RICERCA ITALIANA     

Metodi variazionali e topologici nello studio di fenomeni non lineari

Università di Pisa

Abstract

Lo spirito della ricerca a livello nazionale e' quello di applicare metodi variazionali e topologici per descrivere e comprendere alcuni fenomeni non-lineari. In particolare il nostro interesse e' rivolto allo studio di punti critici per funzionali su spazi di dimensione infinita, sia dal punto di vista teorico (teoria di Morse), sia dal punto di vista delle applicazioni a funzionali i cui punti critici sono soluzioni di equazioni differenziali o traiettorie su varieta' con geometrie non-euclidee. In particolare il nostro gruppo ha una grande esperienza nello studio di problemi ellittici, equazioni delle onde e traiettorie su varieta' Lorentziane e Riemanniane.

I temi trattati possono essere divisi in quattro filoni:

A - Equazioni delle onde non-lineari e teorie di gauge abeliane

Il nostro interesse e' rivolto principalmente a studiare esistenza e proprieta' di soluzioni di tipo solitone e di tipo vortice (solitoni con momento angolare non nullo) per l'equazione di Klein-Gordon non-lineare (equazione delle onde non-lineare) e l'equazione di Klein-Gordon accoppiata all'equazioni di Maxwell (teorie di gauge abeliane). Particolare attenzione sara’ rivolta al caso fisicamente interessante di potenziali positivi con minimo nello zero o di tipo doppia buca. Le proprieta' delle soluzioni che ci interessano sono stabilità, simmetria e concentrazione al variare di alcuni parametri, ad >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Vieri Benci Università degli Studi di PISA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Gli obiettivi di questo progetto saranno esposti dettagliatamente nel punto 13 (Articolazione del Progetto e tempi di realizzazione ). Qui sotto li esponiamo in modo conciso.


A - Equazioni delle onde non-lineari e teorie di Gauge abeliane

In questo campo vogliamo approfondire i risultati di esistenza e stabilità per solitoni e vortici per l’equazione di Klein-Gordon non lineare e lo studio di teorie di gauge abeliane, come l’equazione di Klein-Gordon o di Schroedinger non lineare accoppiate alle equazioni di Maxwell. L’esistenza di solitoni stabili è legata al rapporto energia-carica del solitone. Vogliamo approfondire lo studio di questo legame e trovare un risultato analogo nel caso dei vortici. Vogliamo descrivere alcune proprietà qualitative dei solitoni come simmetria, concentrazione, stabilità orbitale, al variare alcuni parametri (carica, la costante di accoppiamento), e il comportamento delle soluzioni nel caso di perturbazioni semilineari dell’equazione di Maxwell. Vogliamo applicare la teoria a potenziali fisicamente interessanti come quelli positivi con minimo in zero o a doppia buca, e verificare dal punto di vista numerico i risultati ottenuti in teoria. Siamo interessati all'equazione di Klein-Gordon dal punto di vista dei sistema dinamici, e a collegare i nostri risultati con altri tipi di equazioni, fisicamente rilevanti, simili alle nostre, come l’equazione di Yang-Mills per le teorie di gauge non abeliane >>>

Risultati parziali attesi

I risultati che ci aspettiamo di raggiungere nel corso della nostra ricerca sono quelli esposti nel paragrafo 13, "Articolazione del progetto", in cui, per ciascuno dei settori in cui si suddivide il nostro progetto, sono stati esposti i problemi che intendiamo affrontare. Il nostro gruppo ha grande esperienza nello studio e nell'applicazione dei metodi variazionali e topologici, per cui ci aspettiamo che i nostri obiettivi vengano raggiunti in un arco di tempo comparabile con la durata di questo progetto di ricerca.
Inoltre, i problemi che affrontiamo fanno parte di un importante settore dell'analisi non-lineare, e pensiamo che il contributo che il nostro gruppo puo' portare con la realizzazione di questo progetto sia rilevante per la comunita' matematica. Infatti è stato cosi' negli anni passati come si può dedurre dall'alto numero di citazioni (anche non auto-citazioni) che i lavori del nostro progetto hanno ricevuto.
Infine, sebbene il nostro sia un progetto che rientra principalmente nell'area delle scienze matematiche, ci sembra importante sottolineare che la quasi totalita' dei problemi che affrontiamo sono ispirati da modelli matematici per fenomeni che vengono dalla fisica, dall'economia, dall'ingegneria, ecc. Per esempio la parte A del nostro progetto prevede lo studio di onde solitarie nella teoria dei campi che recentemente hanno avuto molte applicazioni in cosmologia. Da notare e&apos >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Il nostro gruppo lavora su diversi filoni, collegati tra loro sia nei metodi che nella problematica. I metodi adottati riguardano lo studio di punti critici per funzionali su spazi di dimensione infinita e le loro proprieta', con particolare attenzione verso i metodi topologici. I problemi che intendiamo studiare hanno origini classiche ed esiste una vasta bibliografia internazionale a riguardo. Descriviamo ora brevemente alcuni risultati indicativi dello stato dell’arte della ricerca che si intende condurre, seguendo la divisione in filoni presentata nell'abstract. Si rimanda ai modelli B per gli elenchi delle pubblicazioni dei membri del gruppo.

A - Equazioni delle onde non-lineari e teorie di gauge abeliane

Un "solitone" e' una soluzione di un'equazione di campo che presenta caratteristiche di localizzazione dell'energia e qualche forma forte di stabilita', il che le attribuisce un comportamento di tipo particella. I solitoni con momento angolare non nullo vengono chiamati "vortici". Lo studio di solitoni e vortici per equazioni di campo e' un problema classico ed esistono tre meccanismi che determinano la loro esistenza: completa integrabilita' (equazione di Korteweg - de Vries), vincoli topologici (equazione di sine-Gordon, che comunque è anche completamente integrabile), rapporto energia/carica (equazione di Klein-Gordon). Il nostro gruppo e' particolarmente interessato al >>>