RICERCA ITALIANA     

Ottimizzazione Nonlineare, Disequazioni Variazionali, e Problemi di Equilibrio.

Università degli Studi di Roma "La Sapienza"

Abstract

L’Ottimizzazione Nonlineare, le Disequazioni Variazionali, i Problemi di Equilibrio sono argomenti tra di loro correlati, sia dal punto di vista analitico, sia dal punto di vista algoritmico, che ricorrono in ogni contesto in cui è necessario utilizzare strumenti matematici avanzati per conseguire competitività tecnica ed economica.
Il programma di ricerca vuole contribuire allo sviluppo di metodi innovativi per le tematiche indicate, e si articola secondo i tre seguenti filoni principali. Per alcuni punti, il programma costituisce l’ulteriore sviluppo di ricerche svolte in altri programmi di interesse nazionale. Il software prodotto sarà integrato nel sistema ESOPO e reso disponibile on-line tramite Internet.


1) Ottimizzazione Nonlineare
Un obiettivo preliminare consiste nello sviluppo di algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari KKT che costituiscono un nucleo computazionale fondamentale nei metodi di ottimizzazione.

Nel caso di problemi non vincolati, ci si concentrerà su algoritmi di Newton troncati e sull'utilizzo di metodi di tipo gradiente coniugato planari.

Nel caso di problemi vincolati di tipo generale, l'approccio seguito è basato sulla trasformazione del problema vincolato in un problema non vincolato tramite una funzione Lagrangiana aumentata esatta. Partendo da questa trasformazione, saranno sviluppati algoritmi di tipo Newton troncato globalmente e superlinearmente convergenti >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Gianni Di Pillo Università degli Studi di ROMA "La Sapienza"

Obiettivo del Programma di Ricerca

** L'utilizzo dei metodi di ottimizzazione o, più in generale, dei metodi della programmazione matematica, viene considerato uno strumento fondamentale per conseguire competitività tecnica ed economica nella progettazione e nella gestione di sistemi complessi che si presentano nell'Ingegneria, nell'Economia e più in generale nelle Scienze Applicate. L'applicazione di metodi di ottimizzazione a sistemi complessi dà però spesso luogo a modelli matematici di difficile soluzione. Ciò avviene a seguito di due cause, a volte concomitanti:
- la struttura del modello, non appena questo risulti non convesso per effetto di non linearità, o per la presenza di variabili discrete, o di più livelli di ottimizzazione;
- la dimensione del problema, determinata dal numero di variabili di decisione, di vincoli, ed a volte di funzioni obiettivo.
Un primo obiettivo di questo programma e’ quello di far fronte ad alcune delle principali difficoltà citate, con il proporre metodi e algoritmi per problemi di ottimizzazione non lineare a grande dimensione, nel caso continuo.

** I modelli di ottimizzazione si dimostrano in certi casi inadeguati a rappresentare alcuni problemi di equilibrio che si presentano in campo economico o ingegneristico. In questi casi modelli di disequazioni variazionali (finito dimensionali) si dimostrano spesso più aderenti alla realtà. È il caso di alcuni modelli di trasporto o di equilibrio economico. Negli ultimi anni >>>

Risultati parziali attesi

I risultati attesi sono corrispondenti agli obiettivi indicati al punto 11 di questo programma.

Pertanto un primo risultato atteso è l’ampliamento della base di conoscenza disponibile per l’ottimizzazione nonlineare, le disequazioni variazionali, i problemi di equilibrio. Da un punto di vista analitico, questo risultato è particolarmente significativo per le disequazioni variazionali e i problemi di equilibrio, che sono argomenti meno studiati, e il cui interesse applicativo è stato evidenziato solo di recente. Tuttavia, anche nel campo già molto studiato dell’ottimizzazione nonlineare, esistono ancora problemi particolari la cui struttura consente il conseguimento di risultati più specifici di quelli che valgono in generale, ad esempio i problemi quadratici sia convessi che non convessi, o quelli di programmazione semidefinita.

Un secondo risultato atteso consiste nel rendere disponibili metodi di soluzione per i problemi considerati, implementati in algoritmi sperimentati. Un risultato di questa natura è particolarmente valido nei casi in cui i metodi attualmente disponibili si dimostrino inefficienti o addirittura impraticabili: è il caso ad esempio dei problemi di ottimizzazione a grande dimensione, o quelli in cui le derivate delle funzioni del problema non sono disponibili.

Un terzo risultato atteso riguarda la possibilità di ottenere soluzioni globali dei problemi considerati, anziché soluzioni locali, come avviene >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

La base di partenza scientifica internazionale è molto ampia e consolidata. Infatti, negli ultimi anni, la comunità scientifica internazionale ha mostrato un crescente interesse nell’analisi teorica e nello sviluppo di metodi per la soluzione di problemi di ottimizzazione non lineare. Tali problemi si presentano molto frequentemente in molti e diversi settori delle scienze applicate, dell’ingegneria, dell’economia come risultato della modellizzazione di sistemi complessi. Inoltre esistono numerosi settori connessi all’interno dei quali l’ottimizzazione non lineare rappresenta un potente strumento di indagine e computazionale come il controllo ottimo, le disequazioni variazionali e i problemi di equilibrio, il “data mining”, l’addestramento di reti neurali.
Oggi esistono numerosi approcci per la soluzione di problemi di ottimizzazione non lineare come testimoniato dal grande sviluppo della letteratura specifica (ad es. [Bertsekas03], [Boyd, Vandenberghe 04], [Nocedal Wright 06]). Inoltre, il vasto interesse della comunità scientifica per l’ottimizzazione non lineare è evidenziato da numerosi elementi:

- il numero di riviste dedicate all’ottimizzazione non lineare e il sempre maggior spazio dato all’ottimizzazione non lineare all’interno delle maggiori riviste dedicate alla matematica applicata ed industriale; ad esempio, le riviste classiche SIAM J. on Optimization, Mathematical Programming, Computational Optimization and Applications, J. of Optimization >>>