemi di Sturm-Liouville (così come agli sviluppi associati all'analisi spettrale di operatori differenziali su gruppi di Lie).
Il fenomeno di Gibbs per le serie e gli integrali di Fourier è ben compreso in una variabile, ma presenta molti aspetti difficili e interessanti in più variabili.

E. Prestini, Canad. J. Math. 58 (2006), 154-179
E. Prestini, Acta Math. Sinica 22 (2006), 251-260
L. Colzani, Trans. AMS 358 (2006), 5501-5521
L. Brandolini, L. Colzani, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 29 (2000) >>>