RICERCA ITALIANA     

Metodi numerici per sistemi evolutivi di equazioni differenziali funzionali ordinarie ed alle derivate parziali

Università degli Studi di Trieste

Abstract

Il Progetto di Ricerca è imperniato sullo sviluppo e sull'approfondimento di tematiche relative alla risoluzione numerica di equazioni differenziali funzionali, anche alle derivate parziali, con particolare attenzione a questioni riguardanti l'accuratezza, la stabilità e la preservazione di alcune proprietà strutturali delle soluzioni.
L'importanza applicativa delle equazioni differenziali funzionali risiede nel fatto che esse sono spesso utilizzate per modellare fenomeni di natura fisica, biologica, ingegneristica, ecc.
Verranno trattati aspetti di carattere teorico ed anche di carattere algoritmico ed implementativo. In alcuni casi si cercherà anche di arrivare alla stesura di un vero e proprio codice di calcolo.
Le tematiche teoriche che verranno affrontate sono le seguenti:
(A.1) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI ALLE DERIVATE PARZIALI
(A.2) METODI RUNGE-KUTTA CONTINUI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI
(A.3) APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI DI MATRICI CON APPLICAZIONI ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
(A.4) STUDIO DELLA STABILITA’ DI METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI MEDIANTE L’APPROCCIO DEL RAGGIO SPETTRALE
(A.5) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI DISCONTINUE CON RITARDO
(A.6) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE FRAZIONARIE
(A.7) STABILITA’ NUMERICA DI SISTEMI DINAMICI DESCRITTI DA EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI
(A.8 >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Alfredo Bellen Università degli Studi di TRIESTE

Obiettivo del Programma di Ricerca

Obiettivo della ricerca è la derivazione di metodi numerici efficienti per il trattamento di equazioni differenziali funzionali e lo sviluppo di relativi codici di calcolo.
Per quanto riguarda i problemi differenziali che saranno oggetto di indagine, un loro elenco di massima è il seguente:
a) problemi con termini ritardati discreti (equazioni con ritardo);
b) problemi retti da equazioni funzionali più generali;
c) problemi retti da sistemi di equazioni differenziali con struttura.
Il trattamento di tali problemi richiede lo sviluppo dei seguenti punti:
1) approfondimento (ove necessario) delle conoscenze sul problema continuo;
2) approfondimento dell'analisi dei metodi esistenti e/o derivazione e sviluppo di metodi nuovi;
3) analisi, sotto vari punti di vista, dei problemi discreti derivanti dalla applicazione dei metodi;
4) analisi di idonee tecniche implementative dei metodi stessi, in vista del loro utilizzo per la costruzione di codici di calcolo.
Riguardo allo sviluppo del software, l'attività sarà suddivisa sostanzialmente in tre sezioni principali:
I) aggiornamento di codici di calcolo esistenti;
II) sviluppo di nuovi codici di calcolo;
III) sperimentazione dei nuovi codici prodotti e loro confronti con altri codici già esistenti.

Risultati parziali attesi

Le moderne scienze applicate ricorrono sempre più di frequente alla modellizzazione matematica dei fenomeni oggetto di indagine. Molteplici sono i motivi per cui questo avviene tra cui, ad esempio, la necessità di dover simulare quantitativamente l'evoluzione del fenomeno stesso. A tale proposito, va sottolineato come la simulazione matematica del fenomeno sia spesso molto meno dispendiosa dell'allestimento di corrispondenti prove sperimentali che, alle volte, non sono neanche possibili. Quando si è interessati all'evoluzione spazio-temporale di un fenomeno, le equazioni coinvolte nel corrispondente modello matematico sono delle equazioni di evoluzione. Poichè tali equazioni sono spesso complesse, una loro soluzione in forma chiusa non è praticamente mai disponibile. Si ricorre quindi all'utilizzo di opportuni metodi numerici di approssimazione. Queste metodologie sono disponibili agli scienziati sotto forma di corrispondenti codici di calcolo e/o pacchetti software integrati. Al riguardo va anche detto che un codice di calcolo non è da considerarsi come un prodotto statico: infatti i problemi da risolvere, e/o la loro scala, variano nel tempo e questo fa sì che codici di calcolo che erano adeguati alle esigenze passate possano non esserlo più al presente o nel prossimo futuro. E' pertanto essenziale che la "tecnologia matematico-informatica", che è alla base dei moderni codici di calcolo, si evolva in continuazione, in modo da rimanere al >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Le principali tematiche che saranno sviluppate nel presente Progetto possono essere divise in due sezioni principali:
A) ASPETTI TEORICI
B) SVILUPPO DI CODICI NUMERICI
Di seguito descriviamo lo stato della ricerca relativo a tali tematiche, evidenziando i contributi dei ricercatori coinvolti nel Progetto stesso.
(A.1) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI ALLE DERIVATE PARZIALI
La teoria analitica delle equazioni differenziali funzionali alle derivate parziali è stata sviluppata negli ultimi trent’anni. L'analisi numerica di queste equazioni è invece ad uno stadio molto preliminare. Nella maggior parte dei modelli, tali equazioni si presentano in forma semi-lineare con l'operatore laplaciano come termine lineare e la parte funzionale inserita nel termine di reazione non lineare. E’ quindi consigliabile, per l’integrazione numerica delle equazioni semi-discretizzate, un approccio basato sul trattamento separato del termine lineare stiff e del termine non-lineare non-stiff. In questa ottica, per equazioni con termine di reazione ordinario, sono stati sviluppati i metodi IMEX e gli integratori esponenziali, che si pongono in maniera naturale come base di partenza per l’integrazione numerica nel caso funzionale.
(A.2) METODI RUNGE-KUTTA CONTINUI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUNZIONALI
Recentemente alcuni ricercatori delle Unità di L’Aquila, Trieste e Udine hanno sviluppato dei nuovi metodi Runge-Kutta >>>