RICERCA ITALIANA     

Algebre di Operatori e Applicazioni

Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Abstract

Il programma si articola nei seguenti temi:

a) Reti conformi di algebre locali
b) Teoria dei campi quantistici su spazi tempo curvi
c) Teoria dei campi su varietà non commutative
d) Formulazione algebrica del gruppo di rinormalizzazione
d) Teoria dei campi su varietà non commutative
e) Termodinamica e meccanica statistica
f) Categorie tensoriali C*- Gruppi quantistici
g) Geometria non commutativa
h) Probabilità libera e fattori di tipo II_1
i) Probabilità e statistica quantistica
l) Sistemi dinamici non commutativi
m) Teorema dell'indice locale di Connes-Moscovici
n) Invarianti coomologici per varietà combinatoriche
o) Localizzazione e microlocalizzazione della (co)-omologia di Hochschild e ciclica

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Roberto Longo Università degli Studi di ROMA "Tor Vergata"

Obiettivo del Programma di Ricerca

Le Algebre di Operatori hanno avuto uno sviluppo particolarmente ampio in questi ultimi 30 anni. La teoria si è enormemente arricchita di contenuti e si sono rivelate interrelazioni profonde con molte altre discipline matematiche, fornendo un livello di comprensione superiore ed un linguaggio unificante. Sin dall'inizio la teoria si è sviluppata in stretta relazione con la teoria degli operatori, la teoria ergodica, l'analisi armonica, la teoria delle rappresentazioni dei gruppi e la fisica quantistica. Più recentemente, il dominio si è notevolmente allargato e nuove connessioni con altri rami della matematica sono emerse, basti ricordare la geometria non commutativa di A. Connes e gli invarianti polinomiali per i nodi topologici di V. Jones. Le applicazioni delle algebre di operatori alla fisica quantistica hanno sempre fornito importanti motivazioni per la teoria, ed hanno costantemente prodotto contributi fondamentali e rivelato connessioni inaspettate. Tali sono per esempio la relazione tra la struttura modulare delle algebre di von Neumann e la condizione di equilibrio KMS in Meccanica Statistica Quantistica, il teorema di Noether quantistico e le inclusioni split di algebre di von Neumann, la struttura dei settori di superselezione e il collegamento con la teoria dell'indice di Jones per sottofattori ed in particolare la connessione tra la statistica dei campi in bassa dimensione e gli invarianti polinomiali per i nodi di Jones, oppure la costruzione >>>

Risultati parziali attesi

Il programma di ricerca ha come punto unificante l'uso di tecniche avanzate nella teoria delle algebre di operatori. In primo luogo menzioniamo le applicazioni alla teoria quantistica dei campi nonché problematiche concernenti stati termodinamici, ove le osservabili fisiche sono descritte da elementi autoaggiunti di algebre di operatori. Molti dei temi di ricerca riguardano poi questioni proprie delle algebre di von Neumann e delle algebre C*, come la teoria dell'indice di Jones per inclusioni di fattori o lo studio dei gruppi quantici. Infine menzioniamo gli aspetti riguardanti la geometria non commutativa, ove le algebre di operatori forniscono la versione non commutativa delle algebre di funzioni regolari su una varietà.

Il programma si articola in particolare nei seguenti temi:

a) Reti conformi di algebre locali
- Supersimmetrie e teorie conformi. Si vogliono studiare e iniziare a classificare le reti di algebre di von Neumann sul cerchio associati a una teoria dei campi quantistici conforme con supersimmetria. In questo contesto si vuole porre in relazione l'indice di Fredholm dell'operatore di super-carica con l'indice di Jones di una rappresentazione supersimmetrica. (Carpi,Kawahigashi,Longo)
- Inclusioni half-sided di sottospazi di Hilbert reali. Si vuole estendere la teoria delle inclusioni half-sided di algebre di von Neumann a quello di inclusioni half-sided di sottospazi di Hilbert reali >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La teoria delle Algebre di Operatori fornisce interrelazioni profonde con molte altre discipline matematiche, cui fornisce un livello di comprensione superiore ed un linguaggio unificante.
Sin dall'inizio la teoria si è sviluppata in strette relazioni con la teoria degli operatori, la teoria ergodica, l'analisi armonica, la teoria delle rappresentazioni dei gruppi e la Fisica Quantistica. Più recentemente, il dominio si è notevolmente allargato e nuove connessioni con altri rami della matematica sono emerse, basti ricordare la geometria non commutativa di A. Connes e gli invarianti polinomiali per i nodi topologici di V. Jones.
Le applicazioni delle algebre di operatori alla Fisica Quantistica hanno sempre fornito importanti motivazioni per la teoria, che nel tempo hanno costantamente prodotto contributi fondamentali e rivelato connessioni inaspettate. Tali sono per esempio la relazione tra la struttura modulare delle algebre di von Neumann e la condizione di equilibrio KMS in Meccanica Statistica Quantistica, il teorema di Noether quantistico e le inclusioni split di algebre di von Neumann, la struttura dei settori di superselezione e il collegamento con la teoria dell'indice di Jones per sottofattori ed in particolare la connessione tra la statistica dei campi in bassa dimensione e gli invarianti polinomiali per i nodi di Jones, oppure la costruzione dell'algebra dei campi e la teoria di dualità astratta per i gruppi compatti.
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