RICERCA ITALIANA     

Teoria dei gruppi e applicazioni

Università degli Studi di Padova

Abstract

Il progetto di ricerca si propone di condurre ricerche e ottenere risultati significativi nell'ambito della teoria dei gruppi e delle sue applicazioni.
Gli interessi e le competenze degli afferenti al programma sono vari e molteplici, così i temi affrontati spazieranno in diversi settori della teoria dei gruppi. E' stata comunque scelta consapevole e condivisa quella di far confluire queste diverse esperienze in un unico progetto di ricerca nazionale. Infatti si ritiene che in questo modo le singole attività di ricerca possano integrarsi e arricchirsi, portando a una visione più ricca e completa delle varie problematiche affrontate. D'altra parte le unità locali afferenti al progetto hanno svolto negli ultimi anni un intenso lavoro comune nell'ambito dei progetti scientifici (PRIN) aventi lo stesso nome e si è creata una rete di collaborazioni e interazioni fra i singoli membri che verrebbe svilita e compromessa se non fosse coordinata e articolata all'interno di un unico programma di ricerca.
Sulle base delle competenze scientifiche delle singole unità locali e dei rapporti con numerosi matematici stranieri, si intende concentrare l'attività sui seguenti settori:
a) gruppi semplici,
b) struttura, generazione e rappresentazioni dei gruppi di tipo Lie e loro sottogruppi notevoli,
c) questioni di natura probabilistica in gruppi finiti e profiniti,
d) rappresentazioni lineari e permutazionali,
e >>>

Coordinatore Scientifico del Programma di Ricerca

Federico Menegazzo Università degli Studi di PADOVA

Obiettivo del Programma di Ricerca

Gli obiettivi principali sono i seguenti:
a) Contribuire allo studio dei gruppi semplici, sia sul versante dei programmi di revisione del Teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti (gruppi di caratteristica locale p e identificazione di gruppi semplici con il metodo dell'amalgama; costruzioni e nuove prove di unicità per gruppi sporadici), sia su quello delle applicazioni della classificazione a problemi molteplici, anche riguardanti gruppi infiniti.
b) Ottenere risultati significativi nello studio della struttura, la generazione e le rappresentazioni dei gruppi di tipo Lie e loro sottogruppi notevoli (caratteri unipotenti, generazione mediante elementi almost ciclici, generazione di Hurwitz, 2-ricoprimenti, sottogruppi di Carter).
c) Affrontare questioni di natura probabilistica associate a problemi di generazione di gruppi finiti e profiniti (studio della proprietà della funzione zeta probabilistica e dei suoi riflessi su proprietà strutturali).
d) Studiare varie questioni riguardanti rappresentazioni lineari e permutazionali di gruppi (condizioni sui gradi dei caratteri, transitività, applicazioni a sistemi crittografici e codici, azioni su oggetti geometrici).
e) Approfondire questioni di tipo combinatorio (ricoprimenti minimali, intersezioni di sottogruppi massimali, prime graph e altri grafi associati).
f) Esaminare aspetti topologici che hanno un impatto diretto sulla teoria strutturale di gruppi finiti >>>

Risultati parziali attesi

Come appare dalla descrizione del progetto indicata nei punti precedenti, il nostro gruppo lavora insieme o in competizione con altri gruppi su alcuni temi importanti, ai quali si spera di portare contributi significativi.
Segnaliamo in particolare:

La trattazione del 'Problema del Pushing Up degli stabilizzatori di punti' è parte integrante, affidata a noi in collaborazione con U. Meierfrankenfeld, del programma coordinato da Meierfrankenfeld, Stellmacher e Stroth di revisione del Teorema di Classificazione dei Gruppi Semplici Finiti.

Una particolarità di molti gruppi semplici sporadici G è di avere una doppia caratteristica, cioè esistono due divisori primi p e q di |G| tali che G ha p-rango e q-rango almeno 2 e ogni sottogruppo r-locale M di G contenente un r-sottogruppo di Sylow di G soddisfa la condizione F^*(M)=O_r(M), per r in {p,q}. Per contro, gli altri gruppi semplici finiti soddisfano condizioni di questo tipo solo in pochi casi eccezionali. Originato da un manoscritto non pubblicato di Gorenstein e Lyons del 1992, è in corso un progetto di classificazione dei grandi gruppi sporadici (e qualche altro gruppo semplice) partendo da ipotesi del tipo descritto. Il nostro obiettivo di terminare la classificazione dei gruppi di bicaratteristica {2,p} per p maggiore o uguale a 7 ne sarà una parte non banale.

La funzione probabilistica zeta è uno strumento molto studiato nella teoria dei gruppi profiniti. Non >>>

Durata

24 mesi

Base di partenza scientifica nazionale o internazionale

Il progetto si fonda, nei suoi diversi settori, su una solida base di letteratura che testimonia l'interesse dei problemi nella comunità matematica. In molti casi sono presenti contributi rilevanti dati negli ultimi anni da partecipanti al progetto.
Diamo ora una breve rassegna dello stato dell'arte seguendo lo schema proposto nell'Abstract. Per informazioni più puntuali e per la bibliografia si rinvia ai Modelli B delle singole unità.
a) gruppi semplici
- Il programma coordinato da Meierfrankenfeld, Stellmacher e Stroth prevede di classificare i gruppi finiti di caratteristica locale p privi di sottogruppi strongly p-embedded. Al progetto hanno contribuito Parmeggiani e Mainardis.
- Seguendo l'approccio proposto da Gorenstein-Lyons sono state ottenute diverse caratterizzazioni di gruppi semplici sporadici come gruppi di bicaratteristica ad opera di Korchagina, Lyons, Solomon, Lucido, Mainardis, Franchi.
b) struttura, generazione e rappresentazioni dei gruppi di tipo Lie e loro sottogruppi notevoli
- Sono (2,3,7) generati molti gruppi classici di rango abbastanza alto (Lucchini, Tamburini, J. Wilson) e altri gruppi semplici eccezionali o sporadici (Woldar, Malle e R. Wilson).
- Di Martino, Pellegrini e Weigel hanno evidenziato che in molti gruppi finiti di tipo Lie un carattere unipotente generico si spezza in più componenti irriducibili su ogni sottogruppo proprio.
- Da tempo si congettura che un >>>